高三数学理上学期第二次阶段考试试题.docx
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高三数学理上学期第二次阶段考试试题
2019-2020年高三数学理上学期第二次阶段考试试题
注意：
本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1、若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数（）
A．B．C．D．或
2、已知集合，，若，则实数（）
A．B．C．D．
3、图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
4、若如图所示的程序框图输出的是，则在判断框中表示的“条件”应该是（）
A．B．
C．D．
5、已知向量，，则“且”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6、已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．
C．D．
7、已知实数，函数，若，则的值是（）
A．B．C．D．
8、若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：
其中是集合上的拓扑的集合的序号是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）
（一）必做题（9～13题）
9、已知等比数列满足，，则__________．
10、不等式的解集是．
11、若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率等于________．
12、在的展开式中，的系数是___________．
13、直角坐标系中，已知两定点，．动点满足
，则点构成的区域的面积等于__________．
（二）选做题：
（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）
14、（坐标系与参数方程选做题）已知的参数方程为（为参数），在点处的切线为，若以直角坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程是．
15、（几何证明选讲选做题）如图，在中，，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，，则的长等于．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）
16、（本小题满分12分）设向量，，．
若，求的值；
设函数，求的最大值．
17、（本小题满分12分）为了参加年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
18、（本小题满分14分）在三棱锥中，侧棱长均为，底边，，，、分别为、的中点．
求证：
平面平面；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
19、（本小题满分14分）若正数项数列的前项和为，首项，
点在曲线上．
求，；
求数列的通项公式；
设，表示数列的前项和，若恒成立，求及实数的取值范围．
20、（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆．
求椭圆的方程；
若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；
是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？
若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分14分）已知函数（）．
当时，比较与的大小；
当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
求证：
对于一切正整数，都有．
凤翔中学2014－2015学年度第一学期第二次阶段考试
高三理科数学试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
A
D
C
D
二、填空题
（一）必做题
9、10、11、12、13、
（二）选做题
14、15、
三、解答题
16、解：
由…………………………1分
…………………………2分
及，得.
又，从而…………………………4分
所以…………………………6分
…………………………9分
当时，
所以当时，取得最大值1…………………………11分
所以的最大值为…………………………12分
17、解：
“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件，则．…………………………………………5分
的所有可能取值为………………………………………………6分
则，，………9分
∴的分布列为：
……………………………………………………………………………10分
∴……………………………………………12分
18、证明：
取的中点，连接，，易得：
………………………1分
………………………2分
………………………3分
又
平面，又
………………………5分
解：
………………………7分
方法一：
过点E作于H，过点H作于M，连接
因为平面平面，平面平面=，
，平面，所以平面，
即为所求的二面角的平面角………………10分
分别为中点，
在中，
………………………11分
在中，………………………12分
所以，中，
所以………………………14分
方法二：
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
,,,,,,
，………………………9分
所以，可以设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为………………………10分
，所以令，则，
所以，可以设所求的二面角为，显然为锐角…………………11分
由，可得：
………………………12分
……………………14分
19、解：
点在曲线上
…………………1分
分别取和，得：
由解得，…………………4分
由得：
数列是以为首项，为公差的等差数列
即…………………6分
当时，
当时，，满足上式
数列的通项公式是…………………8分
…………………10分
显然是关于的增函数
有最小值…………………12分
恒成立
…………………13分
的取值范围是…………………14分
20、解：
由椭圆定义得，………………………………………1分
即，………………………2分
∴，又，∴.………………………………………3分
故椭圆的方程为…………………………………………………4分
圆心到轴距离，圆的半径，
若圆与轴有两个不同交点，则有，即，
化简得.…………………………………………………6分
点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：
，解得：
.………………………………………8分
又，∴，即点横坐标的取值范围是.……9分
存在定圆与圆恒相切，其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4.……………………12分
∵由椭圆定义知，，即，
∴圆与圆恒内切.……………………………………………………………14分
21、解：
当时，，其定义域为…………………1分
因为
所以在上是增函数…………………………3分
故当时，；当时，；
当时，…………………………4分
解：
当时，，其定义域为
令得，…………………………6分
因为当或时，；当时，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增
且的极大值为，极小值为………………………7分
又当时，；当时，
因为函数仅有一个零点
所以函数的图象与直线仅有一个交点
所以或…………………………9分
方法一：
根据的结论知：
当时，
即当时，，即…………………………12分
令，则有
从而得，，…………………………13分
故得
即
所以…………………………14分
方法二：
用数学归纳法证明：
①当时，不等式左边，右边
因为，所以，即时，不等式成立……………………10分
②假设当时，不等式成立，即
那么，当时，
……………11分
由的结论知，当时，，即
所以…………………………12分
即
即当时，不等式也成立…………………………13分
综合①②知，对于一切正整数，都有…………14分
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