广东省佛山一中学年高二第一次段考数学试题.docx
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广东省佛山一中学年高二第一次段考数学试题
命题人：
雷沅江
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（ ）
（（第2题图）
2．已知几何体的三视图（如上图），若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰为3，则该几何体的表面积为（ ）
A．4π B．5π C． 3π D．6π
3．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么（ ）
A．a∥b或c∥dB．a，b，c，d中任意两条都有可能平行
C．a∥b，且c∥dD．a，b，c，d中至多有两条平行
5．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（ ）
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥α
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
6．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
9．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题的正确的是（ ）
A．若m∥α，nα，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，m//β，α∩β＝n，则m∥nD．若α∩β＝m，n∥m，则n∥α
10．已知四面体P－ABC中的四个面均为正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC
第Ⅱ卷 （非选择 共100分）
二、填空题：
（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．
12．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于__________．
13．（理科学生做）如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
（12题图）（13题图）
13（文科学生做）在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A1到平面AB1D1的距离是。
14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的一个侧面ABB1A1的面积为4，侧棱CC1到侧面ABB1A1的距离为2，则三棱柱ABC－A1B1C1的体积为。
三、解答题：
（本大题共6小题，共80分．）
15．（12分）如图，在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：
（1）平面BDC1平面A1ACC1；
（2）A1C平面BDC1；（3）求三棱锥A1—BDC1的体积。
16．（12分）已知四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.
（1）求证：
平面PDF⊥平面PAF；
（2）设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．
17．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．
（1）求证：
EF∥平面ABC1D1；
（2）求三棱锥B1－EFC的体积．
18．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证：
AE⊥BE；
（2）求证：
AE∥平面BFD.
19．（14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．
（1）如图，若正视方向与AD平行．请作出该几何体的正视图并求出正视图的面积；
（2）证明：
DE∥平面PBC；
（3）证明：
DE⊥平面PAB.
20．（14分）如图所示的多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.
（1）若O是AB的中点，求证：
OC1⊥A1B1；
（2）求多面体ABC－A1B1C1的体积。
（3）（此问理科学生做）求二面角A—A1C1—B1的余弦值。
2012学年度上学期第一次段考高二级数学答卷
座位号：
一选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11．、12．、13．、14．。
三、解答题
15．（12分）
16．（12分）
17．（14分）
18．（14分）
19．（14分）
20．（14分）
立体几何测试答案
二、填空题
11、线段B1C12、π13、（理科）13、（文科）
14、4
三、解答题
15、证：
（1）在正方形ABCD中，ACBD
又A1A平面ABCD，且BD平面ABCD
A1ABD
又A1A，AC平面A1ACC1，且A1A与AC相交于一点A。
BD平面A1ACC1………2分
又BD平面BDC1
平面BDC1平面A1ACC1……4分
（2）由
（1）知BD平面A1ACC1
又A1C平面A1ACC1，………6分
同理A1CBC1，又BD与BC1交于一点B
且BD，BC1平面BDC1
A1C平面BDC1……….8分
（3）三棱锥A1—BDC1的体积为正方体体积减去4个三棱锥C1—BCD的体积
VA1—BDC1=1—4
111=
…….12分
16、解析：
（1）连接AF，在矩形ABCD中，
∵AD＝4，AB＝2，点F是BC的中点，
∴∠AFB＝∠DFC＝45°，
∴∠AFD＝90°，即AF⊥FD，…….2分
又∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥FD，
又∵AF∩PA＝A，
∴FD⊥面PAF，………4分
∵PF面PAF，
∴PF⊥FD……………..6分
（2）过E作EH∥FD交AD于H，
则EH∥面PFD，且AH＝AD…………8分
过H作HG∥PD交PA于G.
则GH∥面PFD且AG＝PA，…………10分
∴面EHG∥面PFD，
则EG∥面PFD，
从而点G满足AG＝PA，
即G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处．……….12分
17解析：
（1）连接BD1，在△DD1B中，
E、F分别为D1D，DB的中点，则
EF∥D1B…………..3分
…………6分
（2）∵F为BD的中点，
∴CF⊥BD，
又∵CF⊥BB1，BB1∩BD＝B，∴CF⊥平面BDD1B1，
∴CF⊥平面EFB1………8分
且CF＝BF＝.
∵EF＝BD1＝，………10分
B1F＝＝＝，
B1E＝＝＝3，
∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，…….12分
∴VB1－EFC＝VC－B1EF＝·S△B1EF·CF
＝×·EF·B1F·CF
＝××××＝1…………14分
18、解析：
（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD⊥AB.
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE………….3分
∵AD∥BC，则BC⊥AE.
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE……….5分
∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，
∴AE⊥BE……………7分
（2）设AC∩BD=G，连接FG，
易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，
则BF⊥CE…………….10分
而BC=BE，
∴F是EC的中点．………12分
∴AE∥平面BFD……………14分
19、解析：
（1）正视图如右：
………2分
正视图面积S＝×4×2＝4（cm2）．………4分
（2）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，
……6分
8分
10分
12分
14分
20、证：
解析
（1）设线段A1B1的中点为E，连接OE，C1E.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB，
又BB1∥AA1且AA1＝BB1，
所以AA1B1B是矩形．
又点O是线段AB的中点，
所以OE∥AA1，所以OE⊥A1B1…….2分
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC.
又BB1∥AA1∥CC1，
所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC，
且AC＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，CC1＝2，
所以A1C1＝B1C1，所以C1E⊥A1B1.…..4分
又C1E∩OE＝E，
所以A1B1⊥平面OC1E，
因为OC1⊂平面OC1E，所以OC1⊥A1B1….6分
（2）将此图补全为一个正三棱柱，则VABC－A1B1C1=16
—
=
……10分
（3）设AB1的中点为M，连接C1M
可证C1M⊥平面ABB1A1，连接A1M，可证AB1⊥平面A1C1M
过A作AH⊥A1C1，连接B1H，可证AHB1为二面角A—A1C1—B1的
平面角。
………12分
求得AH=B1H=
，AB1=4
由余弦定理知cosAHB1=-
……14分
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