完整word版概率论与数理统计习题集及答案.docx

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完整word版概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

2.设S={x:

0

1VX<3},B={x:

2兰<4}:

则

（1）A\」B=

§1.3概率的定义和性质

1.

已知P（AuB）=0.8,P（A）=0.5,P（B）=0.6，则

（1）P（AB）=

（2）（P（AB））=

⑶P（局目）=

2.

已知P（A）=0.7,P（AB）=0.3,

则P（AB）=

§1.4古典概型

某班有30个同学，其中8个女同学

（2）最多有2个女同学的概率,（3）

随机地选10个,求:

（1）正好有2个女同学的概率,至少有2个女同学的概率.

2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是

1.

2.

已知P（A）=1/4,P（BIA）=1/3,P（A|B）=1/2,则P（AuB）=

1.

2.

§1.6全概率公式

有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中’的概率相同。

第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

1.

§1.7贝叶斯公式

某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）该厂产品能出厂的概率，

（2）任取一出厂产品，求未经调试的概率。

2.

将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:

2，若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？

1.

§1.8随机事件的独立性

电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为P，求L与R为通路（用T表示）的概率。

3.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率：

（1）恰好命中一次,

（2）至少命中一次。

第1章作业答案

1.11：

（1）S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；

（2）S={0,1,2,3}

2：

（1）A={1,3,5}B={3,4,5,6};

（2）A=｛正正，正反｝,B=｛正正，反反｝,C=｛正正，正反，反正｝。

1.21:

（1）ABC;

（2）ABC；（3）ABC；（4）AljBuC；（5）ABuACuBC;

（6）ABuACuBC或ABC+ABC+ABC+ABC；

2：

（1）AljB={x:

1vxc4}；

（2）AB={x:

2

3

（4）A・B={x:

0

1cxc4}。

1.31：

（1）P（AB）=0.3,

（2）P（AB）=0.2,（3）P（AljB）=0.7.2：

P（AB））=04

1.4

1:

（1）c；c22/c30,

（2）（（c20+c8c22+c；c；2）/c30,（3）1-（c22+c8c22）/c30.

2：

P43/43.

1.5

1.6

1:

.2/6;2:

1/4。

1:

设A表示第一人“中”，贝UP（A）=2/10

设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

1.7

1.8.1:

_21822

10910910

两人抽“中’的概率相同，与先后次序无关。

2:

随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为:

P=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45

1:

（1）94%

（2）70/94;2:

0.993;

用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=ABUCD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）

=P（A）P（B）+P（C）P（D）

-P（A）P（B）P（C）P（D）

=p2+p2-P4=2p2

2：

（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38

（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.，试写出X的分布律.

某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，—次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。

§2.20-1分布和泊松分布

某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；

（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；⑶每分钟最多有1次呼叫的概率；

设随机变量X有分布律：

X23,Y

n（X）,试求:

P0.40.6

（1）P（X=2,Y<2）;

（2）P（YW2）;（3）已知丫<2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

恰有2台计算机被使用的概率是多少？

至少有

至多有

至少有

0.6，计算

（1）

⑵

⑶

⑷

3台计算机被使用的概率是多少?

3台计算机被使用的概率是多少?

1台计算机被使用的概率是多少?

2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击,不小于0.9?

才能使至少击中一次的概率

§2.4随机变量的分布函数

1设随机变量X的分布函数是：

F（x）={0.5

i1

一1

X>1

（1）求P（X<0）;P（01）,

（2）写出

X的分布律。

CAx

2设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

[0

x>0,求

X<0

（1）常数A,⑵P（1cX<2）.

§2.5连续型随机变量

1设连续型随机变量X的密度函数为:

Tkx0vxc1f（X）*。

其

F（x）的图形,

（1）求常数k的值；

（2）求X的分布函数F（x），画出

（3）用二种方法计算P（-0.5

2设连续型随机变量X那勺分布函数为：

F（x）=

0

I

I1

⑵并用二种方法计算P（X>0.5）.

（1）求X的密度函数f（X），画出f（X）的图形,

§2.6均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布

2

求方程4X+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间（单位：

分）X服从a=0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：

（1）超过10分钟的概率；

（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X〜N（3,4）,

（1）求P（22）,P（X>3）;

（2）确定c,使得P（X>c）=P（X

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量X的分布律为；

X

0

1

2

P

0.3

0.4

0.3

T,求随机变量X的分布律。

Y=2X

2:

（1）由乘法公式:

P（X=2,Yw2）=P（X=2）P（Yw2|X=2）=0.4（我+2e工+2e/）=2e工

多维随机变量

§3.2二维连续型随机变量

求

（1）常数k；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）；（3）P（X+Y<1）；（4）P（X<1/2）。

e^

f（x,y）”0

§3.1二维离散型随机变量

设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取个数，用丫表示取到的白球个数，写出

⑵P（X>1|Y=2）=0.5;（3）已知X与丫相互独立。

随机变量的数字特征

§4.1

1.盒中有

（A）1；

数学期望

5个球，其中

（B）

2个红球，随机地取3个,

1.2；

（C）1.5；

X表示取到的红球的个数，则EX是:

（D）2.

2

其他，

[3x1

2.设X有密度函数：

f（X）=

10

求E（X）,E（2X—1）,E（A）,并求X

X

大于数学期望E（X）的概率。

3.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：

XKy

0

1

2

已知E（XY）=0.65,

0

0.1

0.2

a

1

b

0.2

（A）a=0.1,b=0.3;（B）a=0.3,b=0.1;

a和b的

O.1

（C）a=0.2,b=0.2;

（D）a=0.15,b=0.25。

则E（X2-2X+3）是:

相互独立。

§4.3方差

§4.2数学期望的性质

1.设X有分布律:

2.X有密度函数：

讪屮讪4其x他2，求D（X）.

'，b其他

§4.4常见的几种随机变量的期望与方差

1.设X~兀

（2）,Y-B（3,0.6），相互独立，则E（X-2Y）,D（X-2Y）的值分别是:

（A）-1.6和4.88;（B）-1和

4;（C）1.6和4.88;（D）1.6和-4.88.

E（XY）=E（X）E（Y），则X与丫相互独立;

2.若COV（X,Y）=0，则不正确的是（）

X、丫

-1

0

1.

-1

1/8

1/8

1/8

0

1/8

0

1/8

1

1/8

1/8

1/8

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

（D）既不必要，也不充分。

X与丫不相关，但不独立。

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件;

6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：

试验证

22

y/4XcyC其他

第4章作业答案

§4.1

1:

B；

2:

3/2,2,3/4,37/64；3:

D；4:

2/3

4/3,17/9；

§4.2

1:

D；

§4.3

1:

7/2,

35/12；2:

11/36；

§4.4

1:

A

2:

B；

§4.5

1:

0.2,

0.355；2:

-1/144,—1/11；

§4.6

1:

C；

2:

C；3:

X与丫不相关，但X与丫不相互独立；

4:

C；5:

A；

第5章极限定理

大数定理中心极限定理

*§5.1§5.2

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

数理统计中的几个概念

§6.1

1.有n=10的样本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4，则样本

2•设总体方差为b2有样本X1,X2，…，Xn，样本均值为X，则Cov（X1,X）=

§6.2数理统计中常用的三个分布

2.设Xi,X2，…，Xn是总体/2（m）的样本，求E（X）,D（X）。

§6.3一个正态总体的三个统计量的分布

1.设总体X-N（巴CT2），样本X1,X2，…,Xn,样本均值X，样本方差S2，则

As（X\-X）2

忑\1

第6章作业答案

第7章参数估计

Z的值，在实地随机地调查了20次,

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X〜兀（A），为估计

每次1分钟，结果如下：

次数：

234

量数：

95374

试求A的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2极大似然估计

X1,X2,,Xn，证明a?

=2X—1是a

2

aX+（1—a）S是参数入的无偏估计

未知参数9的极大似然估计。

§7.3估计量的评价标准

1.设总体X服从区间（a,1）上的均匀分布，有样本

的无偏估计。

2.设总体X〜兀仏），有样本X1,X2，…，Xn，证明

（0cac1）。

§7.4参数的区间估计

1.40，1.32，1.42，1.47，试求4的置

2

（2）若b未知

量其纤度为：

1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，

信度为0.95的置信区间，

（1）若b2=0.0482,

2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x=12.075

假设检验

1.某种电子元件的阻值（欧姆）X〜N（1000,400）,随机抽取25个元件，测得平均电

阻值X=992，试在a=0.1下检验电阻值的期望4是否符合要求?

2

2.在上题中若CT未知，而25个元件的均方差S=25，则需如何检验，结论是什么?

§8.2假设检验的说明

1.设第一道工序后，半成品的某一质量指标X〜N（比64）,品质管理部规定在进入下一工

序前必需对该质量指标作假设检验h0：

4=A0,比：

4工％；n=16,当X与卩0的绝

对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。

§8.3一个正态总体下参数的假设检验

1.成年男子肺活量为卩=3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一

定时期后，测定他们的肺活量,

得平均值为X=3808毫升，设方差为CT2=1202，试检

验肺活量均值的提高是否显著（取

第8章作业答案

a=0.02）？

§8.1

1：

拒绝H0：

卩=1000；

接受H。

：

卩=1000；

§8.2

1:

0.1；

§8.3

1:

拒绝H0；