专题19平行四边形矩形菱形拔高题.docx
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专题19平行四边形矩形菱形拔高题
专题19平行四边形、矩形、菱形
阅读与思考
平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨
的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是
由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件
连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、
矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.
熟悉以下基本图形：
例题与求解
O,AE平分/BAD，交BC于E,ZCAE=
15°那么/BOE=
D
B
E
（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：
从发现矩形内含的特殊三角形入手.
【例2】下面有四个命题：
1一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
2一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
3一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
4一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
其中，正确的命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：
从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.
【例3】如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E,F分别是边AD,CD上的两个动
点且满足AE+CF=2.
（1）判断ABEF的形状，并说明理由；
（2）设ABEF的面积为S，求S的取值范围.
D
（烟台中考试题）
解题思路：
对于
（1）由数量关系发现图形特征；对于
（2）,只需求出BE的取值范围
【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE丄AC于点E,PF丄BC于点F,PG丄EF于点G,延长GP并在春延长线上取一点D,使得PD=PC.
求证：
BC丄BD,BC=BD.
B
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：
只需证明△CPBB/DPB,关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质
【例5】在CABCD中，/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点
F.
度数.
CE=CF;
（北京市中考试题）
解题思路：
对于
（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；
对于
（2）,用测量的方法可得/BDG=45°进而想到等腰直角三角形，连CG,BD，只需
证明ABGC^/DGF，这对解决（3）,有不同的解题思路.
对于（3）
【例6】如图，AABC中，/C=90°点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上,
且AN=MC,AM与BN相交于点P.
求证：
/BPM=45°
（浙江省竞赛试题）
解题思路：
条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和
相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC,即作ME丄AN,
ME=AN，构造平行四边形•
能力训练
中，BE丄CD,BF丄AD，垂足分别为E、F,若CE=2,DF=1,Z
点M，若△CDM周长为a,那么CABCD的周长为
第2题
（浙江省中考试题）
3.如图，在Rt△ABC中，/B=90°ZBAC=78°过C作CF//AB，连结AF与BC相
交于G，若GF=2AC，则/BAG的大小是.
A
（希望杯”竞赛试题）
4.如图，在菱形ABCD中，ZB=/EAF=60°ZBAE=20。
，则/CEF的大小是
（希望杯”邀请赛试题）
5.四边形的四条边长分别是a,b,c,d，其中a,c为对边，且满足
a2b2c2d22ab2cd，则这个四边形一定是（）
A•两组角分别相等的四边形B.平行四边形
6.现有以下四个命题:
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角
且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.
其中，正确的命题有（）
A.①②B.③④C.③D.①②③④
7.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=,3,AF平分/DAB，过点C作CE丄BD
于E,延长AF,EC交于点H，下列结论中：
①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH:
④BE
=3ED.正确的是（）
A.②③B.③④C.①②④D.②③④
（齐齐哈尔中考试题）
8.如图，矩形
ABCD的长为a,宽为b，如果S$丄（S3S4），则S4=（
2
）
3A.—ab
B.
3ab
C.-ab
D.
-ab
8
4
3
2
9.已知四边形ABCD，现有条件：
①AB//DC;②AB=DC;③ADIIBC:
④AD=BC;
⑤上A=ZC;®ZB=ZD.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的
有哪几种情形？
请具体写出这些组合.
（江苏省竞赛试题）
10.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
（1）求证：
Z\ACD也/CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且/DEF=30°证明你
的结论.
（江苏省南通市中考试题）
11.如图，在RtAABC中，AB=AC,ZA=90。
，点D为BC上任一点，DF丄AC于F,
DE丄AC于E,M为BC中点，试判断AMEF是什么形状的三角形，并证明你的结论
C
12.如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,AABD,AACE,△BCF都是等边三
角形，求四边形AEFD的面积.
E
（山东省竞赛试题）
1.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE=2EC,F在AB上，BF=2AF,
如果ABEF的面积为2cm2，则/BCD的面积是.
第1题
（希望杯”竞赛试题）
2.如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA=3,PD=4,PC=5,贝UPB=
第2题
3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重
合，则折痕EF长为
（武汉市竞赛试题）
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，使点D落在点D处,
CD交AB于点F,则重叠部分△AFC的面积为.
第4题
（山东省竞赛试题）
5.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，PE丄BD
于E,PF丄AC于F,那么PE+PF的值为
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