指数函数及其性质-优秀教案.doc
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指数函数及其性质
【教学目标】
1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。
体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．情感、态度、价值观：
让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
培养学生观察问题，分析问题的能力。
3．过程与方法：
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。
【教学重难点】
重点：
指数函数的概念和性质及其应用。
难点：
指数函数性质的归纳，概括及其应用。
【学法与教具】
1．学法：
观察法、讲授法及讨论法。
2．教具：
多媒体。
【教学过程】
【第一课时】
一、情境设置
①在本章的开头，问题
（1）中时间与GDP值中的
，请问这两个函数有什么共同特征。
②这两个函数有什么共同特征
，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）。
二、讲授新课
指数函数的定义
一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。
提问：
在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（＞1，且）
小结：
根据指数函数的定义来判断说明：
因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。
若＜0，如在实数范围内的函数值不存在。
若=1，是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合。
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。
下面我们通过
先来研究＞1的情况
用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象
1
2
4
y=2x
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。
1
2
4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
从图中我们看出
通过图象看出实质是上的
讨论：
的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出的函数图象。
问题1：
从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。
从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征。
0
问题2：
根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。
问题3：
指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系。
图象特征
函数性质
＞1
0＜＜1
＞1
0＜＜1
向轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
=1
自左向右，
图象逐渐上升
自左向右，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
＞0，＞1
＞0，＜1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
＜0，＜1
＜0，＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在（＞0且≠1）值域是
（2）若
（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有
（4）当＞1时，若＜，则＜；
例题：
例1：
已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求
分析：
要求再把0，1，3分别代入，即可求得
提问：
要求出指数函数，需要几个条件？
补充练习：
1．函数
2．当
解：
（1）
（2）（－，１）
例2：
求下列函数的定义域：
（1）
（2）
分析：
类为的定义域是R，所以，要使
（1），
（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得。
三、归纳小结
1．理解指数函数
2．解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想。
【第二课时】
【教学过程】
1．复习指数函数的图象和性质
2．例题
例1：
比较下列各题中的个值的大小
（1）1．72．5与1．73
（2）与
（3）1．70.3与0.93．1
0
解法1：
用数形结合的方法，如第
（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2．5，3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2．5的点的上方，所以。
解法2：
用计算器直接计算：
所以，
解法3：
由函数的单调性考虑
因为指数函数在R上是增函数，且2．5＜3，所以，
仿照以上方法可以解决第
（2）小题。
注：
在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合。
由于1．70.3=0.93．1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1．70.3与0.93．1的大小。
思考：
1．已知按大小顺序排列。
2．比较（＞0且≠0）。
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用。
例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
分析：
可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底人口约为13亿
经过1年人口约为13（1+1%）亿
经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13（1+1%）2亿
经过3年人口约为13（1+1%）2（1+1%）=13（1+1%）3亿
经过年人口约为13（1+1%）亿
经过20年人口约为13（1+1%）20亿
解：
设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则
当=20时，
答：
经过20年后，我国人口数最多为16亿。
小结：
类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数。
思考：
P68探究：
（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数。
（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数。
（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
（4）如何看待计划生育政策？
3．课堂练习
（1）右图是指数函数①②③④的图象，判断与1的大小关系；
（2）设其中＞0，≠1，确定为何值时，有：
①②＞
（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次
归纳小结：
本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住＞1或0＜＜时的图象，在此基础上研究其性质。
本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）。
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