关于毕达哥拉斯定理证明的论文.docx

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关于毕达哥拉斯定理证明的论文

关于毕达哥拉斯定理的证明

业:

XXXXX

姓名：

指导老师：

摘要:

对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。

关键词:

毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。

正文：

定义：

1.点是没有大小的东西

2.线只有长度而没有宽带

3.一线的两端是点

4.直线是它上面的点一样地平放着的线

5.面只有长度和宽带

6.面的边缘是线

7.平面是它上面的线一样地平放着

8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度

9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.

10.当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫

做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

11.大于直角的角称为钝角。

12.小于直角的角称为锐角

13.边界是物体的边缘

14.图形是一个边界或者几个边界所围成的

15.圆：

由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。

16.这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。

17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，

且把圆二等分。

18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。

19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的•

20.在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形•

21.此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；各边不等的，叫做不等边三角形•

22.在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其余的四边形叫做不规则四边形•

23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0

公理：

1.等于同量的彼此相等

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，其差相等

4.彼此能重合的物体是全等的

5.整体大于部分。

公设:

1.过两点能作且只能作一直线；

2.线段（有限直线）可以无限地延长；

3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；

4.凡是直角都相等；

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于

180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

作图证明：

1.在一个已知有限直线上作一个等边三角形

设AB是已知直线

以A为圆心，以AB为距离画圆

以B为圆心，以AB为距离画圆

两圆交点C到A,B的来连线CA,CB

•/AC=AB

BC=BA

•••CA=CB=AB

•••△ABC是等边三角形

2.过直线外一已知点作一直线平行于已知直线。

设A是已知点，BC是已知直线，要求经过A点做直线平行于BC

在BC上任取一点D,连接AD,在直线DA上的点A,做/DAE=/ADC设直线AF是直线EA的延长线

•••直线AD和两条直线BC,EF相交成彼此相等的内错角EAD,ADC

•••EAF//BC

作毕

3.在已知线段上作一个正方形。

设AB是已知线段，要求在线段AB上作一个正方形

令AC是从线段AB上的点A所画的直线，它与AB成直角

取AD=AB

过点D做DE平行于AB,过点B做BE平行于AD,所以ADEB是平行四边形

•AB=DE,AD=BE

又AD=AB

•平行四边形ADEB是等边的

•••/BAD+ZADE=180°

/BAD是直角

•ZADE是直角

•••平行四边形中对边及对角相等

•ABDE是正方形

4：

由已知直线上一已知点做直线与已知直线成直角

解：

设在AC上任意取一点D,使CE=CD

在DE上作一个等边三角形FDE

连接FC

•/DC=CE

CF=CF

DF=CF

DF=FE

•••/DCF=ZECF

他们是邻角，由定义10,二者都是直角

作毕。

5：

已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段是它等于另外一条设AB,C是两条不相等的线段

由A取AD等于线段C

以A为圆心，AD为距离画圆DEF

•/A是圆DEF的圆心

•••AE=AD

又C=AD

•AE=C=AD

作毕

命题证明:

命题1如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等的线段所夹的角相等。

那么，

它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其它的角等于其它的角，即那等边所对的

角。

证明：

设ABCQEF是两个三角形，AB=DE,AC=DF/BAC=ZEDF

如果移动三角形ABC到DEF上，若A落在点D上，且线段落在DE上•/AB=DE

•B与E重

合

又AB与DE

重合

/BAC=/

EDF

•AC与DF

重合

又AC=DF

•C与F重

合

•△ABC与

△DEF重

合，即全等

命题2:

一条直线和另一条直线所交成的角，或者是两个直角，或者是它们的和等于2个直

角

证明：

设任意直线AB交CD成角CBA,ABD

若/CBA=ZABD

则/CBA=ZABD=90。

（定义10）

若二者不是直角

作BE丄CD于B

/CBE=ZEBD=90°

/CBE=ZCBA+ZABE

•••/CBE+ZEBD=ZCBA+ZABE+ZEBD同理，/DBA+ZABC=ZDBE+ZEBA+ZABC

•ZCBE+ZEBD=ZDBA+ZABC=180°

原命题得证

命题3:

对顶角相等证明：

设直线AB,CD相交于点E

vZDEA+ZCEA=ZCEA+ZBEC=180（命题2）

•ZDEA=ZBEC

命题4:

两直线平行，同位角相等设直线EF与两条平行直线AB,CD相交假设ZAGH不等于ZGHD不妨设ZAGH较大

ZAGH+ZBGH>ZGHD+ZBGH

又ZAGH+ZBGH=180°（命题1）

•ZGHD+ZBGH<180°

•••二直线延长一定会相交

又两直线平行

•ZAGH=ZGHD

又ZAGH=ZEGB（命题3）

•ZGHD=ZEGB

原命题得证

命题5:

如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边，即过着这边是的等角的家变，或者是等角的对边，则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角

证明：

如果AB工DE

不妨设AB>DE取BG等于DE

连接GC

•/BG=DE

BC=EF

GB=DE

BC=EF

/•ZGBC=/DEF

GC=DF

又：

上GBCDEF

/•其余角和边也相等（命题1）

/ZGCB=ZDFE

/ZBCG=ZBCA

这是不可能的

•/AB=DE

又BC=EF

•/AB=DE

BC=EF

ZABC=ZDEF

•/AC=DF

ZBAC=ZEDF（命题1）

假设BC工EF

不妨设BC>EF

令BH=EF

连接AH

•/BH=EF

AB=DE

所成的夹角相等

/•AH=DF

.△ABHDEF

•••/BHA=/EFD

又/EFD=/BCA

因此，在三角形AHC中，外角BHA等于/BCA这是不可能的

•:

BC=EF

又AB=DE

夹角也相等（命题1）

•：

△ABCDEF

•:

AC=DF

命题6:

在平行四边形中，对边相等且对角线二等分其面积（注：

《几何原本》原文中无平行四边形的定义

定义：

在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

）

证明：

•••AB//CD

：

•/ABC=ZBCD

•/AC//BD

：

•/ACB=ZCBD（命题4）

又BC=BC

：

.△ABC^ADCB

：

•/ABC=ZBCD

又•••/CBD=ZACB

AC=AC

：

.△ABD^AACD

：

•/BAC=ZCDB

•平行四边形ABCD中，对边对角彼此相等

（

（1）

（2）性质得证）

同样地，•••△ABgADCB

•••对角线BC平分平行四边形ACBD的面积

命题7:

在同底且在相同两平行线之间的平行四边形面积相等

证明：

设ABCD,EBCF是平行四边形，它们在同底BG且在相同的平行线AF,BC之间•••ABCD是平行四边形

•AD=BC

同理，EF=BC,AD=EF

•AE=DF

又AB=DC

FDC=ZEAB

•△EAB^AFDC

EB=FC

•面积△EAB-ADGE=AFDCADGE

•面积ABGD=EGCF

同加上△GBC

•平行四边形ABCD面积等于平行四边形EBCF

命题&如果过任意一条直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一条直线上

证明：

如果BD与BC不共线

假设BE和CB共线

•/AB在直线CBE之上

•/ABC+ZABE=180°（命题2）

又/ABC+ZABD=180°

•ZCBA+ZABE=ZCBA+ZABD

两边同时减去/CBA

则/ABE=ZABD（公设4,公理1，公理3）这是不可能的

•••BE,BC不共线

同理除BD外没有其他直线与BC共线

•CB与BD共线

命题9:

在同底上且在相同两平行线之间的三角形面积相等

证明：

如图所示，设三角形ABCQBC同底且在相同两平行线AD,BC之间延长AD和DA分别至F,E,过B作BE平行于CA,过C作CF平行于BD则四边形EBCA和DBCF都是平行四边形，且面积相等（命题5）

•••△ABC的面积是偶像是必须EBCA的一半

△DBC的面积是平行四边形DBCF的一半（命题6）

•△DBC面积等于厶ABC的面积

命题10:

如果一个平行四边形和一个三角形既通敌又在两平行线之间，则平行四边形的面积是三角形的2倍

证明：

连接AC

•/△ABC与厶EBC又同底BC,又在平行线BC和AE之间

•△ABC的面积等于△EBC

•/AC平分平行四边形ABCD

•平行四边形ABCD的面积是厶EBC的2倍

关于毕达哥拉斯定理的证明：

直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。

已知：

如图所示，△ABC是直角三角形。

求证：

AB2+AC2=BC2。

证明：

分别以直角边AB,AC和斜边BC的作正方形ABFG,正方形ACKH正方形BCED（作图

3）

过A作AL平行于BD或CE连接AD，FC;

•••/BAC=ZBAG=90°

•••C,A,G共线（命题8）

同理，B,A,H共线

•••/DBC=ZFBA

所以/DBC+ZABC=ZFBA+ZABC

即/DBA=ZFBC（公理2）

又DB=BC

FB=BA

所以△ABD^AFBC（命题1）平行线AL与BD之间

平行四边形BL的面积是厶ABD的2倍

同理，正方形GB的面积是厶FBC的2倍

由公理2，平行四边形BL的面积与正方形BD相等（命题10）

同理可得，平行四边形CL等于正方形HC

•••正方形BCED的面积等于正方形ABFG与正方形ACKH面积之和（公理2）•••BC2=AB2+AC2

原命题得证

参考文献：

欧几里得《几何原本》

TheproofofthePythagoreantheoremabout

Professional:

Name:

Teacher:

forthegeometryoftheproofofthePythagoreantheoremwasprocess,todefine

thekansai,axioms,justicewayreasoning,nowwillallconcernedproofofthePythagoreantheoremputforwardproposition.

thePythagoreantheorem,definition,axioms,justice.

Text:

Definition：

1.Thepointisnotpartofthethings

2.Linelengthandnotonlybroadband

3.Aatbothendsofthelineisthepoint

4.Straightlineisonittothepointofbeingthesameline

5.Facesonlylengthandbroadband

6.Theedgeisline

7.Theplaneisonitasalieflatline8,isinaplanewithinintersectseachotherbutnotinastraightlineofthetwointersectinglinethegradientofeachother.

9.WhenincludingAngleoftwolinesarestraightline,thehorniscalledstraightlineAngle.

10.WhenastraightlineandtheotherhandinastraightlineintoLinJiaoequaltoeachother,andthesehornseverycalledrightAngle,andsaysthatastraightlineperpendiculartotheotherinastraightline.

11.GreaterthanthehornsoftherightAnglecalledobtuseAngle.

12.LessthantherightAnglecalledacuteAngle

13.Theboundaryistheedgeoftheobject

14.Thefigureisaboundaryorsurroundedbyseveralboundary

15.Round:

byalineofsurroundedbytheplanefigure,itisalittleandthelineanypointjoinedthelineareequal.

16.Thepoint（referstothedefinitionofthepointsmentionedin15）calledcircle.

17.Circlediameterisanyacircularstraightafterthetwodirectionwasroundinterceptsline,andtheroundtwoparts.

18.Semicircleisdiameterandwasitthecirculararcofthecuttingthatsurroundedthegraphics,semicirclecircleandthesamecircle.

19.Linearformissurroundedbyline.Trilateralformbythreestraightlineissurrounded,quadrilateralbyfourstraightlinesissurrounded,polygonsbymorethanfourstraightlineissurrounded.

20.Intheshapeof3,3sidesequal,calledanequilateraltriangle;Onlytwoedgesequal,calledanisoscelestriangle;Theedgeoftherange,callednotanequilateraltriangle.

21.Inaddition,intheshapeofthetrilateral,havearightAngleis,iscalledarighttriangle;HaveaAngleisthenails,thenailscalledtriangle;Theedgeoftherange,callednotanequilateraltriangle.

22.Inthequadrilateral,toteisequalandfourAngleistheAngle,iscalledasquare;AngleisarightAngle,butquadrilateralnotallequal,calledtherectangle;Fourequal,butnottherightAngle,calleddiamond;Diagonalisequalandoppositesidesequal,butnotallequalandedgehornisnottherightAngle,calledtheinclinedsquare;Therestofthequadrilateralcalledirregularquadrilateral.

23.Parallellinesareinthesameplaneintrovertedendsextendunlimitedcannotattheintersectionofstraightline.0

Justice：

1.Equaltoaboutthesameamountofequaltoeachother

2.Addamountequal,itsandequal;

3.Reducedamountequal,thepoorareequal

4.Eachothercanoverlapobjectiscongruent

5.Thewholeisgreaterthanthepartially.

Axiom:

1.Acanonlybemadetwoandastraightline;

2.Theline（limitedlinear）canbeinfiniteextension;

3.Asalittletotherightto,anylongforradius,canmakeacircle;

4.AllrightAngleareequal;

5.Withplanewithinastraightlineandanothertwostraightlineintersection,ifinlinewiththe

sideofthesumofthetwoaninternalAngleislessthan180,thenth°setwostraightlinesafter

theinfiniteextensioninthesidemustintersect.

Drawingtheproof:

1.Inagivenlimitedonastraightlineequilateraltriangle

SetABisknownstraightline

WithAtotheright,todrawcirclesABdistance

WithBtotheright,todrawcirclesABdistance

Tworound）toAC,BtoattachmentofCA,CB

•/AC=AB

BC=BA

/•CA=CB=AB

/•enablesdeltaABCisanequilateraltriangle

2.Aknownpointforastraightlineparalleltotheknownstraightline.

SetAisknownpoint,BCisknownstraightline,afterArequesttodoAstraightlineparalleltoBC

TakeAlittleDtookofficeinBC,connectionADinstraightDApointsonA,do

AstraightlineisstraightlineEAAF

/•linearADandtwostraightlinesBC,EFintoeachotherNaCuoJiaointersectionequalEAD,

ADC

/•EAF//BC

3.Inlineforaknownonthesquare.

LineABisaknown,inthelineABrequirementsonasquare

ThelineABtoACfrompointAarepaintingofthestraightline,itandAB,atrightangles

TakeAD=AB

LeadpointDdoDE,paralleltotheAB,leadpointBdoBEparalleltotheAD,soADEBisaparallelogram

/•AB=DE,AD=BE

AndAD=AB

/•parallelogramADEBisequalsides

•/

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