人教版九年级上册数学全册课件PPT.pptx

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21.1一元二次方程,第二十一章一元二次方程,1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.,问题一：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？

问题二：

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？

1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？

共同特点：

（1）等号两边都是整式；

（2）整式的最高次数是2次.,2归纳：

（1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；

（2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项,【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.,一般形式：

二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10.,【解析】,下列方程哪些是一元二次方程?

为什么？

（2）2x25xy6y0,（5）x22x31x2,

（1）7x26x0,【解析】

（1）、（4）,下列方程的根是什么？

方程的根：

使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.,

（1）下列哪些数是方程的根？

4，3，2，1，0，1，2，3，4从中你能体会根的作用吗？

（2）若x2是方程的一个根，你能求出a的值吗？

（提示：

根的作用：

可以使等号成立.）,【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A1B-1C2D-2【解析】选A.将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0，解得k=1.,1你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？

（1）

（2）.,2有人解这样一个方程,解：

x+5=1或x1=7，所以x1=4，x2=8，你的看法如何？

【解析】根据平方根的定义得方程

（1）的根为x=6，方程

（2）的根为x=.,【解析】上述解法是错误的，将x1、x2代入原方程等式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.,当常数a，b，c满足什么条件时，方程（a-1）x2-bx+c=0是一元二次方程？

这时方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么?

【解析】当a-10，即a1时，方程（a-1）x2-bx+c=0是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是a-1,-b,c.,2.（衡阳中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.BC50（1+2x）182D【解析】选B.该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个.,3.（兰州中考）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是（）A.168（1+a%）2=128B.CD【解析】选B.第一次减价后为168（1-a）元，第二次降价后为168（1-a）（1-a）元，即168（1-a）元，因此所列方程为.,4.（毕节中考）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.B.C.D.【解析】选A.依题意可列方程.,通过本课时的学习，需要我们掌握：

1.一元二次方程的特征：

只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式为：

ax2+bx+c=0（a0），一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.,21.2解一元二次方程（第1课时）,九年级上册,学习目标：

1会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程；2在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解学习重点：

理解配方法及用配方法解一元二次方程,课件说明,问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？

解：

设雕像的下部高为xm，据题意，列方程得整理得x2+2x-4=0,1创设情境，导入新知,你会解哪些方程，如何解的？

二元、三元一次方程组,一元一次方程,一元二次方程,消元,降次,思考：

如何解一元二次方程,1创设情境，导入新知,问题2解方程x2=25，依据是什么？

解得x1=5，x2=-5,平方根的意义,请解下列方程：

x2=3，2x2-8=0，x2=0，x2=-2这些方程有什么共同的特征？

结构特征：

方程可化成x2=p的形式，,平方根的意义,降次,（当p0时）,2推导求根公式,问题4怎样解方程x2+6x+4=0？

x2+6x+9=5,2推导求根公式,试一试：

与方程x2+6x+9=5比较，怎样解方程x2+6x+4=0？

怎样把方程化成方程的形式呢？

怎样保证变形的正确性呢？

即,由此可得,解：

左边写成平方形式,移项x2+6x=-4,两边加9=-4+9,x2+6x+9,2推导求根公式,回顾解方程过程：

两边加9，左边配成完全平方式,移项,左边写成完全平方形式,降次,解一次方程,x2+6x+4=0,x2+6x=-4,x2+6x+9=-4+9,，或,，,2推导求根公式,想一想：

以上解法中，为什么在方程两边加9？

加其他数可以吗？

如果不可以，说明理由,两边加9,一般地，当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式,x2+6x=-4,x2+6x+9=-4+9,2推导求根公式,议一议：

结合方程的解答过程，说出解一般二次项系数为1的一元二次方程的基本思路是什么？

具体步骤是什么？

配成完全平方形式,通过来解一元二次方程的方法，叫做配方法,配方,具体步骤：

（1）移项；

（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方,2推导求根公式,平方根的意义,降次,（当p0时）,问题5通过解方程x2+6x+4=0，请归纳这类方程是怎样解的？

3归纳配方法解方程的步骤,

（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?

3归纳配方法解方程的步骤,解一元二次方程的一般步骤：

两边加9，左边配成完全平方式,移项,左边写成完全平方形式,降次,x2+6x+4=0,x2+6x=-4,x2+6x+9=-4+9,，或,3归纳配方法解方程的步骤,解一次方程,，,4归纳小结,1教科书第6页练习；第9页练习2思考：

利用本节课的知识，试解关于x的方程x2+px+q=0,5布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第2课时）,通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式,课件说明,学习目标：

1会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况；2经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律学习难点：

推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用,课件说明,1复习配方法，引入公式法,问题1什么叫配方法？

配方法的基本步骤是什么？

问题2能否用公式法解决一元二次方程的求根问题呢？

1复习配方法，引入公式法,问题3我们知道，任意一个一元二次方程都可以转化为一般形式ax2+bx+c=0（a0）你能用配方法得出它的解吗？

2推导求根公式,此时可以用开平方法求解吗？

2推导求根公式,一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a，b，c确定将a，b，c代入式子就得到方程的根：

利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,2推导求根公式,你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？

推导过程中要注意那些问题？

当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程有两个相等的实根；当时，方程没有实根.,2推导求根公式,b2-4ac0,b2-4ac=0,b2-4ac0,例1用公式法解下列方程：

（1）x2-4x-7=0；

（2）；（3）5x2-3x=x+1；（4）x2+17=8x,3归纳公式法解方程的步骤,问题4：

你能总结用公式法解一元二次方程的步骤吗？

应用公式时要注意什么问题？

3归纳公式法解方程的步骤,回到本章引言中的问题，雕像下部高度x（m）满足方程x2+2x-4=0用公式法解这个方程：

4练习巩固公式法,

（1）如果雕像的高度设计为3m，那雕像的下部应是多少？

4m呢？

（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？

问题5：

请大家思考并回答以下问题：

（1）本节课学了哪些内容？

（2）我们是用什么方法推导求根公式的？

（3）你认为判别式有哪些作用？

（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？

5归纳小结,教科书习题21.2第4，5题,6布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第3课时）,本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习解一类特殊的一元二次方程的方法因式分解法,课件说明,学习目标：

1会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；2在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想学习重点：

因式分解法解一元二次方程,课件说明,1探究因式分解法,问题1解一元二次方程的基本思路是什么？

我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？

配方法，求根公式法,问题2根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：

m）为10x-4.9x2你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？

1探究因式分解法,你认为该如何解决这个问题？

你想用哪种方法解这个方程？

配方法,公式法,降次,？

1探究因式分解法,10x-4.9x2=0,x1=0，x2=,问题3观察方程10x-4.9x2=0，它有什么特点？

你能根据它的特点找到更简便的方法吗？

两个因式的积等于零,至少有一个因式为零,1探究因式分解法,10x-4.9x2=0,x1=0，x2=,x=0,或10-4.9x=0,例解下列方程：

（1）

（2）,2应用举例,归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解,3练习巩固,教科书第14页练习第1题,问题4请回答以下问题：

（1）因式分解法的依据是什么？

解题步骤是什么？

（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说出它们各自的特点吗？

4归纳小结,教科书习题21.2第6，10题,5布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第4课时）,本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系,课件说明,学习目标：

1了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用2在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法学习重点：

一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用,课件说明,问题1一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？

1复习知识，回顾方法,2小组合作，类比探究,归纳：

2小组合作，类比探究,x1+x2=-px1x2=q,问题3一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？

2小组合作，类比探究,问题3如何探究这两者之间的关系呢？

利用一元二次方程的一般形式和求根公式,2小组合作，类比探究,归纳：

一元二次方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：

2小组合作，类比探究,例根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：

（1）x2-6x-15=0

（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2,3运用性质，巩固练习,x1+x2=6,x1x2=-15,x1+x2=,x1x2=-3,x1+x2=,x1x2=,练习不解方程，求下列方程两个根的和与积：

（1）x2-3x=15

（2）3x2+2=1-4x（3）5x2-1=4x2+x（4）2x2-x+2=3x+1,x1+x2=3,x1x2=-15,x1+x2=,x1x2=,x1+x2=1,x1x2=-1,x1+x2=2,x1x2=,3运用性质，巩固练习,

（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？

（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？

4小结知识，梳理方法,教科书习题21.2第7题,5课后反思，布置作业,21.3实际问题与一元二次方程（第1课时）,九年级上册,本节课以流感为问题背景，学习用一元二次方程解决实际问题,课件说明,学习目标：

1能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；2通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识学习重点：

正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题,课件说明,1分析“传播问题”的特征,列方程解应用题的一般步骤是什么？

第一步：

审题，明确已知和未知；,第二步：

找相等关系；,第三步：

设元，列方程，并解方程；,第五步：

作答,第四步：

检验根的合理性；,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是多少？

（1）本题中的数量关系是什么？

分析：

被传染人,被传染人,被传染人,被传染人,x,x,x,设每轮传染中平均一个人传染了x个人，,被传染人,被传染人,x,第二轮的传染源有人，有人被传染,1,x,x+1,2解决“传播问题”,传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总和是121个人,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（3）如何理解经过两轮传染后共有121个人患了流感？

分析：

解：

设每轮传染中平均一个人传染了x个人,x1=_，x2=_,答：

平均一个人传染了10个人,10,（不合题意，舍去）,-12,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论？

分析：

（5）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少个人患流感？

121+12110=1331（人）,（6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

2解决“传播问题”,3巩固训练,某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？

主干,支干,支干,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,解：

设每个支干长出x个小分支，则,1+x+xx=91,x1=9，x2=-10（不合题意，舍去）,答：

每个支干长出9个小分支,x,你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？

解决此类问题的关键步骤是什么？

“传播问题”的基本特征是：

以相同速度逐轮传播解决此类问题的关键步骤是：

明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数,4归纳小结,教科书复习题21第7题,5布置作业,21.3实际问题与一元二次方程第2课时,1.了解几种特殊图形的面积公式.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.,1.列方程解应用题有哪些步骤?

对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题.上一节，我们学习了解决“平均增长（下降）率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”.,2.直角三角形的面积公式是什么？

一般三角形的面积公式是什么呢？

3.正方形的面积公式是什么呢？

长方形的面积公式又是什么？

4.梯形的面积公式是什么？

5.菱形的面积公式是什么？

6.平行四边形的面积公式是什么？

7.圆的面积公式是什么？

【例1】要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?

【解析】这本书的长宽之比是9:

7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:

7.,解法一:

设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm依题意得,解得,左右边衬的宽度为:

故上下边衬的宽度为:

解方程得,（以下请自己完成）,方程的哪个根合乎实际意义?

为什么?

解法二:

设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得,【例2】学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.,

（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.

（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？

如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.,【解析】

（1）,方案1：

长为米，宽为7米;,方案2：

长为16米，宽为4米;,方案3：

长=宽=8米;,注：

本题方案有无数种,

（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.,由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.,x（16-x）=63+2，,x2-16x+65=0，,此方程无解.,在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米,1用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.,【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为cm,即,x2-10x+30=0,这里a=1,b=10,c=30,此方程无解.,用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.,2.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案（如图）,根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?

使图

（1）,

（2）的草坪面积为540米2.,【解析】

（1）如图，设道路的宽为x米，则,化简得，,其中的x=25超出了原矩形的宽，应舍去.,图

（1）中道路的宽为1米.,则横向的路面面积为,

（2）解析：

此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2.,解法一、如图，设道路的宽为x米，,32x米2,纵向的路面面积为,20x米2.,注意：

这两个面积的重叠部分是x2,所列的方程是不是,？

图中的道路面积不是,米2.,而是从其中减去重叠部分，即应是,m2,所以正确的方程是：

化简得，,其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：

草坪面积=3220-100=540（米2）,答：

所求道路的宽为2米.,解法二：

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,横向路面:

如图，设路宽为x米，,32x米2,纵向路面面积为:

20x米2,草坪矩形的长（横向）为:

草坪矩形的宽（纵向:

）为：

相等关系是：

草坪长草坪宽=540米2,（20-x）米,（32-x）米,即,化简得：

再往下的计算、格式书写与解法1相同.,1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路（两条纵向,一条横向,且互相垂直）,把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:

道路宽为多少米?

【解析】设道路宽为x米，,化简得，,其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.,答:

道路的宽为1米.,则,2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.,化简得，,其中x=-20.5应舍去.答:

小路的宽为3米.,【解析】设小路宽为x米，则,3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，

（1）求S与x的函数关系式;

（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？

【解析】

（1）设宽AB为x米，则BC为（24-3x）米，这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x

（2）由条件-3x2+24x=45化为：

x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3024-3x10得x8x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米,4.（绍兴中考）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种费用）为275万元？

【解析】

（1）24间；

（2）10.5或15万元.,1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.,2.这里要特别注意:

在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.,通过本课时的学习，需要我们掌握：

21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）,九年级上册,列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题,课件说明,学习目标：

1能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；2进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识学习重点：

利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题,课件说明,1创设情境，导入新知,问题1要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

还有其他方法列出方程吗？

方法一,1创设情境，导入新知,方法二,1创设情境，导入新知,利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问题,2动脑思考，解决问题,问题2要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

分析：

封面的长宽之比是97，中央的矩形的长宽之比也应是97,9a,7a,设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是,整理得：

16y2-48y+9=0,解法一：

设上、下边衬的宽均为9ycm，左、右边衬宽均为7ycm，依题意得,方程的哪个根合乎实际意义？

为什么？

2动脑思考，解决问题,解方程得,解法二：

设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，依题意得,故上、下边衬的宽度为：

2动脑思考，解决问题,解得：

，（不合题意，舍去）,左、右边衬的宽度为：

3动脑思考，巩固训练,教科书习题21.3第9题,问题3回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模