初中数学复习总动员第39讲勾股定理.docx

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初中数学复习总动员第39讲勾股定理

2017年暑期初中数学复习总动员第39讲勾股定理

【知识巩固】

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：

∠C=90°

∠A+∠B=90°；

注：

符号“

”读作“推导”，意思是因为有什么才得出什么。

比如：

a-b＞0

a＞b，表示a＞b由a-b＞0推导而来，这个符号在数学计算中经常用到。

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

如图：

在RT△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：

∠A所对的边BC=

AB

证明：

从点C作CD交AB于D点，

使得∠ACD=30°，

△ACD为等腰三角形，则

AD=CD；

又∵∠BCD=60°，得△BCD是等边三角形

∴BC=BD=CD；

又AD=BD=

AB，∴∠A所对的边BC=

AB

证明：

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

上题图：

CD为AB的中线，∴CD=

AB，上题证明中前半部分证明了此条。

4、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

如图：

RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则有：

5、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB·CD=AC·BC

6、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有关系

，那么这个三角形是直角三角形。

【典例解析】

典例一、勾股定理

（2017湖北襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）

A．3B．4C．5D．6

【考点】KR：

勾股定理的证明．

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．

【解答】解：

∵如图所示：

∵（a+b）2=21，

∴a2+2ab+b2=21，

∵大正方形的面积为13，

2ab=21﹣13=8，

∴小正方形的面积为13﹣8=5．

故选：

C．

典例二、勾股定理的逆定理

（2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于　2.5　．

【考点】KS：

勾股定理的逆定理；KP：

直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半解答即可．

【解答】解：

∵32+42=25=52，

∴该三角形是直角三角形，

∴

×5=2.5．

故答案为：

2.5．

【变式训练】

测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m，2m，2.5m，则这个花坛的面积为　1.5　m2．

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形花坛的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：

∵1.52+22=6.25=2.52，

∴三角形花坛的三边正好构成直角三角形，

∴这个花坛的面积=

×1.5×2=1.5m2．

故答案为：

1.5．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

典例三、勾股定理的应用

（2017四川眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？

”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺

【考点】KU：

勾股定理的应用．

【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．

【解答】解：

依题意有△ABF∽△ADE，

∴AB：

AD=BF：

DE，

即5：

AD=0.4：

5，

解得AD=62.5，

BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺．

故选：

B．

【变式训练】

如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为　24m2　．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．

【解答】解：

如图，连接AC

由勾股定理可知

AC=

=

=5，

又AC2+BC2=52+122=132=AB2

故三角形ABC是直角三角形

故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=

=24（m2）．

【点评】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．

【能力检测】

1.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）

A．5B．6C．8D．10

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∵AB=5，AD=3，

∴BD=

=4，

∴BC=2BD=8，

故选C．

2.如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据中点的定义得到CD的长，根据勾股定理可求出AD的长，再利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：

∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，

132=52+122，

∴AB2=AC2+CB2，

∴△ABC是直角三角形，

∵D是BC的中点，

∴CD=BD=6，

∴在Rt△ACD中，AD=

，

∴△ABD的面积=

×BD×AC=15．

【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．

3.（2017湖北荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：

今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？

意思是：

一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？

设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2D．x2+62=（10﹣x）2

【考点】KU：

勾股定理的应用．

【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．

【解答】解：

如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．

故选D．

4.△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC=　13　cm．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【分析】根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长．

【解答】解：

∵D是BC的中点，BC=10cm，

∴DC=BD=5cm，

∵BD2+AD2=144+25=169，AB2=169，

∴BD2+AD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°

∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边

∴AC2=AD2+DC2=AB2

∴AC=13cm．

故答案为：

13．

【点评】本题考查了勾股定理的应用和直角三角形的判定．

5.下列命题：

①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：

b2：

c2=2：

1：

1．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②④

【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．

【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．

【解答】解：

①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，

②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”

③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；

④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：

b2：

c2=2：

1：

1，

故选C．

【点评】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用．

6.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？

请说明理由．

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．

【解答】解：

∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，

∴AB2+AD2=BD2，

BD2+BC2=DC2．

∴△ABD、△BDC是直角三角形．

∴∠A=90°，∠DBC=90°．

故这个零件符合要求．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

7.（2016海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（　　）

A．6B．6

C．2

D．3

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．

【解答】解：

根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，

∴∠CDE=∠BDE=90°，

∵BD=CD，BC=6，

∴BD=ED=3，

即△EDB是等腰直角三角形，

∴BE=

BD=

×3=3

，

故选D．

【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：

1、折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．

8.如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】先判断CD⊥AB，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．

【解答】解：

在△BCD中，BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，

∵BD2+DC2=BC2，

∴△BCD中是直角三角形，∠BDC=90°，

设AD=x，则AC=x+12，

在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2，

∴x2+162=（x+12）2，

解得：

．

∴△ABC的周长为：

（

+12）×2+20=

cm．

【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度，难度一般．