导数中的双变量问题.docx
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导数中的双变量问题
导数
1、设函数/（x）=（2-a）Inx+2
（1）讨论函数/（X）在定义域内的单调性；
⑵当ae（-3,-2）时,任意xpx2e[l,3],（m+ln3）a-21n3>l/（x1）-/（x2）P®成立，求实数加的
取值范围.
2、已知二次函数g（x）对PxwR都满足g（x-l）+g（l-x）"-2x-l且g（l）=j,设函数
19
x>0）•
=g（x+-）+m\nx+-（meRr
2o
（I）求gd）的表达式;（II）若3xe/?
+,使/W<0成立,求实数用的取值范围;
（【II）设15",H（x）=f（x）-（m+l）x,求证:
对于Vxpx2e[l,w],恒有I//（x1）-//（x2）l<10
3、设x=3是函数/（x）=（x2+ax+e/?
）的一个极值点.
（1）求"与〃的关系式（用"表示方），并求的单调区间；
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（2）设。
＞0,曲）=oh扌若存在匚盒可0,4］,使得|/（切-&（幻＜1成立，求"的取
xq丿
值范围.
4、f（a）=（x2+cix+b）ex（x已R）.
（1）若a=2tb=-2f求函数/⑴的极值；
（2）若x=l是函数/（x）的一个极值点，试求出“关于b的关系式（用。
表示b）,并确定/（兀）的单调区间；
（3）在
（2）的条件下，设。
＞0,函数g（x）=（/+⑷严.若存在衛仆［0,4］使得1/（2,）-/（22）1＜1成立,求"的取值范围.
5、已知函数f（^x）=axi+bx2-3x（a,beR）在点（1J⑴）处的切线方程为y+2=0.⑴求函数f（x）的解析式；
⑵若对于区间[-2,2]±任意两个自变量的值几花都有|/（州）-/（勺）|“，求实数c的最小值；
⑶若过点M（2冲）（〃?
工2）可作曲线y=f（X）的三条切线，求实数山的取值范围.
6、设函数/（x）=x—丄一dlnx（dR）.
x
⑴讨论函数/（劝的单调性；
⑵若/⑴有两个极值点州內，记过点心后）），BgJ（兀2））的直线斜率为问:
是否存在"，使得k=2-a若存在，求出"的值；若不存在，请说明理由.
（1）求函数/G）的单调增区间；
⑵记函数F（x）的图象为曲线C，设点心j）、BS）是曲线C上两个不同点,如果曲线C上存在点Mg,。
），使得：
①州=乞竺；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，
2
则称函数F（x）存在“中值相依切线”.试问：
函数/（X）是否存在中值相依切线，请说明理由.
8^已知函数/（x）=（a+l）lnx-ax<
⑴试讨论/（x）在定义域内的单调性;
9、已知函数/（x）=（a+l）\nx+ax2+1.
⑴讨论函数/（X）的单调性；
（2）设a<-1,如果对任意x“2w（O,g）,I/（Xj）-/（x2）l^4lx）-x21,求。
的取值范围.
10、已知函数扣-站（爲-l）lnx,Qi.
（l）讨论函数/（x）的单调性；
（2）证明:
若4<5,则对任意X\yx2e（0,+oo）,X\丰x—
11、已知函数/（x）=x-l-«lnx（t/<0）.
（1）确定函数y=f（x）的单调性；
（2）若对任意x,x.e（Ojl，且比工左，都有l/（xj-/3）lv4l丄-丄I，求实数a的取值范
围。
12^已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+c\nx〃、
ceR.abch0）,
（I）证明：
只要“<0,无论方取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数f（x）=ax2+bx+c图象上任意取不同两点仏小）,恥2」2）,线段A〃中点的
横坐标为无，记直线的斜率为
G）求证：
心八勺）；（ii）对于“伪二次函数"g（x）=ax2+bx+c\nxf是否有①同样的性质证明你的结论.
13、已知函数（p（x）=-^―9$为正常数.
x+1
⑴若/（x）=lnx+如），且求函数/⑴的单调增区间；
乙
（2）在⑴中当a=0时,函数y=/（X）的图象上任意不同的两点B（x2ty2）f线段AB的
中点为C（“,y。
），记直线A3的斜率为R,试证明：
R>.厂伽）.
⑶若g（x）=|lnx|+°（x）,且对任意的xpx26（0,2],““2,都有土⑴｛<_],求爲的取值
X2~X\
范围.
14、已知函数/（x）=x2ln（ax）（a>0）
（1）若r（A）
对任意的qo恒成立,求实数a的取值范围;
（2）当"=1时，设函数g（x）=42,若“,孔€（：
」），“+尤2<1，求证"尤2<（山+大2）°
15、已知函数/（x）=1~t/+lnVawR,
x
（I）求/（X）的极值（II）若lnx-^（III）已知x{>09x2>0-&%）+x2x{x2
16、已知函数fix）=—的图象为曲线C,函数g（x）=[e+方的图象为直线/.
x2
（I）当a=2,b=-3时,求F（x）=fW-gM的最大值；
（II）设直线/与曲线C的交点的横坐标分别为x„x2,且召p,求证:
（州+x2）g（xl+x2）>2.
17、已知函数f（x）=-x2^-x+\n（x+a）,其中常数a>0.
4a
⑴若/（x）fc=l处取得极值，求a的值；⑵求/⑴的单调递增区间；
⑶已知0vav丄,若召,x,e（-°,°）,為H兀，且满足/'（召）+/'（x2）=0»试比较厂（召+兀）与厂（0）2
的大小，并加以证明。
18、己知函数f（x）=（x2-a）ex.
⑴若a=3,求的单调区间；
⑵己知x2是/（x）的两个不同的极值点，且I召+心4禹人J，若3/（«）19、已知函数/（x）=xe'x（xeR）
⑴求函数/（X）的单调区间和极值；
⑵已知函数y=g（x）的图象与函数y=fW的图象关于直线21对称，证明当X>1时,
fW>g（x）
（3）如果xt^x2,且f（xl）=f（x2）9证明x}+x2>2
20已知函数f（x）=—（xeR）.
⑴求函数f（X）的单调区间和极值；
⑵已知函数y=
U）对任意X满足g（x）*（4-小证明:
当牙>2时,/（x）>g（x）；（3）如果且/（xI）=/（x2）,证明：
比+兀>4・
21、已知函数fM=\n（x+\\g（x）=ex-1,
（I）若F（x）=f（x）+px^求F（x）的单调区间;
（II）对于任意的x2>x,>0，比较/（x2）-/（x,）与gg-Xj的大小,并说明理由.
22>函数f（x）=lnx，g（x）=x2
（1）求函数A（x）=/（x）-x+l的最大值。
（2）对于任意e（0,+oo）>且x223、已知函数/（x）=lnx+~-心’其中"wRUhO。
（1）讨论门x）的单调区间；
（2）若直线〉，=心的图像恒在函数/（x）图像的上方，求"的取值范围
（3）若•存在一_0»彳吏得/*（西）=/（尤2）=0，求证X]+X2>0。
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