二次函数图像与性质中考真题含详细答案和分析资料.docx

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二次函数图像与性质中考真题含详细答案和分析资料.docx

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二次函数图像与性质中考真题含详细答案和分析资料

二次函数图像与性质中考真题

一．填空题（共26小题）

1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　_________　．

2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　_________　．

3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为　_________　．

4．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　_________　

5．（2014•温州一模）二次函数y=

（x+3）2﹣5的对称轴是直线　_________　．

6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是　_________　．

7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是　_________　．

8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是　_________　．

9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是　_________　．

10．如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是　_________　．

11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是　_________　．

12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为　_________　．

13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线　_________　．

14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是　_________　．

15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．

16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是　_________　．

17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是　_________　．“上升或下降”

18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是　_________　．

19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=　_________　．

20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为　_________　．

21．抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是　_________　的．（从“上升”或“下降”中选择）

22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是　_________　．

23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是　_________　．

24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为　_________　个．

25．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过　_________　象限．

26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是　_________　．

二．解答题（共4小题）

27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．

29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．求出抛物线的解析式；

30．（2008•镇江）推理运算：

二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）求此二次函数图象的顶点坐标；

（3）填空：

把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移　_________　个单位，使得该图象的顶点在原点．

参考答案与试题解析

一．填空题（共26小题）

1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　（1，2）　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．

解答：

解：

∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，

∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．

点评：

此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．

2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　（2，5）　．

考点：

分析：

由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．

解答：

解：

∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，

∴顶点坐标为：

（2，5）．

故答案为：

（2，5）．

点评：

此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．

3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为　3　．

考点：

专题：

常规题型．

分析：

根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．

解答：

解：

根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，

于是当x=1时，

函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．

故答案为：

3．

点评：

本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

4．（2014•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　x=﹣1　．

考点：

专题：

待定系数法．

分析：

因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=

求解即可．

解答：

解：

∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），

∴两交点关于抛物线的对称轴对称，

则此抛物线的对称轴是直线x=

=﹣1，即x=﹣1．

故答案是：

x=﹣1．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=

求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=

．

5．（2014•温州一模）二次函数y=

（x+3）2﹣5的对称轴是直线　x=﹣3　．

考点：

分析：

对照顶点式y=a（x﹣h）2+k的对称轴是x=h，求本题中二次函数的对称轴．

解答：

解：

因为二次函数y=

（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），故对称轴是直线x=﹣3．

点评：

顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．

6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是　（0，3）　．

考点：

分析：

根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可．

解答：

解：

∵二次函数y=x2+3，

∴二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是：

（0，3）．

故答案为：

（0，3）．

点评：

此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．

7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是　向下　．

考点：

分析：

首先将二次函数化为一般形式，然后根据二次项系数的符号确定开口方向．

解答：

解：

y=（x+5）（2﹣x）=﹣x2+3x+10，

∵a=﹣1＜0，

∴开口向下，

故答案为：

向下．

点评：

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的化为一般形式．

8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是　直线x=﹣1　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．

解答：

解：

y=x2+2x=（x2+2x+1）﹣1=（x+1）2﹣1，

抛物线的对称轴为直线x=﹣1．

故答案为直线x=﹣1．

点评：

本题考查了二次函数的性质：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是　（﹣1，﹣4）　．

考点：

分析：

利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．

解答：

解：

x=﹣

=﹣1，

把x=﹣1代入得：

y=2﹣4﹣2=﹣4．

则顶点的坐标是（﹣1，﹣4）．

故答案是：

（﹣1，﹣4）．

点评：

本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．

10．（2014•嘉定区一模）如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是　k＞

　．

考点：

分析：

根据二次函数的开口向上列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

解答：

解：

∵二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，

∴2k﹣1＞0，

解得k＞

．

故答案为：

k＞

．

点评：

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线的开口向上是解答此题的关键．

11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是　（2，﹣4）　．

考点：

分析：

用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．

解答：

解：

∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，

∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．

故本题答案为：

（2，﹣4）．

点评：

本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．

12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为　（1，﹣8）　．

考点：

分析：

根据函数解析式的相互转化，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案．

解答：

解：

y=2（x+1）（x﹣3）转化成y=2（x﹣1）2﹣8，

故答案为：

（1，﹣8）．

点评：

本题考查了二次函数的性质，转化成顶点式解析式是解题关键．

13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线　x=2　．

考点：

专题：

数形结合．

分析：

首先把y=x2﹣4x+5进行配方，然后就可以确定抛物线的对称轴，也可以利用公式x=﹣

确定．

解答：

解：

y=x2﹣4x+5，

=x2﹣4x+4+1，

=（x﹣2）2+1，

∴对称轴是直线x=2．

故答案为：

x=2．

点评：

此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会配方法或对称轴的公式x=﹣

．

14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是　（6，﹣27）　．

考点：

分析：

把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．

解答：

解：

y=x2﹣12x+9=（x﹣6）2﹣27，

所以，顶点坐标为（6，﹣27）．

故答案为：

（6，﹣27）．

点评：

本题考查了二次函数的性质，把抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．

15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．

考点：

分析：

根据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标．

解答：

解：

y=2x2+8x﹣8，

∵a=﹣2＜0，

∴抛物线开口向下．

∵y=﹣2x2+8x﹣8=﹣2（x2﹣4x+4）=﹣2（x﹣2）2，

∴对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，0）．

点评：

本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，用到的知识点：

二次函数y=a（x﹣h）2+k，当a＞0时，抛物线开口向上；对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．

16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是　（2，﹣1）　．

考点：

分析：

根据所给的二次函数，把a=﹣1、b=4、c=﹣5代入顶点公式即可求．

解答：

解：

∵y=﹣x2+4x﹣5

∴

，

．

故答案为：

（2，﹣1）．

点评：

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点公式．

17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是　上升　．“上升或下降”

考点：

分析：

直接根据二次函数的性质进行解答即可．

解答：

解：

∵二次函数y=﹣2（x﹣2）2中，a=﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∴函数图象在对称轴左侧部分是上升．

故答案为：

上升．

点评：

本题考查的是二次函数的性质，熟知当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣

时，y随x的增大而增大是解答此题的关键．

18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是　（3，1）　．

考点：

分析：

已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．

解答：

解：

由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），

故答案为：

（3，1）．

点评：

本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=　﹣3　．

考点：

分析：

直接利用对称轴公式求解即可．

解答：

解：

∵二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，

∴对称轴为：

x=﹣

=3，

解得：

k=﹣3，

故答案为：

﹣3

点评：

本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴．

20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为　（0，﹣1）　．

考点：

分析：

根据形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．

解答：

解：

∵抛物线的解析式为y=3x2﹣1，

∴其顶点坐标为（0，﹣1）．

故答案为：

（0，﹣1）．

点评：

本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．

21．（2014•嘉定区一模）抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是　下降　的．（从“上升”或“下降”中选择）

考点：

分析：

根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．

解答：

解：

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．

故答案为：

下降．

点评：

考查了二次函数的性质，能够根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律．

22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是　（1，﹣2）　．

考点：

分析：

首先根据对称轴是直线x=1，从而求得m的值，然后根据顶点坐标公式直接写出顶点坐标；

解答：

解：

∵抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，

∴m=﹣1，

∴解析式y=（x﹣1）2﹣2，

∴顶点坐标为：

（1，﹣2），

故答案为：

（1，﹣2）．

点评：

本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．

23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是　②③　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；

由x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即可判定②正确；

由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=

＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；

由对称轴为x=

＞0即可判定④错误．

解答：

解：

①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误；

②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴②正确；

③由抛物线的开口向下知a＜0，

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∵对称轴为x=

＜1，

∴﹣b＞2a，

∴2a+b＜0，

∴③正确；

④对称轴为x=

＞0，

∴a、b异号，即b＞0，

∴abc＜0，

∴④错误．

∴正确结论的序号为②③．

故填空答案：

②③．

点评：

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：

开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：

由对称轴公式x=

判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：

交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．

24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为　3　个．

考点：

分析：

由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣

=1得b+2a=0．

解答：

解：

∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵﹣

＞0，∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴ab＜0，ac＞0，bc＜0

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0

∵x=1时的函数值小于0，

∴y=a+b+c＜0

又∵x=﹣1时的函数值大于0

∴y=a﹣b+c＞0

∵对称轴为直线x=1，

∴﹣

=1，即2a+b=0，

所以一共有3个式子的值为正．

故答案为：

3．

点评：

此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．

25．（2014•平原县二模）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过　二、三、四　象限．

考点：

分析：

根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．

解答：

解：

∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，

故答案是：

二、三、四．

点评：

此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．

26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是　2　．

考点：

分析：

把原点坐标代入函数解析式进行计算即可得解．

解答：

解：

∵抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，

∴m（m﹣2）=0，

解得m1=0，m2=2，

当m=0时，函数为一次函数，不是抛物线，

所以，m≠0，

因此，实数m的值是2．

故答案为：

2．

点评：

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要注意二次项系数不等于0．

二．解答题（共4小题）

27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

考点：

分析：

因为抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式即可解答．

解答：

解：

已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），

设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

把点（2，3）代入解析式，得：

a﹣2=3，即a=5，

∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．

点评：

本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．

28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．

考点：

分析：

此题告诉了二次函数的顶点坐标，采用顶点式比较简单．

解答：

解：

设这个二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2﹣2，

∵二次函数的图象过坐标原点，

∴0=a（0﹣1）2﹣2

解得：

a=2

故这个二次函数的关系式是y=2（x﹣1）2﹣2，即y=2x2﹣4x．

点评：

本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．

29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足

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