数学软件提取数组下标.docx
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数学软件提取数组下标
提取数组下标：
已知p是一维数组x的元素，做索引[a,b]=sort（x）,a是数组x的升序排列，b为对应下标，
语句d=b（p==a）可获得数p在x中的下标d。
（若是多维的话此方法显示的只有第几列）
已知p是二维数组x的元素,取出数组的阶[m,n]=size（x）,
化为一维数组g=x（:
）,
[a,b]=sort（g）,d=b（p==a）,
取p在x中的下标mm,nn
ifrem（d,m）==0mm=m,elsemm=rem（d,m）;end;
nn=ceil（d/m）;[mm,nn]
以上方式要求数组中没有相同的元素，即没有相等的数！
若有相等的，则取出排列顺序（列优先序）靠前者。
思考还有更简洁的方式获得下标吗？
取整函数：
round（x）取最靠近x的整数
fix（x）向0方向取整
floor（x）向负无穷方向取整
ceil（x）向正无穷方向取整
a=[20.04425.080132.686211.51211.018617.8314
19.86625.209530.455110.82670.950916.3498
20.63445.348330.092810.55950.938917.1787
20.45135.466231.386710.70641.001017.3970
21.30145.576431.199910.81070.975316.9232
21.72555.735132.398411.14690.999817.6053
21.77795.934232.786111.37641.062817.6373
21.96236.090032.702111.60701.062817.1927
22.30386.144533.266411.74471.149517.4934
22.64676.264233.375311.90201.203717.3428
23.26546.342334.397212.27191.251317.8713
24.19166.110036.280013.27441.316218.3418
23.67086.813035.896411.29281.324518.2154
23.53776.825035.012311.12051.342518.1564
22.92436.948134.125610.85151.385117.6598
23.53687.235134.012510.56091.475217.1229
23.71647.523933.895911.92991.522917.5946
24.09027.808635.259312.29561.540917.9467
25.30898.082936.335712.86161.805118.0819
25.37488.312736.035612.68131.672617.8218
25.63018.435537.544113.05381.718119.1278
26.28088.581438.262713.15851.788020.5607
26.67668.680838.605613.03151.690820.2338
28.41007.660041.395914.76661.570220.7094]
matlab常用到的永久变量。
ans：
计算结果的默认变量名。
ij：
基本虚数单位。
eps：
系统的浮点（F10a9Bg个oht）：
inf:
无限大，例1/0
nanNaN：
非数值（N航anmnb谢）
pi：
圆周率n（n＝3．1415926．．）。
realmax：
系统所能表示的最大数值。
realmin:
系统所能表示的最小数值，
nargin:
函数的输入参数个数：
nargout：
函数的输出多数个数
①matlab的所有运算都定义在复数城上。
对于方根问题运算只返回处于第一象限的解。
⑦matlab分别用左斜／和右\来表示“左除和“右除”运算。
对于标量运算而言，这两者的作用没有区别：
但对于矩阵运算来说，二者将产生不同的结果。
多项式的表示方法和运算
p（x）=x^3-3x-5 可以表示为p=[10 –35],求x＝5时的值用plotval（p,5）
也可以求向量：
a=[345],plotval（p,a）
函数roots求多项式的根 roots（p）
p=[10-35];
r=roots（p）
由根重组多项式poly（根）
q=poly（r）
real（q） 有时会产生虚根，这时用real抽取实根即可
conv（a,b）函数 多项式乘法（执行两个数组的卷积）
a=[1234];
b=[14916];
c=conv（a,b）
多项式的加减法，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次
多项式除法 [q,r]=deconv（c,b） 表示b/cq为商多项式，r为余数
多项式的导数 polyder（f）
f=[245621];
s=polyder（f）
多项式的曲线拟合
x=[12345];
y=[5.640150250498.9];
p=polyfit（x,y,n） 数据的n次多项式拟合 poly：
矩阵的特征多项式、根集对应的多项式
x2=1:
0.1:
5;n取1时，即为最小二乘法
y2=polyval（p,x2）; 计算多项式的值 （polyvalm计算矩阵多项式）
plot（x,y,'*',x2,y2）;gridon
最小二乘法
x=[12345];
y=[5.640150250498.9];
plot（x,y,’*’）,lsline
多项式插值 （p158）
YI=interp1（x,y,XI,’method’） 一维插值
（XI为插值点的自变量坐标向量,可以为数组或单个数。
method为选择插值算法的方法，包括：
linear（线性插值）
cubic（立方插值）
spline（三次样条插值）
nearst（最近临插值）
例如：
人口预测
year=1900:
10:
1900;
number=[7891105 ….每十年的人口数];
x=1900:
1:
2000;
y=interp1（year,number,x,’spline’）;
plot（year,numeber,’*’,x,y）;gridon
一维博里叶变换插值使用函数interpft实现，计算含有周期函数值的矢量的傅里叶变换
然后使用更多的点进行傅里叶变换的逆变换，函数的使用格式如下：
y=interpft（x,n） 其中x是含有周期函数值的矢量，并为等距的点，n为返同等间距点的个数。
求解一元函数的最小值
y=fminbnd（'humps',0.3,1）humps为一内置函数
求解多元函数的最小值
函数fminserch用于求多元函数的最小值。
它可以指定一个开始的矢量，并非指定一个区间。
此函数返回一个矢量为此多元函数局部最小函数值对应的自变量
纹理成图功能
由warp函数的纹理成图功能实现平面图像在空间三维曲面上的显示。
将文件名为flowers.tif的图像分别投影到圆柱形和球星表面上
i=imread（'flowers.tif'）;
[x,y,z]=cylinder;
subplot（1,2,1）,warp（x,y,z,i）;
[x,y,z]=sphere（50）;
subplot（1,2,2）,warp（x,y,z,i）;
warp（x,y,z,i）;
求函数的零点
求函数humps在[1，2]区间上的零点 fzero（‘humps’,[1,2]）;
也可以给一个初始值 fzero（‘humps’,0.9）;
对于多项式可直接由roots求其根 roots（‘4*x^3+……’）;
也可以用solve
c=sym（'c','real'）;
x=sym（'x','real'）;
s=solve（x^3-x+c）
函数定积分
q=quadl（‘humps’,0,1） 求humps函数在01区间上的定积分，也可以用quad语句
二重积分 首先计算内积分，然后借助内积分的中间结果再求出二重积分的值，类似于积分中的分步积分法。
Result=dblquad（‘integrnd’,xin,xmax.,ymin,ymax）integrnd为被积函数的名称字符串
符号积分运算int（f）
最精确的是符号积分法
计算s=∫12[∫01xydx]dy
symsxy 中间为空格，不能为逗号
s=int（int（‘x^y’,’x’,0,1）,’y’,1,2） 引号可省略
vpa（s） 显示s的值
内积分限为函数的二重积分
I=∫14[∫√y2（x2+y2）dx]dy
符号法I=vpa（int（int（‘x^2+y^2’,’x’,sqrt（y）,2）,’y’,1,4）
微分运算（diff）
微分是描述一个函数在一点处的斜率，是函数的微观性质、因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感，而微分很敏感。
—个函数的小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。
由干微分这个固有的困难．所以尽可能避免数值微分．特别是对实验获得的数据进行微分。
在这种情况，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分；或用另一种方法对点数据进行三次样条拟合，然后寻找样条微分，但是，有时微分运算是不能避免的，在MATLAB中．用函数diff汁算一个矢量或者矩阵的微分（也可以理解为差分）。
a=[12333789];
b=diff（a） 一次微分
bb=diff（a,2） 二次微分
实际上diff（a）=[a
（2）-a
（1）,a（3）-a
（2）,……,a（n）-a（n-1）]
对于求矩阵的微分，即为求各列矢量的微分，从矢量的微分值可以判断矢量的单调性、是否等间距以及是否有重复的元素。
符号微分运算（diff）
symsxta
f=cos（a*x）
df=diff（f） 由findsym的规则，隐式的指定对x进行微分
dfa=diff（f,'a'） 指定对变量a进行微分
dfa=diff（f,'a',3） 三次微分
diff函数不仅作用在标量上，还可以在矩阵上，运算规则就是按矩阵的元素分别进行微分
symsax
A=[cos（a*x）,sin（a*x）,-sin（a*x）,cos（a*x）];
dA=diff（A）
微分方程dsolve
在matlab中，符号表达式中包含字母D用来表示微分运算，D2,D3分别对应第二，第三阶导数，D2y表示d2y/dt2 把t缺省了
y=dsolve（‘Dy=f（y）’） 单个方程，单个输出
[u,v]=dsolve（‘Du=f（u,v）’,’Dv=g（u,v）’）2个方程，2个输出
s=dsolve（‘Dx=f（x,y,z）’,’Dy=g（x,y,z）’,’Dz=k（x,y,z）’）
s.xs.ys.z3个方程，架构数组
dsolve（'Dx=-a*x'） 结果：
C1*exp（-a*t） 没给定初值，所以结果中含参变量
x=dsolve（'Dx=-a*x','x（0）=1','s'） 结果exp（-a*s） 给定了初值，独立变量设为s
计算多元函数的梯度
fx=gradient（f）f是一个矢量返回f的一维数值梯度，fx对应于x方向的微分。
[x,y]=meshgrid（-2:
.2:
2,-2:
.2:
2）;
z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;
[px,py]=gradient（z,.2,.2）;
contour（z）,holdon 画等值线
quiver（px,py）
matlab字符串运算
利用sym命令创建表达式
f=sym（‘cos（x）+sin（x）’）或 symsx,f=cos（x）+sin（x）
diff（f） 求其导数
（也可直接用命令f=diff（‘cos（x）+cos（y）’）
当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有—个变量是独立变量。
如果不告诉matlab哪一个变量是独立变量，则可以通过findsym命令询问
利用findsym命令查询独立变量
f=sym（'sin（a*x）+b'）
findsym（f,1） 给出独立变量（一个变量，如果为2则给出2个变量）
findsym（f） 给出所有变量
符号表达式的化简和替换
collect函数 collect（f，v）表示将f表示为关于符号变量v的多项式形式，即关于v合并同类项，v缺省，则用findsym确定的缺省变量
symsxy
f=x^2*y+y*x-x^2-2*x+1
collect（f） 得到（-1+y）*x^2+（y-2）*x+1
collect（f,y） 得到（x+x^2）*y+1-x^2-2*x
expand函数 expand（f）将f展开，写成和的形式
symsx
expand（（x-1）^3） 得到x^3-3*x^2+3*x-1
horner函数 horner（f）将f写成镶嵌套形式
symsx
horner（x^3-6*x^2） 得到（-6+x）*x^2
factor函数 factor（f）将f转换成低阶有理多项式的乘积
symsx
f=x^3-6*x^2+11*x-6
factor（f） 得到 （x-1）*（x-2）*（x-3）
simplify（f）函数 综合化简
simple（f） 函数的最简形式
symsx
f=2*sin（x^2）+cos（3*x）
simple（f） 如果不想看到中间过程，可z=simple（f） 有时使用两次simple命令可以得到最简式
如果想知道哪个简化命令得到最后结果，可以加一个参数how
[z,how]=simple（f）
符号表达式的替换
subs（f,new,old）
f='a*x^2+b*x+c'
subs（f,'t','x'） 得到a*（t）^2+b*（t）+csubs是一个符号函数，返回一个符号变量
subexpr函数 有时matlab返回的符号表达式难以理解，用subexpr函数，可以将表达式中重复出现的子式用一个符号表示，从而简化表达形式
c=sym（'c','real'）;
x=sym（'x','real'）;
s=solve（x^3-x+c）
a=subexpr（s） 得到sigma=-108*c+12*（-12+81*c^2）^（1/2）
a=
[1/6*sigma^（1/3）+2/sigma^（1/3）]
[-1/12*sigma^（1/3）-1/sigma^（1/3）+1/2*i*3^（1/2）*（1/6*sigma^（1/3）-2/sigma^（1/3））]
[-1/12*sigma^（1/3）-1/sigma^（1/3）-1/2*i*3^（1/2）*（1/6*sigma^（1/3）-2/sigma^（1/3））]
pretty函数有时也能起到同样的作用。
Pretty（f） 显示函数的习惯书写形式
线性方程组的求解
求解线性方程组，用反斜杠\
a=hilb（3）
b=[123]'
a\b
矩阵的特征值和特征向量
用eig（v,d）函数，[v,d]=eig（A）; 其中d将返回特征值，v返回相应的特征向量，缺省第二个参数将只返回特征值
symsabcreal
A=[abc;bca;cab];
[v,d]=eig（A）;
为了观察更清楚，使用以前学过的替换函数，这里不用默认的sigma，而改用M，显式的代替繁琐的表达子式
vv=subexpr（v）;
vs=subs（vv,'m','sigma'） 运行结果为
vs=
[1,1,1]
[-（c+（m）-a）/（c-b）,-（c-（m）-a）/（c-b）,1]
[-（a-（m）-b）/（c-b）,-（a+（m）-b）/（c-b）,1]
再用m替换d中的表达子式
dd=subexpr（d）;
ds=subs（dd,’m’,’sigma’）
运行结果为ds=
[（m）,0,0]
[0,-（m）,0]
[0,0,c+a+b]
note 求特征值也可用以下命令
f=poly（A）poly函数 用来求A的特征多项式
d=solve（f）solve（f）函数用来求多项式的解
svd（）函数 求矩阵的奇异值分解，将矩阵分解为两个正交矩阵和对角矩阵的乘积
a=sym（hilb
（2））
[u,s,v]=svd（a）
代数方程和方程组
代数方程的求解可用solve（f）命令，如果f不含＝，matlab将给表达式置零。
方程的未知量在默认的情况下由findsym决定或显式指出
symsabcx
solve（a*x^2+b*x+c） 以x为默认变量
solve（a*x^2+b*x+c，a） 指定对a为变量
求含有等号的方程的解（一定要加单引号）
f=solve（‘cos（x）=sin（x）’）
x=solve（'exp（x）=tan（x）'） 如果不能求得符号解，就计算可变精度解。
求解方程组与单方程类似
解一个三元一次方程
v=solve（'a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6'）
结果为v=
a:
[4x1sym]u:
[4x1sym]v:
[4x1sym]
一些常用的符号运算
极限运算limit
limit（f） 求x到0的极限
limit（f,x,a）或limit（f,a） 求x到a的极限
limit（f,a,’left’）limit（f,a,’right’） 求x到a的左极限和右极限
limit（f,inf） 求x趋于无穷的极限
符号求和symsum（s）
symsum（s） 以默认的findsym决定的变量求和
symsum（s,v） 以s中指定的变量v求和
symsum（s,a,b）symsum（s,v,a,b） 从a到b的有限项求和
symskn
symsum（k） 从0到k求和
symsum（k,0,n-1） 从0到n－1求和
symsum（1/k^2,1,inf） 无限项求和
泰勒级数taylor（f）
taylor（f）表示求f的5阶talor展开，可以增加参数指定展开的阶数（默认式5），也可以对于多元函数指定展开的变量，还可以指定在哪个点展开
symsxt
taylor（exp（-x））
taylor（log（x）,6,1） 在1点的6阶taylor展开
taylor（x^t,3,t） 对t的3阶taylor展开
积分变换
fourier变换和逆变换fourier（f）
fourier分析可以将信号转换为不同频率的正弦曲线。
可对离散数据进行分析，也可对连续时间系统进行分析，特别在信号和图形处理领域。
离散变换（DFT）作用于有限数据的采集，最有效的是快速fourier变换（FFT）
F=fourier（f） 独立变量x，返回关于参数w的函数
F=fourier（f,v） 返回函数F关于符号对象v的函数
F=fourier（f,u,v） 对关于u的函数f进行变换，而不是缺省的w，返回函数F是关于v的函数
symstvwx
fourier（1/t）
fourier（exp（-t）*sym（'Heaviside（t）'）,v）
fourier（diff（sym（'F（x）'））,x,w）
Fourier逆变换
f=ifourier（F） 缺省独立变量w，返回关于x的函数对w进行积分
f=ifourier（F,v） 返回函数f是关于符号对象v的函数，而不是缺省的x
f=ifourier（F,u,v） 是关于u的函数f进行变换，而不是缺省的x，返回函数f是关于v的函数
Laplace变换和逆变换laplace（f）
应用于连续系统（微分方程）中，可以用来求解微分方程的初值问题
laplace（F） 缺省独立变量t，缺省返回关于s的函数L
laplace（F,t） 返回关于t的函数L，而不是缺省的s
laplace（F,w,z） 对函数F的自变量w积分，返回关于z的函数L
逆变换
F=ilaplace（L） 缺省独立变量s，返回关于t的函数F
F=ilaplace（L,y） 返回关于y的函数F，而不是缺省的t
F=ilaplace（L,y,x） 对函数L的自变量y积分，返回关于x的函数F
Z-变换和逆变换ztrans（f） 标量符号f的Z－变换
F=ztrans（f） 缺省独立变量n，返回关于z的函数
F=ztrans（f,w） 返回关于符号变量w的函数F，而不是缺省的z
F=ztrans（f,k,w） 关于k的符号变量作Z－变换返回关于符号变量w的函数
逆变换iztrans（F）
f=iztrans（F） 或（F,k）或 （F,w,k）
符号绘图函数
符号函数简易绘图函数ezplot（f）
f可以包含单个符号变量x的字符串或表达式，默认画图区间（－2pi，2pi），如果f包含x和y，画出的图像是f（x,y）=0的图像，缺省区间是－2pi
Ezplot（f,xmin,xmax）或ezplot（f,[xmin,xmax]）绘制在xminsymsxt
ezplot（'t*cos（t）','t*sin（t）',[0,4*pi]）
绘制符号图像函数fplot（fun,lims,tol,’linespec’,n）
其中lims=[xmin,xmax]或[xmin,xmax,ymin,ymax]tol为指定相对误差，默认0.001 ‘linespec’指定绘图的线型 n指定最少以n＋1个点绘图
[x,y]=fplot（fun,lims,…） 只返回用来绘图的点，并不绘图，可以自己调用plot（x,y）来绘制图形。
symsx
subplot（2,2,1）,fplot（'humps',[0,1]）
f='abs（exp（x*（0:
9））*ones（10,1））'
subplot（2,2,2）,fplot（f,[0,2*pi]）
subplot（2,2,3）,fplot（'sin
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