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算法设计

最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。

意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：

Vertex（graphtheory）），且其所有边的权值之和亦为最小。

该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：

VojtěchJarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：

RobertC.Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1）.输入：

一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2）.初始化：

Vnew ={x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew ={},为空；

3）.重复下列操作，直到Vnew =V：

a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将边加入集合Enew中；

4）.输出：

使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

图例

说明

不可选

可选

已选（Vnew）

此为原始的加权连通图。

每条边一侧的数字代表其权值。

-

-

-

顶点D被任意选为起始点。

顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。

A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。

C,G

A,B,E,F

D

下一个顶点为距离D或A最近的顶点。

B距D为9，距A为7，E为15，F为6。

因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。

C,G

B,E,F

A,D

算法继续重复上面的步骤。

距离A为7的顶点B被高亮表示。

C

B,E,G

A,D,F

在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。

C距B为8，E距B为7，G距F为11。

E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。

无

C,E,G

A,D,F,B

这里，可供选择的顶点只有C和G。

C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。

无

C,G

A,D,F,B,E

顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。

无

G

A,D,F,B,E,C

现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。

在此例中，最小生成树的权值之和为39。

无

无

A,D,F,B,E,C,G

3.简单证明prim算法

反证法：

假设prim生成的不是最小生成树

1）.设prim生成的树为G0

2）.假设存在Gmin使得cost（Gmin）不属于G0

3）.将加入G0中可得一个环，且不是该环的最长边（这是因为∈Gmin）

4）.这与prim每次生成最短边矛盾

5）.故假设不成立，命题得证.

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:

O（v2）                邻接表:

O（elog2v）

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由JosephKruskal在1956年发表。

用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。

三种算法都是贪婪算法的应用。

和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1）.记Graph中有v个顶点，e个边

2）.新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3）.将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4）.循环：

从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

               if这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

                                       添加这条边到图Graphnew中

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。

这里再次体现了贪心算法的思想。

资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。

这样我们的图就变成了右图

在剩下的变中寻找。

我们找到了CE。

这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择，BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。

但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。

所以不需要选择他们。

类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。

当然我们选择了EG。

最后成功的图就是右：

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'（u,v的合并是k+1少一条边），G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{}不是最小生成树，最小生成树是T，即W（T）}）。

显然T应该包含，否则，可以用加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。

而T-{}，是G'的生成树。

所以W（T-{}）<=W（T'），也就是W（T）<=W（T'）+W（）=W（T'+{}），产生了矛盾。

于是假设不成立，T'+{}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

时间复杂度：

elog2e e为图中的边数

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：

在无向图G=（V,E）中，假设每条边E[i]的长度为w[i]，找到由顶点V0到其余各点的最短路径。

（单源最短路径）

2.算法描述

1）算法思想：

设G=（V,E）是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。

此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2）算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，即:

U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O（N3），空间复杂度为O（N2）。

2.算法描述

1）算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。

用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。

从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

     从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。

所以，我们假设Dis（i,j）为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis（i,k）+Dis（k,j）

2）.算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。

所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

b.对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比己知的路径更短。

如果是更新它。

3）.Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：

两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A3即为所求结果

算法时间复杂度:

O（n3）