版 第1章 124 第2课时 两平面垂直.docx

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版第1章124第2课时两平面垂直

第2课时　两平面垂直

1．了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角．（难点）

2．理解并掌握面面垂直的判定定理．（难点、重点）

3．掌握面面垂直的性质定理及其应用方法．（难点、重点）

[基础·初探]

教材整理1　与二面角有关的概念

阅读教材P46～P47例1，完成下列问题．

1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β.

2．一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

3．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．

下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

其中正确的是________．

【答案】　②④

教材整理2　平面与平面垂直的判定定理

阅读教材P47～P48例2，完成下列问题．

平面与平面垂直的判定定理

自然语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

图形语言

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．（√）

（2）一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．（√）

（3）一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．（√）

（4）一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．（√）

教材整理3　平面与平面垂直的性质定理

阅读教材P48例2以下部分内容，完成下列问题．

平面与平面垂直的性质定理

自然语言

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β

图形语言

1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________.

【导学号：

41292030】

【答案】　a∥α或a⊂α

2．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．

【解析】　如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能相交．

【答案】　平行或相交

[小组合作型]

面面垂直的判定定理的应用

　已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：

平面MND⊥平面PCD.

【精彩点拨】　欲证平面MND⊥平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可，取PD的中点E，易知MN∥AE，故只需证明AE⊥平面PCD即可．

【自主解答】　如图，取PD的中点E，连结AE，NE.

∵E，N分别是PD，PC的中点，

∴EN綊

CD.

又AB∥CD，AM＝

AB，

∴EN綊AM，

∴四边形AMNE是平行四边形，

∴MN∥AE.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又CD⊥AD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.

在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，

∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.

又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.

∵MN⊂平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.

面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．

[再练一题]

1．如图1－2－91，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：

平面BDC1⊥平面BDC.

图1－2－91

【解】　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.

又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.

又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，

∵DC1⊂平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC.

面面垂直性质的应用

　如图1－2－92，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

图1－2－92

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

【精彩点拨】　

（1）在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可．

（2）先证BC⊥平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.

【自主解答】　

（1）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．

又因为E是SA的中点，

所以EF∥AB.

因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，

所以平面EFG∥平面ABC.

（2）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.

因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.

因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.

1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．

2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．

[再练一题]

2．如图1－2－93，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．

图1－2－93

求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

【证明】　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

又PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF，

又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.

因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

[探究共研型]

求二面角的大小

探究　若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？

【提示】　关系无法确定．如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．

　如图1－2－94所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝

，PB＝

，求二面角P－BC－A的大小.

【导学号：

41292041】

图1－2－94

【精彩点拨】　先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解．

【自主解答】　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.

又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.

又∵BC⊥AC.

∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．

在Rt△PBC中，

∵PB＝

，BC＝

，∴PC＝2.

在Rt△ABC中，AC＝

＝

，

∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝

＝

，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小为45°.

解决二面角问题的策略

[再练一题]

3．如图1－2－95

（1）所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图1－2－95

（2）所示．

（1）　　　　　

（2）

图1－2－95

（1）求证：

平面ABD⊥平面BCD；

（2）求二面角B－AD－C的大小．

【解】　

（1）证明：

如图，

∵∠ACD＝135°－45°＝90°，

∴CD⊥AC.由已知二面角B－AC－D是直二面角，

过B作BO⊥AC，垂足为O，

由AB＝BC知O为AC中点，

作OE⊥AC交AD于E，

则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.

而OE∩AC＝O，

∴BO⊥平面ACD.

又∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.

又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC.

∵AB⊂平面ABC，

∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.

又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.

（2）由

（1）知BO⊥平面ACD，

∴BO⊥AD.

∵BO∩OE＝O，

∴AD⊥平面BOE，而BE⊂平面BOE，

∴AD⊥BE，

∴∠BEO是二面角B－AD－C的平面角．

由已知AB＝BC＝CD＝a，∴AC＝

a，∴BO＝

a.

由

（1）知AC⊥CD，∴AD＝

a.

∵△AOE∽△ADC，

∴

＝

，∴OE＝

＝

a.

在△BOE中，tan∠BEO＝

＝

＝

，

∴∠BEO＝60°，即二面角B－AD－C的大小为60°.

1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有________个．

【解析】　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．

【答案】　无数

2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是________．

①m⊥n，m∥α，n∥β；②m⊥n，α∩β＝m，n⊂α；

③m∥n，n⊥β，m⊂α；④m∥n，m⊥α，n⊥β.

【解析】　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.

【答案】　③

3．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的有________.

【导学号：

41292042】

①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．

【解析】　当a，b都与l平行时，

则a∥b，所以①④错．如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，

因为α⊥β，所以a′⊥β.

又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．

【答案】　③

4．如图1－2－96，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________．（填序号）

图1－2－96

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

【解析】　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．

【答案】　③

5．如图1－2－97，平面角为锐角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α－EF－β的平面角．

图1－2－97

【解】　作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．

又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝

a，GH＝

a，sin∠GBH＝

＝

，所以∠GBH＝45°，

故二面角α－EF－β的平面角为45°.