重庆市第一中学届高三下学期第一次月考数学理试题解析版.docx

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重庆市第一中学届高三下学期第一次月考数学理试题解析版

2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考

数学试题卷（理科）

一、选择题.（共12小题，每小题5分，共60分）

1.集合，以下正确的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

由题意，集合，表示实数集，集合表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集，所以，故选C.

2.二项式的展开式的各项系数和为（）

A.B.C.D.

答案】A

解析】

由题意，对于二项式中，令，则，即二项式的展开式的各项系数的和为，故选A.

3.复数的模是（）

A.

B.

C.

D.

答案】B

由复数的四则运算，可知

解析】

答案】D

解析】

执行如图所示的程序框图，可知：

第一次循环：

，满足，

；

第二次循环：

，满足，

；

第三次循环：

，满足，

；

第四次循环：

，满足，

第五次循环：

，步满足，输出，故选D.

5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件“该棱柱是正四棱柱”，条件“该棱柱底面是菱形”，那么是的

（）条件

A.既不充分也不必要B.充分不必要

C.必要不充分D.充要

【答案】B

【解析】

由一个四棱柱的侧棱垂直于底面，若条件“该棱柱是正四棱柱”成立，则四棱柱的底面为一个正方形，所以命

题“该棱柱底面是菱形”是成立的；

由一个四棱柱的侧棱垂直于底面，若命题“该棱柱底面是菱形”是成立，则该四棱柱不一定是正四棱柱，所以

条件“该棱柱是正四棱柱”不一定成立，

所以命题是命题的充分不必要条件，故选B.

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数

据：

关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）

根据上表提供的数据，若求出

A．B．C．D．

【答案】A

解析】

答案】D

【解析】

由题意得，向量为单位向量，且两两夹角为，

则，

且，

所以与的夹角为，且，

所以与的夹角为，故选D.

8.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：

每个参赛国家派出2

男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种

兵布阵的方式

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法；

若甲运动员承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法，

所以中国队共有种不同的安排方法，故选A.

9.已知直线，圆，那么圆上到的距离为的点一共有（）个.

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

由圆，可得圆心，半径，

又圆心到直线的距离，

如图所示，由图象可知，点到直线的距离都为，

所以圆上到的距离为的点一共个，故选C.

10.已知则的大小关系是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

由题意，令

，则

，

当时，，

所以，

所以函数在区间上点掉递减，

所以，即，即，

又由三角函数的性质可知，所以，即，综上可得，故选B.

解析】

由曲线

，可得令

，得，

所以双曲线的离心率为

即，则，

点睛：

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）．

12.

不等式对于任意正实数恒成立，则实数的最大值为（

答案】B

解析】

由题意，设，

则

，

因为，

所以在单调递增，且最小值为，

要使得对恒成立，

当且仅当，即时成立，所示实数的最大值为，故选B.

点睛：

本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，解答中涉及到基本不等式的应用，利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键，实数有一定的难度，属于中档试题.

二、填空题.（共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量，且随机变量，则的方差

【答案】12

【解析】

由随机变量，则随机变量的方差为，

又因为，所以随机变量的方差为.

14.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为

根据给定的三视图可知，原几何体表示一个如图所示的三棱锥，

其中底面是一个底边为，高为的等腰直角三角形，则，

且底面，且，

解析】

所以三棱锥的各个面的面积为：

，,

所以该三棱锥的表面积为

答案】

画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

作出直线，则所以表示区域为，

所以

所以不等式对应的概率为

次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算概率，本题的解答中正确画出二元一次

不等式所对应平面区域是解答的关键.

16.点是锐角三角形的外心，，则的值为

答案】20

解析】

可得在中，

所以.

点睛：

本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆中，过点分别作，，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试

题.

三、解答题.（共70分）

17.已知等比数列的首项为，公比，且是的等差中项，是数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）设，根据条件列出方程，求得，即可求得数列的通项公式；

（2）由

（1），求得，即可利用分组求和求得数列的前项和.

试题解析：

1）设，根据条件有

（1）证明：

直线平面；

解析】

试题分析：

（1）证明：

根据条件得，又利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；

，求得平面

（2）由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.

试题解析：

（1）证明：

根据条件可得，

（2）两两垂直．如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标

系．设，

又所以，

根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面所成的锐二面角为

19.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：

全市名高中女生的身高（单位：

）服从正态分布

．现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成组：

第组，第组，⋯，第组，下图是按上述分组方法得到的频

率分布直方图．

（2）在这名女生身高不低于的人中任意抽取人，将该人中身高排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的数学期望．

参考数据：

，，

【答案】

（1）人；

（2）见解析.

【解析】

试题分析：

（1）由直方图知，求得后组频率，进而可求得这名女生身高不低于的人数；

（2）由题意，求得这人中以上的有人，得出随机变量可取，求得随机变量取每个值得概率，列出分布列，利用公式求解数学期望.

试题解析：

（1）由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；

（2）∵，

∴

∴.，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．

随机变量可取，于是，，

∴

20.已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上，且经过点，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合．椭

圆的上顶点为，过点的直线交椭圆于两点，连接、，记直线的斜率分别为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的值.

【答案】

（1）；

（2）见解析;（3）.

【解析】

试题分析：

（1）由抛物线的焦点为，得到椭圆的两个焦点坐标为，再根据椭圆的定义得到，

即可求得椭圆的标准方程；

（2）由题意，设直线的方程为，并代入椭圆方程，求得，化简运算，即可求得的值.

试题解析：

根据椭圆的定义有，所以椭圆的标准方程为；

（2）由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，

且，设点，由根与系数的韦达定理得，

解答此类题目，确定椭圆（圆锥曲线）

的极值；

；

点睛：

本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等

21.已知函数

（1）求函数

（2）求证：

（3），若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．

【答案】

（1）见解析；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由题意，得，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；

3）由题意的解析式，求得，令，求得，利用得存在，

使，且在上递减，在上递增，求得函数的的最小值，再转化为函数，

利用导数的单调性，即可求解实数的取值范围

试题解析：

1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；

2）根据

（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，

所以有

（3）

令，则，∴在上递增

∵，当时，∴存在，使，且在上递减，在上递增

∵∴，即

∵对于任意的，恒有成立

∴

∴∴∴，又，

∵∴，令，，显然在单增，而，，

∴∴.点睛：

本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个

角度进行：

（1））利用导数求函数的单调区间，判断单调性或求参数值（取值范围）；（2利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题；（3）考查数形结合思想的应用.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，点到直线的距离为.

（1）求值以及直线在平面直角坐标系下的方程；

（2）椭圆上的一个动点为，求到直线距离的最大值.

【答案】

（1）.

（2）

【解析】

试题分析：

（1）利用极坐标与直角坐标的互化得到直线的直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解实数的值；

（2）设点，利用点到直线距离，确定时，即可求得距离的最大值.

试题解析：

（1）则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为又，所以直线的直角坐标方程为

.

（2）由

（1）得方程为，设点，

所以点到直线距离为，当时，距离有最大值，最大值为

23.函数，其最小值为.

（1）求的值；

（2）正实数满足，求证：

.

【答案】

（1）3；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；

（2）根据柯西不等式，即可作出证明.

试题解析：

（1），当且仅当取等，所以的最小值

（2）根据柯西不等式，