安徽省宣城市届高三下学期第二次调研模拟考试数学理试题含答案.docx

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安徽省宣城市届高三下学期第二次调研模拟考试数学理试题含答案

宣城市2017届高三第二次调研测试

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，其中为虚数单位，，是实数，则（）

A．1B．C．D．

2.已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．

3.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）人

A．12B．14C．16D．18

4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）

A．1007B．3025C．2017D．3024

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：

有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A．96里B．192里C．48里D．24里

7.二项式的展开式中常数项为（）

A．B．C．D．

8.已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（）

A．B．或C．或D．或

9.设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（）

A．3B．4C．D．

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）

A．B．C．D．

11.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：

①；②；③；④．其中为“好集合”的序号是（）

A．①②④B．②③C．③④D．①③④

12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.计算．

14.已知向量，满足，，，则．

15.在中，，，若最大边长为63，则最小边长为．

16.已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知向量，，函数，函数在轴上的截距我，与轴最近的最高点的坐标是．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．

18.如图1，在直角梯形中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19.某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:

2:

1:

1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:

1:

3:

1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．

（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；

（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为，求的分布列及数学期望．

20.已知，是的导函数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．

21.如图，已知椭圆：

的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．

（Ⅰ）求证：

直线与直线的斜率乘积为定值；

（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．

23.选修4-5：

不等式选讲

已知，不等式的解集是.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围．

宣城市2017届高三第二次调研测试数学（理科）答案

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

二、填空题

13.414.15.2516.8

三、解答题

17.解：

（Ⅰ），

由，得，

此时，，

由，得或，

当时，，经检验为最高点；

当时，，经检验不是最高点．

故函数的解析式为．

（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象，

所以（），（），

因为，所以的最小值为．　

18.解：

（Ⅰ）在图1中，可得，从而，故，

取中点连接,则,又面面,

面面,面,从而平面,

∴,

又,,

∴平面，

（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，

设为面的法向量，

则即解得

令，可得，

又为面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为．

19.解：

（Ⅰ）．

（Ⅱ）的所有可能取值为1,2,3,4．　

；；；.

分布列为：

1

2

3

4

．

20.解：

（Ⅰ），，，

当时，恒成立，无极值；

当时，，即，

由，得；由，得，

所以当时，有极小值.

（Ⅱ）令，则，注意到，

令，则，且，得；，得，

∴，即恒成立，故，

当时，，，

于是当时，，即成立.

当时，由（）可得（）.

，

故当时，，

于是当时，，不成立.

综上，的取值范围为．

21.解：

（Ⅰ）．

，故．

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：

与轴的交点为，

代入椭圆方程得，

设，，则，，

由，得，

得，

，得或．　

或，所以过定点或，

点为右端点，舍去，

，

令（），

，，，

当直线的斜率不存在时，，，

，即，解得，，

，

所以的最大值为.

22.解：

（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，

化为直角坐标方程为，即.

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，

∵圆心与点的距离为，

∴的最大值为.

（Ⅱ）由，可化为，

∴圆的普通方程为.

∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：

圆心到直线的距离为圆半径的一半，

∴，解得或．

23.解：

（Ⅰ）由，得，即，

当时，，所以解得；

当时，，所以无解．

所以．

（Ⅱ）因为，

所以要使存在实数解，只需，

解得或，

所以实数的取值范围是．