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高等数学复习资料

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《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质

2.极限

3.连续

二、题型与解法

A.极限的求法函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx-xln（1+2x）

3

x->0

=lim

arctanx-x

2x

3

x->0

=-

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x+xf（x）

x

3

x->0

=0，求lim

6+f（x）

x

2

x->0

解：

x->0

lim

sin6x+xf（x）

x

3

=lim

6cos6x+f（x）+xy’

3x

2

x->0

=lim=

-36sin6x+2y’+xy’’

6x6

x->0

=lim

-216cos6x+3y’’+xy’’’

6

x->0

-216+3y’’（0）

=0\y’’（0）=72y’2x

y’’2

722

lim

6+f（x）

x

2

x->0

=lim

x->0

=lim

x->0

=

=36（洛必达）

3.lim（

x->1

2xx+1

2x

）x-1（重要极限）

4.已知a、b为正常数，求lim（

x->0

3

a+b

2

xx

3

）x

解：

令t=（

a+b

2

xx

）x,lnt=

3x

[ln（a+b）-ln2]

xx

limlnt=lim

x->0

3a+b

x

x

x->03/2

（alna+blnb）=

xx

32

ln（ab）

（变量替换）

\t=（ab）

1

5.lim（cosx）

x->0

ln（1+x）

2

1

解：

令t=（cosx）

ln（1+x）

2

lnt=

1ln（1+x）

12\t=e

2

ln（cosx）

limlnt=lim

x->0

-tanx2x

x->0

=-

-1/2

（变量替换）

6.设f’（x）连续，f（0）=0,f’（0）¹0，求lim

ò

x

x0

2

f（t）dt

x0

x->0

=1

f（t）dt

2

ò

（洛必达与微积分性质）

ìln（cosx）x-2,x¹0

7.已知f（x）=í在x=0连续，求a

a,x=0î

解：

令a=limln（cosx）/x=-1/2（连续性的概念）

x->0

2

三、补充习题（作业）1.lime-1-x

-x-cos

1

sinx

-t2xx->0x1x=-3（洛必达）2.limctgx（x->0-）（洛必达或Taylor）3.lim

xòe0xdt2x->01-e-x=1（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求

1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图

会计算曲率（半径）2.微分中值定理3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

dyìx=arctant1.y=y（x）由í决定，求2tdxî2y-ty+e=5

2.y=y（x）由ln（x+y）=xy+sinx决定，求23dy

dx|x=0=1

解：

两边微分得x=0时y’=ycosx=y，将x=0代入等式得y=13.y=y（x）由2

B.曲线切法线问题xy=x+y决定，则dy|x=0=（ln2-1）dxqp/2（e4.求对数螺线r=e在（r，q）=,p/2）处切线的直角坐标方程。

qìïx=ecosqp/2解：

í,（x,y）|q=p/2=（0,e）,y’|q=p/2=-1qïîy=esinq

y-ep/2=-x

5.f（x）为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+o（x）。

求f（x）在（6，f（6））处的切线方程。

C.导数应用问题

D.幂级数展开问题解：

需求f（6）,f’（6）或f

（1）,f’

（1），等式取x->0的极限有：

f

（1）=0

lim

f（1+sinx）-3f（1-sinx）

x->0

sinxsinx=t

=f（1+t）-f

（1）

（1-t）-f

（1）

tlim->0

[t

+3

ft

]

=4f’

（1）=8\f’

（1）=2\y=2（x-6）

6.已知y=f（x）对一切x满足xf’’（x）+2x[f’（x）]2=1-e-x，

若f’（x0）=0（x0¹0），求（x0,y0）点的性质。

0-1解：

令x=x0代入，f’’（xe

x=ì>0,x0>00）=

ex

0xí0

x，故为极小值点。

î>00<0

7.y=

x

3

（x-1）

2

，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：

定义域xÎ（-¥,1）U（1,+¥）

y’=0Þ驻点x=0及x=3

y’’=0Þ拐点x=0；x=1：

铅垂；y=x+2：

斜

8.求函数y=（x-1）ep/2+arctanx的单调性与极值、渐进线。

x2

解：

y’=+x1+x

2e

p/2+arctanx

Þ驻点x=0与x=-1，

渐：

y=ep

（x-2）与y=x-2

9.

ddx

ò

x

sin（x-t）2dt=sinx2

sin（x-t）2=（x-t）2

-

1t）

2（2n-1）

3!

（x-t）6+×××+（-1）

n

（x-（2n+1）!

+×××2

dt=-

13

17

n+1

（x-t）

4n-1

òsin（x-t）3

（x-t）+3!

7

（x-t）+×××+（-1）

（4n-1）（2n+1）!

ò

xsin（x-t）2

=

13

17

××+（-1）n

x

4n-1

3

x-3!

7

x+×（4n-1）（2n+1）!

+×××

dx

2

2

12n-1）

）dt=x-x6

+×××+（-1）

n

x

2（2

dx

ò

sin（x-t3!

（2n+1）!

+×××=sinx

d0dx

E.不等式的证明

F.中值定理问题或：

x-t=uÞ2dxòxsinu（-du）=dxò220sinudu=sinx10.求f（x）=x2ln（1+x）在x=0处的n阶导数f（n）（0）n-2解：

x2ln（1+x）=x2（x-x2n-22+x33-×××+（-1）n-1xn-2+o（x）5n=x3-x42+x3-×××+（-1）n-1xn-2+o（xn）\f（n）（0）=（-1）n-1n!

n-211.设xÎ（0,1），求证（1+x）ln2（1+x）

1）令g（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2,g（0）=0g’（x）,g’’（x）,g’’’（x）=-2ln（1+x）（1+x）2<0,g’（0）=g’’（0）=0\xÎ（0,1）时g’’（x）单调下降，g’’（x）<0,g’（x）单调下降g’（x）<0,g（x）单调下降，g（x）<0；得证。

2）令h（x）=1ln（1+x）-1x,xÎ（0,1）,h’（x）<0,单调下降，得证。

12.设函数f（x）在[-1，1]具有三阶连续导数，且f（-1）=0,f

（1）=1，

f’（0）=0，求证：

在（-1，1）上存在一点x，使f’’’（x）=3证：

f（x）=f（0）+f’（0）x+1

2!

f’’（0）x2+1

3!

f’’’（h）x3

其中hÎ（0,x）,xÎ[-1,1]

0=f（-1）=f（0）+1f’’（0）-1

26f’’’（h1）

将x=1，x=-1代入有

1=f

（1）=f（0）+1f’’（0）+1

26f’’’（h2）

两式相减：

f’’’（h1）+f’’’（h2）=6

$xÎ[h1，h2]，'f’’’（x）=12[f’’’（h1）+f’’’（h2）]=3

13.e

ln2b-ln2a>证：

Lagrange

:

f（b）-f（a）b-a

2

4e

2

（b-a）

=f’（x）

2

令f（x）=lnx,

lnb-ln

b-a

2

a

=

2lnx

x

令j（t）=

lnt,j’（t）=

1-lnt<0\j（x）>j（e）\

2

lnx

>

2

t

t

2

x

ln

2

b-ln2

a>4e

2

（b-a）（关键：

构造函数）

三、补充习题（作业）1.f（x）=ln

1-x1+x

2

求y’’（0）=-

32

2.曲线ìïx=et

sin2t

í在2t

（0,1）处切线为y+2x-1=0

ïîy=et

cos3.y=xln（e+

1x

）（x>0）的渐进线方程为y=x+

1e

4.证明x>0时（x2-1）lnx³（x-1）2

2）2

g’（x）,g’’（x）,g’’’（x）=2（x2

证：

令g（x）=（x-1）lnx-（x-1-1）

x

3

g

（1）=g’

（1）=0，g’’

（1）=2>0

xÎ（0,1）,g’’’<0,g’’>2

üìxÎ（1,+¥）,g’’’>0,g’’>2ýÞg’’>0ÞxÎ（0,1）,g’<0þí

\g>0î

xÎ（1,¥）,g’>0

第三讲不定积分与定积分

一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）

会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分

理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法

会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

e

2

二、题型与解法A.积分计算

B.积分性质

C.积分的应用

1.ò

dxx（4-x）

=

ò

dxarcsin

x-2+C

4-（x-2）

2

=2

2.òe2x（tanx+1）2dx=òe

2x

sec

2

xdx+2òe

2x

tanxdx=e

2x

tanx+C

3.设f（lnx）=

ln（1+x）

x

，求òf（x）dx

x

解：

òf（x）dx=ò

ln（1+e）

e

x

dx

=e

-x

ln（1+ex

）+

ò（1-

e

xx

1+e

x

）dx=x-（1+e

-）ln（1+ex

）+C

4.ò

¥

arctanx1¥

b

11

x

2

dx=-

x

arctanx|1+lim

b->¥

ò

1

（

x

-

x1+x

2

）dx=

p

4

+

12

ln2

5.1

f（x）连续，j（x）=

ò

f（xt）dt,且lim

f（x）=A，求j（x）并讨论j’（x）

x->0

x

在x=0的连续性。

x

dy解：

f（0）=j（0）=0,y=xtÞj（x）=ò

f（y）x

xf（x）-

x

）dy

j’（x）=

ò

0f（yx

2

Qj’（0）=A2

\limj0’（0）=A/2=jx->’（0）

6.

dtf（x2-t2

）dt=-

dò

x

2

2

2

2

dx

ò

x

2dx

f（x-t）d（t-x）

2

=

d（y）=xf（x2

2dx

ò

x

f（y）d）

7.设f（x）在[0，1]连续，在（0，1）上f（x）>0，且xf’（x）=f（x）+

3a2

2x，

又f（x）与x=1,y=0所围面积S=2。

求f（x），且a=?

时S绕x轴旋转体积最小。

解：

d（x）3adx（fx

）=2

Þf（x）=

3a2

x2

+cxQ

ò

1

f（x）dx=2\c=4-a

\f（x）=3ax2

2

+（4-1）xQV’=（p

ò

1

2

ydx）’=0\a=-5

8.曲线y=

x-1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形

绕x轴旋转的表面积。

解：

切线y=x/2绕x轴旋转的表面积为ò2pyds=025p

曲线y=x-1绕x轴旋转的表面积为ò2pyds=12p6（55-1）总表面积为

三、补充习题（作业）1.ò

2.ò

3.ò

lnsinxsin22p6（115-1）xdx=-cotxlnsin2x-cotx-x+Cdxx+5x-6x+13arcsinxxdx

第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求

1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）

了解两个向量平行、垂直的条件

向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质

理解偏导数、全微分概念

能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

3.多元微分应用

4.空间解析几何

二、题型与解法

A.求偏导、全微分x1.f（x）有二阶连续偏导，z=f（esiny）满足zxx+zyy=e2.多元函数微分理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离‘‘‘‘2xz，求

f（x）

解：

f’’-f=0Þf（u）=c1e+c2e

2.z=1

xf（xy）+yj（x+y），求¶z2u-u¶x¶y

3.y=y（x）,z=z（x）由z=xf（x+y）,F（x,y,z）=0决定，求dz/dx

B.空间几何问题

4.求和。

x+y+z=a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之

解：

x/

x0+y/y0+z/z0=

aÞd=a

5.曲面x2+2y2+3z2=21在点（1,-2,2）处的法线方程。

C.极值问题

6.设z=z（x,y）是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z（x,y）的极值点与极值。

三、补充习题（作业）1.z=f（xy,

xy

）+g（）,求

x¶x¶y

y¶z

2

2.z=f（xy,

x

y¶z

+g（））,求

yx¶x

x+y,j=arctan

2

2

3.z=u,u=ln

j

yx

求dz

第五讲多元函数的积分

一、理论要求

1.重积分

熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）ìbdxy2（x）f（x,y）dy

òy1（x）ïòa

f（x,y）dxdy=íq2

r2（q）

f（r,q）rdrïòdqòr1（q）îq1

by2（x）z2（x,y）

ì

òadxòy1（x）dyòz1（x,y）f（x,y,z）dzï

z2q2（z）r2（z,q）ï

f（x,y,z）dxdydz=íòz1dzòq1（z）dqòr1（z,q）f（r,q,z）rdr

ïbj2（q）r2（q,j）

2

djòf（r,q,j）rsinjdrïòdqòj1（q）r1（q,j）îa

òò

D

òòò

V

会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）

z=f（x,y）ÞA=

òò

D

+z’x+z’ydxdy

22

2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

b

3.曲面积分

二、题型与解法A.重积分计算

B.曲线、曲面积分ìï

L:

y=y（x）Þòaf（x,y（x））+y’2xdx

ò

f（x,y）dl=ïìx=x（t）bL

íL:

íÞòf（x（t）,y（t））x’22

ï

îy=y（t）a

t+y’tdt

ïî

L:

r=r（q）Þòbaf（rcosq,rsinq）r2+r’2dq

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系

熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

òò

S:

z=z（x,y）

f（x,y,z）dS=

òò

Dxy

f（x,y,z（x,y））+z’2x+z’2

ydxdy

Gauss:

Er×dSr=òòòÑ×Er

dV（通量，散度）

S

Stokes:

FrV

×drr

=òòS

（Ñ´Fr）×dSr（旋度）

L

1.I=òòò（x2

+y2

）dV,W为平面曲线ìíy2=2z

绕z轴旋转一周与z=8

W

îx=0

的围域。

解：

I=

ò

8

22

1024p0

dzòò

x2+y2

£2z

（x+y2

）dxdy=

ò

8

dzò

2p

dq

ò

2z

rrdr=

3

2

2.I=

òò

x2

+y

D

2

2

2

dxdy,D为y=-a+

a2-x2

（a>0）与

4a-x-y

2

y=-x围域。

（I=a2

（p

16

-

12

）

3.f（x,y）=ìíx2y,1£x£2,0£y£x

，

î0,其他

求òòf（x,y）dxdy,D:

x2+y2

D

³2x（49/20）

4.I=

ò（exsiny-b（x+y））dx+（ex

cosy-ax）dy

L

L从A（2a,0）沿y=2ax-x2

至O（0,0）

解：

令L1从O沿y=0至A

I=

-

ò

=

òò

（b-a）dxdy-

ò

2a

（-bx）dx=（

p

L+L1

L1

D

2

+2）a2

b-

p

2

a3

5.I=

xdy-ydx4x+y

2

2

L

L为以（1,0）为中心，R（>1）为半径的圆周正向。

解：

取包含（0,0）的正向L1:

í

ì2x=rcosqîy=rsinq

，

L-L1

=

L

-

L1

=0\

ò

L

=

2x

L1

=p

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，

S

xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e且f（x）在x>0有连续一zdxdy=0，

阶导数，limf（x）=1,求f（x）。

x->0+

解：

0=

1x

s

rr

F×dS=

1

òòò

e

W

r

Ñ×FdV=

e

x

òòò

W

（f（x）+xf’（x）-xf（x）-e

2x

）dV

y’+（

-1）y=

2x

x

Þy=

x

（e-1）

x

第六讲常微分方程

一、理论要求1.一阶方程2.高阶方程3.二阶线性常系数

熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法

会求y（n）=f（x）,y’’=f（x,y’）（y’=p（x））,y’’=f（y,y’）（y’=p（y））

y’’+py’+q=0Þl+pl+q=0

ìl1¹l2®y1=c1el1x+c2el2x

（齐次）ïlx

Þíl1=l2®y1=（c1+c2x）e

ïaxl=a±ib®y=e（c1cosbx+c2sinbx）1î

2

f（x）=Pn（x）e

ax

ìa¹l®y2=Qn（x）eax

ïaxÞía=l1orl2®y2=Qn（x）xe（非齐次）ï2axa=landl®y=Q（x）xe122nî

f（x）=e

ax

（pi（x）cosbx+pj（x）sinbx）

ax

（非齐ìïa±ib¹l®y2=e（qn（x）cosbx+rn（x）sinbx

Þí

ax

ïîa±ib=l®y2=xe（qn（x）cosbx+rn（x）sinbx（n=max（i,j）次）

二、题型与解法

A.微分方程求解

1.求（3x+2xy-y）dx+（x-2xy）dy=0

222

通解。

（xy2-x2y-x3=c）2.利用代换y=

ucosx

化简y’’cosx-2y’sinx+3ycosx=ex并求通解。

cos2xcosx

e

x

（u’’+4u=e,y=c1

x

+2c2sinx+

5cosx

）1

3.设y=y（x）是上凸连续曲线，（x,y）处曲率为，且过（0,1）处

2

+y’

切线方程为y=x+1，求y=y（x）及其极值。

解：

y’’+y’+1=0Þy=ln|cos（

三、补充习题（作业）

1.已知函数y=y（x）在任意点处的增量Dy=2.求y’’-4y=e2x的通解。

（y=c1e3.求（y+

2

2

-2x2

p

4

-x）|+1+

12

ln2,ymax=1+

12

ln2

yDx1+x+14

2

p

+o（Dx）,y（0）=p,求y

（1）。

（pe4）

+c2e

2x

xe

2x

）

12

（x-1））

2x2

（y=x+y）dx-xdy=0（x>0）,y

（1）=0的通解。

14+14

4.求y’’-2y’-e2x=0,y（0）=y’（0）=1的特解。

（y=

（3+2x）e

第七讲无穷级数

一、理论要求1.收敛性判别

级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法

2.幂级数

幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开

3.Fourier级数

了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求[-l,l]的Fourier级数与[0,l]正余弦级数

第八讲线性代数

一、理论要求

1.行列式

2.矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）

矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式

矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆

矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件

掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

3.向量掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩

了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法

了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件

理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换

二次型的标准形、规范形及惯性定理4.线性方程组