第30讲解不定方程1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx

第30讲解不定方程1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx

《第30讲解不定方程1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第30讲解不定方程1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第30讲解不定方程1习题导学案教案奥数实战演练习题

学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

六年级

课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

奥数

学科教师：

授课主题

第30讲——解不定方程

授课类型

T同步课堂

P实战演练

S归纳总结

教学目标

熟练掌握不定方程的解题技巧；

能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；

学会解不定方程的经典例题。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程

2、根据解不定方程方法解方程

3、找到符合条件的解

考点一：

不定方程与数论

例1、把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数．

【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为和，则有：

，要让取最小值，取最大值．可把式子变形为：

，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，．则拆成的两个数分别是和．

考点二：

不定方程与应用题

例1、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：

大、小油桶各几个？

【解析】设有大油桶个，小油桶个．由题意得：

可知，所以．由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解．

所以大油桶有个，小油桶有个．

例2、某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：

这个活动共有多少人参加（成人和孩子）？

【解析】设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：

，即，化简得．这个方程有四组解：

，，和，但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足．所以，这个活动共有人或人参加．

例3、甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【解析】假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，

那么10天内共生产了配件个，共生产了配件个．要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则．此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品．

例4、有一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．

【解析】设完成这项工程用了天，其间丙休息了天．根据题意可知：

，，化简得．由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在的条件下，只有，一组解，即丙休息了天．

例5、实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．

【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：

．由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了的取值范围，所以应该从入手．显然被除所得的余数与被除所得的余数相等，从个位数上来考虑，的个位数字只能为1或6，那么当的个位数是或时成立．由于的值在20与25之间，所以满足条件的，继而求得，所以大巴车的载客人数为人．

例6、公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？

【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各、、只，根据题意，得方程组由②①，得，即：

，因为、为正整数，所以不难得出应为的倍数，故只能为、、，从而相应的值分别为、、，相应的值分别为、、．所以，方程组的特殊解为，，，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买只、只、只或只、只、只或只、只、只．

考点三：

不定方程与生活中的应用题

例1、某地用电收费的标准是：

若每月用电不超过度，则每度收角；若超过度，则超出部分按每度角收费．某月甲用户比乙用户多交元角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？

【解析】3元3角即33角，因为既不是的倍数又不是的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是一个超过了50度，另一个则没有超过．由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过度，乙用户用电不足度．设这个月甲用电度，乙用电度．因为甲比乙多交角电费，所以有．容易看出，，可知甲用电度，乙用电度．

例2、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金元，乙公司每月付给他薪金元．年终，马小富从两家公司共获薪金元．他在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月．

【解析】设马小富在甲公司打工月，在乙公司兼职月（，、都是不大于的自然数），则有，化简得．若为偶数，则的末位数字为，从而的末位数字必为，这时．但时，不是整数，不合题意，所以必为奇数．为奇数时，的末位数字为，从而的末位数字为，或．但时容易看出，与矛盾．所以，，代入得．于是马小富在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月．

例3、小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多道．

【解析】设容易题、中等题和难题分别有道、道、道，则，由得，即，所以难题比容易题多20道．

例4、某男孩在年月日说：

“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是．”请问：

他是在哪一天出生的？

【解析】设男孩的年龄为个年和个月，即个月，由此有方程式：

，也就是，得到，由于而且是整数，所以，，，从年月日那天退回年又个月就是他的生日，为年月日．

P（Practice-Oriented）——实战演练

Ø课堂狙击

1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：

甲、乙二人谁搬的砖多？

多几块？

【解析】设甲搬的是块，乙搬的是块．那么．观察发现和都是的倍数，所以也是的倍数．由于，所以只能为6或12．

时，得到；时，此时不是整数，矛盾．所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块．

2、单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？

【解析】因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数．设男职工有人，女职工有人．则职工总人数是人，孩子是人．得到方程：

，化简得：

．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当时，；当时，；当，．其中只有是的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．

3、个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号钢珠每个重克，小号钢珠每个重克．问：

大、中、小号钢珠各有多少个？

【解析】设大、中、小号钢珠分别有个，个和个，则：

，得．可见是3的倍数，又是7的倍数，且小于30，所以只能为21，故，代入得，．所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个．

4、某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？

【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件，

生产了裤子件．

根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即．那么共生产了套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时．故最多可以生产出套衣服．

5、每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？

【解析】设需要大、小汽车分别为辆、辆，则有：

，可化为．可以看出是3的倍数，又不超过10，所以可以为0、3、6或9，将、3、6、9分别代入可知有四组解：

；或；或；或即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆．

6、某区对用电的收费标准规定如下：

每月每户用电不超过度的部分，按每度元收费；超过度而不超过度的部分，按每度元收费；超过度的部分按每度元收费．某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？

（用电都按整度数收费）

【解析】由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数．因为乙用户比丙用户多交元，所以二者中必有一个用电度数小于度（否则差中不会出现元），丙用电少，所以丙用电度数小于度，乙用电度数大于度，但是不会超过度（否则甲、乙用电均超过度，其电费差应为的整数倍，而不会是元）．

设丙用电（）度，乙用电（）度，由题意得：

所以是的倍数，又均为整数，且都大于小于

所以，

所以丙用电度，交电费元；乙交电费元，甲交电费元，三户共交电费元．

7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为分（成绩都是整数）的测验．已知：

甲得了分，乙得了最高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成绩．

【解析】法一：

方程法．设丁的分数为分，乙的分数为分，那么丙的分数为分，戊的分数为分，根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”，有，所以．因为，所以，，得到，故，代入得．所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分．

法二：

推理法．因为丁为五人的平均分，所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等，所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最低的．因为甲是分，所以丁可能是分或分（由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数），经检验丁得分时与题意不符，所以丁得分，则丙得分，戊得分，乙得分．

Ø课后反击

1、某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上．问：

他命中环、环和环各几发？

【解析】假设命中10环发，7环发，5环发，则由⑵可知除以5的余数为3，所以、9……如果为9，则，所以只能为4，代入原方程组可解得，．所以他命中环发，环发，环发．

2、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声．问：

波斯猫至少叫了多少声？

【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声．设在这15天内早晨见面次，晚上见面次．根据题意有：

（，）．可以凑出，当时，；当时，；当时，．因为小花狗共叫了声，那么越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当，时波斯猫叫得最少，共叫了（声）．

3、小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：

“你养了几只兔和鸡？

”小峰说：

“我养的兔比鸡多，鸡兔共条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？

【解析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．

设小峰养了只兔子和只鸡，由题意得：

即：

，

这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：

由题意，且，均不为，所以，，也就是兔有只，鸡有只．

4、有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的倍．问：

第一堆中的砖头最少有多少块？

【解析】设第一堆砖有块，则根据第一个条件可得第二堆砖有块．

再设从第二堆中取出块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的倍，可列方程：

，化简得，

那么．

因为是整数，与互质，所以应是的倍数，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的砖头最少有块．

5、某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支．那么获二等奖的有人．

【解析】法一：

根据“后来改为一等奖每人发支”，可以确定获一等奖的人数小于．否则仅一等奖就要发不少于支铅笔，已超过支，这是不可能的．分别考虑一等奖有人或者人的情况：

①获一等奖有人时，改变后这人共多得支，那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔．由于改变后二等奖多得1支，三等奖少得1支，所以三等奖应比二等奖多人，这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的．但此时三等奖至少14人，他们的铅笔总数至少为，所以这种情况不可能发生．

②获一等奖有1人时，类似前面情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多人，所以获二等奖的有（人）．经检验，获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人符合题目要求，所以有3人获二等奖．

法二：

设获一、二、三等奖的人数分别有人、人、人，则有方程组：

由将消元，则有，即，显然该方程的正整数解只有，继而可得到．所以获二等奖的有3人．

6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？

【解析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛时女选手人数的，所以参加初赛的男选手人数应是的倍数，参加初赛的女选手的人数应是的倍数．设参加初赛的男生为人，参加初赛的女生为人．根据题意可列方程：

．

解得，或．

又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是要比大，所以第一组解不合适，只有，满足．故参加决赛的男选手为人，女选手为人．

7、甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙两人共有多少粒糖？

【解析】设甲、乙原有糖分别为粒、粒，甲给乙的数量为粒，则依题意有：

，且．整理得

由⑴得，代入⑵得，即．

因，故或．

若，则，，不合题意．

因而，对应方程组有唯一解，，．则甲、乙共有糖粒．

1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.

【解析】若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

若是两位数，则，也不可能，故只有三位数.

，化简得.由于，

所以或.时，，，或，；时，，.

所以所有自然数之和为.

2、（我爱数学夏令营）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为，，.甲乙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为．则这一群人的平均年龄为.

【解析】设甲乙丙三组分别有人，依提议有：

由⑴化简可得，由⑵化简可得，所以；

因此，这一群人的平均年龄为．

3、（迎春杯复赛）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应分、分和分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中分才能获奖，要想获奖至少需要投中　次飞镖．

【解析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为次、次和次，那么投中飞镖的总次数为次，而总得分为分，要想获奖，必须．

由于，得到．当的值一定后，要使最小，必须使尽可能大．

若，得到，此时无整数解；

若，得到，此时，，；

若，得到，此时最大为4，当时，这种情况下；

若，得到，此时，，；

若，得到，此时最大为6，当时，这种情况下；

若，得到，此时最大为9，当时，这种情况下；

若，得到，此时最大为8，当时，这种情况下．

经过比较可知的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．

S（Summary-Embedded）——归纳总结

考点一：

不定方程与数论

考点二：

不定方程与应用题

考点三：

不定方程与生活中的应用题

不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

Ø本节课我学到

Ø我需要努力的地方是