162 线段的垂直平分线 教案2沪科版八年级上册.docx
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162线段的垂直平分线教案2沪科版八年级上册
16.2线段的垂直平分线
（1）
一、学习目标：
1、了解线段垂直平分线的定义。
2、会用尺规作图画线段的垂直平分线、能规范的已知、求作和作法。
3、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。
二、重点、难点：
线段的垂直平分线的性质及性质的应用。
三、教材分析：
1、本节内容分为三个部分：
其一，通过折纸，经历探索线段垂直平分线的概念形成过程和探索线段的轴对称的过程；其二，用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线；其三，通过作图、实验与操作，探索线段的垂直平分线的性质。
2、教科书首先引导学生用折叠的方法探索线段垂直平分线的特征，从而引出线段垂直平分线的定义，在此基础上概括出线段的轴对称性。
3、探索线段垂直平分线的性质，主要应用试验和观察的方法。
四、学情分析：
本节内容学生在学习了轴对称的基础上通过动手折叠得出线段的对称性及线段的垂直平分线的性质。
这些内容是对已学过的线段内容的补充和完善，而且是进一步研究三角形、四边形和圆的基础。
对学生的后继学习有着重要的作用。
五、学法指导：
自主学习、合作交流
六、学习过程：
（一）、课前预习：
复习轴对称图形及性质
（二）探究：
活动一：
自主学习
（先自主学习，经历自主探索总结的过程，并自主完成活动，同学们进行展示。
）
1、问题：
怎样做一条线段的垂直平分线？
2、在纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。
活动二：
合作交流
（小组内相互交流，得出结论）
1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？
2、直线MN与线段AB有怎样的位置关系？
3、线段AB是轴对称图形吗？
精讲点拨：
（各小组总结发现的结论，教师及时进行总结）
1、总结线段垂直平分线的定义：
2、线段的轴对称性：
活动三：
交流提升
问题：
用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？
例题分析：
（自主预习课本，画出线段的垂直平分线）
已知：
线段AB
求作：
线段AB的垂直平分线。
作法：
1、分别以点A、B为圆心，大于1/2AB的长为半径画弧交于点E、F
2、过E、F作直线，直线EF就是线段AB的垂直平分线。
活动四：
交流与发现
（1）请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF（请一名同学在黑板上做）。
（2）在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=？
，PB=？
引导学生观察这两个值有什么关系？
（3）、通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P＇试一试仍然有P＇A=P＇B，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论进行总结：
归纳总结：
线段垂直平分线的性质
有效训练：
1、线段AB、BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA、PB、PC的长度是否相等？
你能说一说理由吗？
2、有一家工厂的三栋厂房形成了一个三角形，为方便职工生活，准备建一个食堂，请问食堂建在什么位置才能使三栋厂房内的工人走的路相等？
八、达标测评
1、线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的_________相等。
2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．
3．如图，直线l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点．
4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
九、让学生总结本节课的学习内容。
16.2线段的垂直平分线
（2）
一、教学内容：
课本123－124面的内容。
二、教学目标：
1．掌握线段的垂直平分线的逆定理及其应用．
2．理解线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．
三、教学重点和难点：
重点是线段的垂直平分钱的逆定理，线段的垂直平分线定理与逆定理的关系．
四、教学过程：
一、复习线段垂直平分线的性质定理．
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
类比联想，探索线段垂直平分线的其它结论．
（1）反过来，和一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
如图3-132，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．让生讨论证明过程，并找一名学生到黑板板演。
二、应用举例
例1：
已知：
如图3-133，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：
（1）PA＝PB=PC；
（2）P在边AC的垂直平分线上．
教师引导学生总结出以下结论：
（1）三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等；
（2）找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法是找两边垂直平分线的交点．
例2已知：
如图3－134,△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A=50°，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，BC＝3cm．求：
（1）∠EBC的度数；
（2）△BEC的周长．（让学生讨论，写出解答过程，并集体订正）
智力闯关：
如图3－136（a），△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋BD＝DC．求证：
∠B＝2∠C．
分析：
此题需添加辅助线将线段之和AB＋BD或线段之差DC－BD转化为一条完整线
段，再结合AD⊥BC，可利用线段的垂直平分线来实现．
证法一（补短法）延长DB到E，使BE＝AB，则AB＋BD＝DE，利用线段CE的垂直平分线AD的性质解决，如图3-１36（b）．
证法二（截长法）在DC上截取DE＝DB，则DC－BD＝DC－DE＝EC＝AB．利用线段BE的垂直平分线AD的性质解决，见图3-136（c）．
三、让学生总结本节课的学习内容。
3．达标测评：
第124面的练习1、2题。
四、作业
课本第124面的第3、4题．
16.3等腰三角形性质
教学目标：
1、知识与技能
1）探究并掌握等腰三角形的性质定理及推论；
2）能根据等腰三角形的性质解决有关计算和证明的问题
2、过程与方法
采用探究学习法，学生在折叠的过程中观察、发现问题，猜测结论，并进行证明，形成定理
3、情感态度与价值观
1）通过探究性学习实验，使学生发现等腰三角形“等边对等角”及“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的性质;
2）通过性质的证明和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力;
3）使学生进一步了解发现真理的方法（探究-猜想--论证）.
教学重点等腰三角形性质的探索、证明和应用；
教学难点：
等腰三角形性质的证明
教学方法：
实验探究法
教学用具：
三角板，用纸做的一个等腰三角形，几何画板，多媒体
教学过程：
过程
教师活动
学生活动
设计意图
媒体
一实验探索，大胆猜想
显示实际生活中等腰三角形的广泛应用，引出研究等腰三角形的重要性
实验1请同学们将自己准备的等腰三角形折叠，使得两腰重合。
探索发现折叠以后，你有什么新的发现？
（除了两腰重合外，还有重合的部分吗？
）
老师借助几何画板演示，帮助学生进一步理解猜想的结论
学生根据老师的要求，每个人动手操作
结合自己折叠的等腰三角形，小组讨论，观察，发现新的结论
两个底角重合；折线平分顶角，平分底边，并且垂直于底边
猜想等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等底边上的中线、高线、顶角平分线互相重合。
让学生经历“实验---发现---猜想---验证”的研究问题的一般那方法和过程
幻灯显示图片
几何画板演示等腰三角形的性质
二证明猜想，形成定理
引导学生对我们的猜想进行证明：
根据我们的实验，以及得到猜测的过程，分析证明思路
（一）等腰三角形的两个底角相等
分析：
先结合图形写出“已知”，“求证”.
对学生的证明思路
进行及时肯定和订正
证明之后，形成定理：
已知：
∆ABC中,AB=AC.
求证：
∠B=∠C.
根据折叠时产生对称轴，两部分重合，在老师的提示下，分别作出不同的辅助线做法，并进行证明。
老师引导学生利用构建全等三角形来证明角等，以学生说出证明思路为主，三种证明方法，锻炼学生的思维
几何画板显示不同的证明过程
过程
教师活动
学生活动
设计意图
媒体
证明猜想，形成定理
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”）
强调：
在一个三角形中，等边对等角。
推论等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线互相重合。
分析证明之后，用几何画板向同学们演示，只有等腰三角形的“三线”合一。
符号表示：
在∆ABC中,
∵AB=AC（已知）.
∴∠B=∠C（等边对等角）
符号表示：
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____。
能力
进一步强化几何的３种语言（图形语言、符号语言、文字语言）的互相转化
幻灯展示，节省时间
三应用举例，强化训练
例1在△ABC中，已知AB=AC，且∠A=120°，求∠B，∠C的度数.
性质定理的应用
老师在学生分析的基础上进行总结，并帮助学生写出解题过程。
在完成变式练习之后，总结：
在等腰三角形中，我们只要知道任一个角，就可以求出另外两个角！
例2已知：
△ABC中，AB=AC.小明想作∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何作出∠BAC的平分线？
推论“三线合一”
的应用
结合学生的回答情况，
可以向学生再次演示
解答的正确性。
.变式1在△ABC中，已知AB=AC，且∠B=80°，
则∠C= ，∠A=。
变式2、在△ABC中，
如果AB=AC，
且一个角等于70°，
求另两个角的度数？
若改为
呢？
变式1在△ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm,BC=___cm.
变式2在△ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，∠1=20°,
则∠2= ，∠BAC=.
变式3在△ABC中，AD=4cm,AB=AC=5cm，且BD=CD，求点A到线段BC的距离。
在对例１的掌握的基础上，通过变式练习进一步促进学生对等腰三角形的性质定理的理解和掌握
结合例２进行的变式练习，加强学生对“三线合一”熟练应用
过程
教师活动
学生活动
设计意图
媒体
四教学反馈，引导小结
这节课你有什么收获？
你印象最深的是什么？
数学知识：
（1）等腰三角形的性质定理及推论.
（2）利用等腰三角形的性质定理可证明：
两角相等，两线段相等，两直线互相垂直.
（3）在等腰三角形中，作底边的中线、高或顶角平分线是常用的作辅助线的方法，但应避免出现所作辅助线满足两个条件，如：
作△ABC的∠A的平分线，使它垂直于对边．
（4）遇到已知等腰三角形中的一个角的度数时，需注意分类讨论，判断它能做顶角还是底角．
学习方法：
实验—猜想---验证—应用
现由学生自由发言，畅所欲言
让学生回顾整节课的收获，对主要的知识和方法进行总结，有利于知识的系统性
用幻灯显示主要的知识点和应该注意的，加深印象
五
作业
P125练习1，2，3
认真完成
及时巩固，加深理解和掌握
等腰三角形性质的练习课
教学要求：
熟练掌握等腰三角形的性质定理及其推论,并能利用其证明两角相等、两条相等、两直线垂直。
教学重点：
掌握等腰三角形的性质定理及其推论。
教学难点：
用文字叙述的证明题应从分析题设、结论开始，画出图形，写出已知、求证，最后写出证明。
教学过程：
一、归纳：
等腰三角形的性质是证明线段相等、角相等及两垂直的重要依据，要熟练掌握下述的推理，如图：
A
BDC
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C
（2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=DC
（3）∵AB=AC，BD=DC，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠BAD=∠CAD
在等腰三角形中经常需添加辅助线，虽然顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相垂直，如何添加却要根据具体情况来定，作时只作一条再根据性质得出另两条.
二、讲解：
A
FE
BC
D
例：
如图所示在△ABC中,∠BAC=64o,D、E、F分别为BC、CA、AB上的点，且BD=BF，CD=CE，则∠EDF的度数是___________
分析∠EDF与已知角∠BAC没有直接关系,需要找到中间角进行过渡.
∠EDF=180o－（∠1+∠2）,这里∠1与∠2仍与∠A没有直接联系,仍需继续代换,由于BD=BF,CD=CE,所以∠1=∠BFD,∠2=∠CED,∠1=
（180o－∠B）,∠2=
（180o－∠C）,∴∠1+∠2=180o－
（∠B+∠C）,于是∠EDF=
（∠B+∠C）=
（180o－∠A）
解∵BD=BF,CD=CE
∴∠1=∠BFD,∠2=∠CED（等腰三角形的两底角相等）
∴∠1=
（180o－∠B）=90o－
∠B∠2=90o－
∠C（三角形内角和定理）
∴∠EDF=180o－（∠1+∠2）=
（∠B+∠C）=
（180o－∠A）
∵∠A=64o∴∠EDF=
（180o－64o）=58o填58o
点评：
1、“等腰三角形的两底角相等”是等腰三角形的常用性质之一，它在几何计算中应用较广，它常与三角形的内角和定理一起使用，用来求三角形的某些内角的度数。
2、当所求角与已知角没有直接联系时，经常用其它角进行过渡、代换、直至找到它们之间的联系。
例：
在等腰三角形ABC中,底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）,即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么PD、PE和CF存在什么等式关系？
写出你的猜想并加以证明。
A
D
F
BCP
E
分析：
本题是一道开放型试题，PD、PE、CF之间的相等关系应为PD=PE+CF，要证明这一结论成立，可以用“截长补短法”将其转化为证线段相等，还可以用面积法求解,本题用面积法求解更简捷.
解连结AP，则有面积关系：
S△PAB=S△PAC+S△CAB
由面积公式，有
AB×PD=
AB×CF+
AB×PE
即
AB×PD=
AB×（CF+PE）
∴PD=CF+PE
点评：
面积法证题简捷明了，能够解决许多几何问题，特别是与三角形高有关的几何问题，所以同学们在今后的证题中，如有与距离、三角形的高有关系的几何题，可以考虑能否用面积法求解。
3、小结本节知识
4、课堂练习：
课本第128页的1、2题。
四、作业：
课本第128页3、4题。
16.4角的平分线
[教学目标]
1、经历角平分线性质的发现过程，并通过将这一过程与线段垂直平分线性质的发现过程作对比，体会隐含其中的由“点”研究“线”的研究思想。
2、类比已学的“线段的垂直平分线”的知识结构和方法结构，通过探索和证明，建立“角的平分”一节的知识结构，并在探索和证明过程中，体会数学表述的严密性要求。
3、初步掌握角平分线的性质定理、逆定理以及用集合观点表述角平分线等知识，并能运用上述知识解决简单的几何问题。
[教学过程（实录）]
一、复习旧知，引入课题
通过多媒体展示飞机（模型-纸飞机），让学生折飞机，并引导学生观察折痕得出本节课的课题——角的平分线.
2、创设情景，学习新知
角的平分线的画法：
在角AOB中，画角平分线
作法：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N．
2.分别以点M，N为圆心，以大于1／2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P
3.作射线OP
则射线OP为角AOB的角平分线
让学生自己在草稿纸上自己画，同桌相互检查，集体订正。
师：
上节课我们用一种探索的方法，对线段的垂直平分线作了较为深入的研究，今天我们要用类似的方法对角的平分线进行研究。
板书：
角的平分线
请同学们先回忆一下，关于角的平分线我们已经学过的有关结论。
生
（1）：
∠AOC＝∠BOC；角是轴对称图形，对称轴是OC所在的直线。
师：
板书：
已有知识：
若：
OC是∠AOB的平分线
则：
①∠1＝∠2
②OC所在的直线是∠AOB的对称轴
那么关于角的平分线，还有哪些其他结论呢？
请大家以小组为单位进行合作探究。
二、探究得出性质定理
师下发课堂教学操作单1。
（“操作单”见附一）
课件显示课堂教学操作单1
生（众）：
以小组为单位进行合作探究，并填写操作单1。
师：
巡视，并适时介入讨论。
下面我们把各组探究的成果一起来交流一下。
先从研究方法说起。
生
（2）：
在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA，PE⊥OB。
此时可以得到PD＝PE
师：
板书：
新的结论（猜）：
在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D、E。
则：
PD＝PE。
会证明吗？
生
（2）：
会。
学生叙述证明过程。
师：
这样我们就得到了一个新的结论（擦去“猜”字）。
这就是角的平分线的性质定理。
板书：
定理：
生（3）：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
师：
板书：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
大家对他们小组的研究方法和研究结果有什么不同看法，或者有补充意见吗？
生（众）：
没有。
师：
我刚才看到有同学画角平分线的垂线的
生（4）：
是我，后来发现不对的，（投影显示图形）
这里是角平分线加垂线得等腰三角形，结论都是学过的，没有新的内容。
好，看来我们通过适当的研究，得到了一个大家信服的结果。
但老师有几个不明白的地方想问大家。
问题1：
在OC上任取一点，这一点包括点O吗？
为什么？
生（5）：
不包括，因为点P在点O处时，垂线段画不出来，证明过程也无效。
生（6）：
包括的，点P在点O时，点P到OA、OB的距离都为零，相等，所以结论仍成立。
生（5）：
我说的是图画不出来，证明不对，结论是对的，但不能这样证明。
生（6）：
我想应该分点P与点O重合，不重合两种情况讨论。
师：
很好！
我们可以肯定我们得出的定理没问题，至于证明大家想的比书上写的更好。
老师还有第二个问题：
你怎么就想到在角平分上任取一点然后作角的两边的垂线段呢？
为什么不想其他办法？
生（众）：
上一节也是这样的。
师：
上一节是线段的垂直线平分线，这一节是角的平分线。
生（7）：
反正是这种特殊的线。
师：
板书：
先在特殊的线（研究对象）上任取一点。
那么又为什么要作角的边的垂线段呢？
上一节不是和“点”联结得到两条线段再得到相等的吗？
生（8）：
角的边上除了顶点没有其他特殊点，只有垂线段才是唯一能确定的特殊线段。
师：
板书：
再作出特殊线段（能唯一确定的），然后加以比较。
好，我们来比较一下在探究线段垂直平分线的性质和角平分线性质时，我们所采用的研究方法（结合课件讲述）。
其实这是几何学研究的一种基本方法。
师：
通过刚才的讨论，我们已经感觉到“角的平分线”的问题与“线段的垂直平分线”的问题，有很多相似之处，从对称性、性质定理，到研究的方法都很相似。
因此我们可以类比“线段的垂直平分线”一节的方法结构和知识结构来帮助我们得到“角的平分线”的其他知识。
下面请大家先独立思考，再小组讨论。
三、探究性质定理的逆定理
生（众）：
思考、讨论。
师：
巡视，并适时介入讨论。
师：
下面我们再来交流一下各小组的研究成果。
生⑻：
我们先写出了逆命题，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（下边有议论）
师：
板书：
逆命题：
到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
那么这个逆命题正确吗？
生（9）：
正确的，我证明出来了。
投影显示图形，并叙述证明过程。
生（10）我们认为这个逆命题不正确，投影显示图形，并作叙述。
图中看到点P在的角外部也行，但这点不在我们研究的范围内，即不在角的平分线上。
师：
从两位同学的分析中我们看到：
当点P在角的内部时，点P一定在角的平分线上；当点P在角的外部时，点P则在角平分线的延长线上。
此时我们大致可以有两种处理办法。
一种是在条件部分直接限定点P“在角的内部”；另一种是在结论部分加上“或在角平分线的延长线上”。
大家觉得应选那一种？
生（11）：
第一种。
师：
对，我们研究的是角的平分线，为了确保符合条件的点都落在角的平分线上，我们要加限定条件“在角的内部”。
还有什么需要补充的吗？
生（12）：
我来补充：
还要加“包括顶点”，因为“角的内部”不包括角的顶点，但角的顶点符合条件而且在角的平分线上，所以要补进去。
师：
非常好。
将板书中的“命题”改为“定理”，并补上相应文字。
那么有了这样一对互逆定理，我们又能得到什么结论呢？
生（13）。
角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
师：
板书：
集合观点：
角的平分线可以看作是在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。
四、练习巩固
师：
处理第135－136面的第1、2题。
师巡视，并适时与学生交流。
附二：
例1，已知：
AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，
OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证：
点O在∠C的平分线上
生（众）：
尝试解例题。
师：
巡视，并请生（14）作分析。
生（14）：
投影显示图形，并叙述证明过程。
师：
下面我将条件中的“OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E。
”去掉，你还会证吗？
[课件显示修改的文字和图形]
生（15）：
那就，添“这二条”线作为辅助线，证明方法一样。
师：
从刚才的证明我们发现三角形的三条内角平分线一定如何？
生（众）：
一定相交于一点。
师：
当其中两条内角平分线改为两条外角平分线时又如何？
[课件显示新图]，并作说明
五、课堂小结
课堂教学操作单1
复习已学知识：
若：
OC是∠AOB的平分线
则：
①∠1＝∠2
②OC所在的直线是∠AOB的对称轴
探索新的知识：
升级会员 