届中考数学解直角三角形及其应用专题复习精.docx
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届中考数学解直角三角形及其应用专题复习精
（备战中考中考数学深度复习讲义
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试
解直角三角形及其应用
▴考点聚焦
1.掌握并灵活应用各种关系解直角三角形,这是本节重点.
2.了解测量中的概念,并能灵活应用相关知识解决某些实际问题,而在将实际问题转化为直角三角形问题时,•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点,也是中考的热点.
▴备考兵法
正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量,航海,航空,•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.
注意:
（1准确理解几个概念:
①仰角,俯角;②坡角;③坡度;
④方位角.
（2将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.
（3在一些问题中要根据需要添加辅助线,构造出直角三角形,•从而转化为解直角三角形的问题.
▴识记巩固
1.直角三角形的边角关系:
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边.
（1三边之间的关系:
a2+b2=_____;
（2两锐角之间的关系:
∠A+∠B=______;
（3直角三角形斜边上的中线等于_______;
（4在直角三角形中,30°角所对的边等于_______.
2.解直角三角形的四种类型:
已知条件解法
两条直角边a、b
c=______,tanA=______,∠B=_______.
一条直角边a和斜边c
b=______,sinA=_____,∠B=______.
一条直角边a和锐角A
c=_______,b=_______,∠B=_______
斜边c和锐角A
a=_______,b=_______,∠B=_______
3.坡面的_________的比叫坡度i（•也叫坡比•,•坡度越大,•坡面越陡;•坡面与______的夹角,用a表示,tana=i=h
l
.
4.视线在水平线上方的角叫做_______;视线在水平线下方的角叫________.
5.方向角:
正北或正南方向与目标方向线所成的_______的角叫
方向角,•常用“北偏东（西××度”或“南偏东（西××度”来描述.
识记巩固参考答案:
1.（1c2（290°（3斜边的一半（4斜边的一半
2a
b
90°-∠A
ac
90°-∠A
sinaA
90°-∠Ac·°-∠A
3.垂直高度h和水平宽度L水平面
4.仰角•俯角
5.小于90°▴典例精析
例1（2011山东威海,23,10分一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
【答案】解:
过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=ACtan60°=,
∵AB∥CF,∴∠BCM=30°.∴1
sin302BM
BC=⋅︒==
cos3015
2
CMBC
=⋅︒==
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴MDBM
==
∴15
CDCMMD
=-=-.
例2（2011山东烟台,21,8分综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。
如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°。
请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字.
（参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08
【答案】解:
过点F作FG∥EM交CD于G.
则MG=EF=20米.
∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50-20=30（米.
在Rt△FNR中,
FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29（米.
一、选择题
1.（2011湖北武汉市,10,3分如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为
A.12秒.
B.16秒.
C.20秒.
D.24秒.
【答案】B
2.（2011湖南衡阳,9,3分如图所示,河堤横断面迎水坡AB的
坡比是1BC=5m,则坡面AB的长度是（
A.10m
B.10m
C.15m
D.m
【答案】A
3.（2011山东东营,8,3分河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,
迎水坡AB的坡比1BC与水平宽度AC之比,则AC的长是（
A.5
米B.10米C.15米D.10
米
【答案】A
4.（2010湖北孝感,10,3分如图,某航天飞船在地球表面P点
的正上方A处,从A处观测到地球上的最远点Q,若∠QAP=α,地球
半径为R,则航天飞船距离地球表面的最近距离AP,以及P、Q两点
间的地面距离分别是（
A.
sinRα,180RπαB.sinRRα-,（90180Rαπ-C.sinR
Rα-,（90180R
απ+D.cosRRα-,（90180Rαπ-
【答案】B
5.（2011宁波市,9,3分如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,
滑梯的坡角为a,那么滑梯长l为
A.hsina
B.htana
C.hcosa
D.h·sina
【答案】A
6.（2011台湾台北,34图（十六表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针
上有一点A,且当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为
10公分。
如图（十七,若此钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16公分,
则钟面显示3点50分时,A点距桌面的高度为多少公分
A.3
22-B.
3
16C.18D.19
+
【答案】D
7.（2011山东潍坊,10,3分身高相等的四名同学甲、乙、丙、
丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的,则四名同学所放的风筝中最高的是（
同学甲乙丙丁
放出风筝线长140m100m95m90m
线与地面夹角30°45°45°60°
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】D
8.（2011四川绵阳10,3周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处测得她看塔顶的仰角
β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。
假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为（结果精确到0.01,参考数据:
2=1.414,
3=1.73
A.36.21米
B.37.71米
C.40.98米
D.42.48米
【答案】D
二、填空题
1.（2011山东济宁,15,3分如图,是一张宽m的矩形台球桌ABCD,
一球从点M（点M在长边CD上出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的P点.如果MC
n=,CMNα∠=.那么P点与B点的距离为.
【答案】tantanmnα
α
-⋅2.（2011浙江衢州,13,4分在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了
A
M（第15题
200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C（如图,那么,由此可知,BC、两地相距m.
【答案】2003.（2011甘肃兰州,17,4分某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1
坝外斜坡的坡度i=1∶1,则两个坡角的和
为。
【答案】75
4.（2011广东株洲,11,3分如图,孔明同学背着一桶水,从山
脚A出发,沿与地面成30°角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处,AB=80米,则孔明从A到B上升的高度BC是米.
【答案】40
5.（2011浙江义乌,15,4分右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其
中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是2
5m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是▲m.
【答案】5
6.（2011广东茂名,13,3分如图,在高出海平面100米的悬崖顶A
处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=米.
【答案】100
7.（2011湖北襄阳,14,3分在207国道襄阳段改造工程中,需
沿AC方向开山修路（如图3所示,为了加快施工速度,需要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=1000m,∠D=50°.为了使开挖点E在直线AC上,那么DE=m.（供选用的三角函数值:
sin50°=0.7660,cos50°=
0.6428,tan50°=1.192
【答案】642.8
图3
140°
50°
E
D
C
B
A
8.（2011内蒙古乌兰察布,16,4分某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8︒和10︒,大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是m.（不考虑其它因素
【答案】1.49.（2011重庆市潼南,16,4分如图,某小岛受到了污染,污染范
围可
以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形
区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=30°,∠ACD=60°,则直径AD=米.（结果精确到1米（参考数据:
414.12≈732.13≈
第16题图
【答案】260
三、解答题
1.（2011浙江金华,19,6分生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角,能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64
【解】由题意知,当α越大,梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时,能够使人安全攀爬,所以当α=70°时AC最大.在Rt△ABC中,AB=6米,α=70°,
sin70°=ACAB,即0.94≈AC6
解得AC≈5.6.答:
梯子的顶端能达到的最大高度AC≈5.6米.
16题图BC
D
2.（2011安徽,19,10分如图,某高速公路建设中需要确定隧道
AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长.（参考数据:
3=1.73
【答案】∵OA350033150030tan1500
=⨯=⨯=,OB=OC=1500,∴AB=635865150035001500=-≈-（m.
答:
隧道AB的长约为635m.
3.（2011广东东莞,17,7分如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路。
现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m
;参考数据:
1.732≈≈
【解】设小明家到公路l的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=045,∴BD=AD=x
在Rt△ABD中,
∵∠ACD=030,∴tanADACD
CD∠=,即0tan3050xx=+解得
168.2x=≈
小明家到公路l的距离AD的长度约为
68.2m.……………………………………………8分
4.（2011江苏扬州,25,10分如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=60°.
（1求垂直支架CD的长度。
（结果保留根号
（2求水箱半径OD的长度。
（结果保留三个有效数字,参考数据:
41.12≈,73.13≈
【答案】解:
（1在Rt△DCE中,∠CED=60°,DE=76,
DC∴DC=DE×sin∠CED=383
∵sin∠CED=
DE
（厘米
答:
垂直支架CD的长度为383厘米。
（2设水箱半径OD=x厘米,则OC=（383+x厘米,AO=（150+x厘米,
∵Rt△OAC中,∠BAC=30°
∴AO=2×OC即:
150+x=2（383+x
解得:
x=150-763≈18.52≈18.5（厘米
答:
水箱半径OD的长度为18.5厘米。
5.（2011山东德州20,10分某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A,B之间的距离为4米,tan1.6
α=,β=,试求建筑物CD的高度.
tan1.2
【答案】解:
设建筑物CD与EF的延长线交于点G,DG=x米.…………1分在Rt△DGF中,tanDGGFα
=,即tanxGFα=
.…………2分在Rt△DGE中,tanDGGE
β=
即tan
x
GE
β=
.…………3分∴tanxGF
α
=
tanxGE
β
=
.
∴tanxEFβ
=
tanxα
-
.………5分
∴41.2
1.6
xx=
-
.………6分
解方程得:
x=19.2.………8分∴19.21.220.4CD
DGGC=+=+=.
答:
建筑物高为20.4米.………10分
6.（2011山东威海,23,10分一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
AC
D
BE
F
β
α
GA
C
D
BE
Fβ
α
G
【答案】解:
过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=ACtan60°=,
∵AB∥CF,∴∠BCM=30°.∴1
sin302BM
BC=⋅︒==
cos30152
CMBC=⋅︒==
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,
∴MDBM==
∴15CDCM
MD=-=-.
7.（2011山东烟台,21,8分综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。
如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°。
请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字.
（参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08
【答案】解:
过点F作FG∥EM交CD于G.则MG=EF=20米.∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°
=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50-20=30（米.在Rt△FNR中,
FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29（米.
8.（2011浙江绍兴,20,8分为倡导“地摊生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图,车架档AC与CD的长分别为45cm,60cm,且它们相互垂直,座杆CE的长为20cm,点
,ACE
在同一条直线上,且75CAB∠=︒,如图2.
B
（1求车架档AD的长
（2求车座点E到车架档AB的距离.（
记
过
精
确
到
1cm
参考数据:
sin750.959cos750.2588tan753.7321︒≈︒≈︒≈
,
【答案】解（1
AD=
=75cm
∴车档架AD的长为75cm
（2过点E作EFAB
⊥,垂足为点F,
距离sin75=（4520sin75
EFAE
=︒+︒62.783563cm
≈≈
∴车座点E到车档架AB的距离是63cm
B
9.（2011浙江省,21,10分图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB与地面EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面.
（1求16层楼房DE的高度;
（2若EF=16m,求塔吊的高CH的长（精确到0.1m.
【答案】据题意得:
DE=3.5×16=56,AB=EF=16
∵∠ACB=∠CBG-∠CAB=15°,
∴∠ACB=∠CAB
∴CB=AB=16.∴CG=BC×sin30°=8
CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.
∴塔吊的高CH的长为69m.
10.（2011浙江台州,21,10分丁丁要制作一个形如图1的风筝,想在一个矩形材料中裁剪出如图2阴影所示的梯形翅膀,请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE,CD的长度（精确到个位,7.1
3[来源:
中.考.资.源.网]
【答案】解:
在Rt△BEC中,∠BCE=30º,EC=51,∴BE=3
17≈30,
AE=64
在Rt△AFD中,∠FAD=45º,FD=FA=51,∴CD=64—51≈13
∴CD=13cm,BE=30cm.
11.（2011浙江丽水,19,6分生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角,能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64
【解】当α=70°时,梯子顶端达到的最大高度,
∵sinα=ACAB,
∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6（米
答:
人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.12.（2011江西,22,9分图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形。
当点O到BC（或DE的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆,半径为OA,提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格,现在用金属材料做了
一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F,C-D是弧CD,其余是线段,O是AF的中点,桶口直径AF=34cm,AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。
请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
（参考数据:
314≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97。
【答案】解:
连结OB,过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中,AB=5,AO=17,∴tan∠ABO=
4.3517==ABAO,∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB=3147522=+≈17.72,
∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19>17.∴水桶提手合格.
13.（2011湖南常德,24,8分青青草原上,灰太狼每天都想着如
何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃.（如图7所示一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,
然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40米,若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?
（结果精确到个位
【答案】解:
在Rt△BCD中,
∵∠BCD=90°-30°=60°∴tan60BD
CD=︒,,
则BD=,
在Rt△ABD中,[来源:
中.考.资.源.网]
∵∠ABD=60°
∴
tan60ADBD=︒,
20CD==
∴35
755t=≈=
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.
14.（2011湖南邵阳,20,8分崀山成功列入世界自然遗产名录后,景区管理部门决定在八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处,终点为山顶A处的长度,采取了如图（八所示的测量方法。
在B处测得山顶A的仰角为16°,查阅相关资料
图7BD
C
得山高AC=325米,求索道AB的长度。
（结果精确到1米,参考数据sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29
【答案】解:
AB=AC÷sin16°=325÷0.28≈1161米。
15.（2011湖南益阳,18,8分如图8,AE是位于公路边的电
线杆,为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶,电力部门
在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起拉线.已
知公路的宽AB为8米,电线杆AE的高为12米,水泥撑杆
BD高
为6米,拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°.求拉线CDE
的总长L（A、B、C三点在同一直线上,电线杆、水泥杆的大小忽略不计.
（参考数据:
12sin67.4
13≈,5cos67.413≈,12tan67.45=
【答案】解:
⑴在Rt∆DBC中,sinBDDCBCD∠=,6
66.512
sinsin67.413BDCDDCB∴
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