耐用消费新产品销售模型1.docx
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耐用消费新产品销售模型1
2011暑期培训第一次实战模拟实战
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
宁波工程学院
参赛队员（打印并签名）：
1.俞灵杰
2.范明
3.陈瑶雯
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模组
日期：
2011年8月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
耐用消费新产品销售分析
摘要
本文主要讨论了新的耐用消费品在刚上市之后及其接下来的一段时间随着时间变化它的销售量的变化情况，并在建立模型后进行在实践操作中的运用与推广。
首先，本文对一般耐用消费品在市场上的销售规律所形成双峰曲线与传统的销售模式下形成的钟形曲线进行对比并分析，得到结论主要是由耐用消费品的特性而导致差异的形成。
其次，通过对耐用消费品的特点的分析，作出相对比较合理的假设，在假设的基础上，通过微分方程把产品的销售率与外界影响销售的因素之间建立其关系，建立一个一元四次函数，再根据所得的函数建立相关的模型，再对模型进行分析，检验，整合，使模型更符合实际情况。
然后，用国产汽车比亚迪F3系列的近几年的销售数量对我们所建立的模型进行检验。
通过实际数据的销售模拟，这些数据对应的点大致分布在一个一元四次函数的周围，虽然有些点出现了比较大的偏离，但由于采集的比亚迪F3的销量数据无法完全做到与我们的假设相一致，故出现一定的偏差也是合理的，但总体还比较符合。
若想检验模型的准确性可以搜集与假设更为接近的的数据因。
但这对结论并不会产生很大的影响。
最后，本文又对模型进行了推广，理论总是为实践服务，因此，我们可以通过对模型与实际的结合，寻找较为合适的营销策略，从而增加产品的销售量和企业的利润。
关键词：
销售模型，拟合
一、问题的提出
一般新产品投入市场，此时顾客对产品还不了解，除了少数追求新奇的顾客外，几乎没有人实际购买该产品，其市场占有率很低。
随着产品的逐渐成熟，慢慢在市场中的销售量会有所上升，达到高峰，直至最后推出市场，其生命曲线形状呈钟型。
但是耐用消费品则有所不同，开始其生命曲线在开始有一个小的高峰，然后是一段平坦的曲线，甚至会下降，而后再次上升，达到高峰，从而呈双峰曲线。
问题一，要求给出这种耐用消费品的特性与一般新产品的不同的原因。
问题二，鉴于新推出的耐用消费品的这些属性，我们需要建立一个模型来动态地描述这种变化情况，给出函数表达式，更加形象的变现各个因素对销售量的影响。
问题三，利用已求出的函数和某国产车的销售量来拟合国内某一车型从上市到最近的销售量的变化情况。
二、问题的分析
问题背景分析：
我们认为当一种新的耐用消费品进入市场时，一开始应该会遵循一般消费品的规律，即进入引入期。
在引入期内顾客对产品还不了解，除了少数追求新奇的顾客外，几乎没有人实际购买该产品。
在此阶段产品生产批量小，制造成本高，广告费用大，产品销售价格偏高，销售量极为有限，企业通常不能获利。
新产品的销售量与时间的变化关系呈钟型，而耐用消费品由于它本身具有产品周转周期长；长通路为主，同时辅以短通路，其中短通路一般为满足市场生动化的需要；市场生动化组织形态，即在卖场尽可能多地进行产品演示和展示，此通路由企业或一级批发商控制；销售组织特性——办事处制；物流状况——在大区域设库房，注意经销商备货情况；着重于对消费者的售后服务等，这些特性使得其销售模式较其他产品有所不同，产生的差异也要依据这些特性展开。
对于新产品的销售量，我们可以考虑这些因素：
消费者，厂家以及其他竞争行业对它的影响。
对每一个因素进行分析得到：
厂家的投入，消费者的满意度对它是起积极作用的，而其他厂家的活动则在一定程度上抑制了销售量的增长。
基于此，我们引入这些参数来描述这个过程：
商品价值所造成的市民购买的参数，外界其他产品对他进行的抵触效益，产品前期宣传覆盖率和售后服务等综合体现的该产品所拥有的固有增长率，消费者对该商品的购买欲，其他厂商对该商品的影响效率，消费者对产品的购买欲和外界其他产品对该产品的影响效率对销售量的组合效应。
通过选用适当的关系式来联系他们，就可以得到解决问题的方案了。
三、基本假设
假设1：
该商品在上市的第一个月月初销售量为0
假设2：
该商品的价值在上市期间保持稳定。
假设3：
我国居民全年可支配收入稳定。
假设4：
在该商品的上市期内该厂商没有对其进行进一步改革、更新和重大调整。
即我们可以认为产品前期宣传覆盖率和售后服务等综合体现的该产品所拥有的固有增长率在这种假设下是保持不变的，为一个定值。
四、定义符号说明
表示在上市后的第t个月月初的销售量；
，
；
表示商品价值所造成的市民购买的参数；
表示外界其他产品对他进行的抵触效益；
M表示产品前期宣传覆盖率和售后服务等综合体现的该产品所拥有的固有增长率；
/dt=
+
表示消费者对该商品的购买欲；
/dt=s*t+C2*L表示其他厂商对该商品的影响效率；
/dt*
/dt：
表示他们对销售量的组合效应。
五、模型的分析、建立
随着时间变化，消费者对产品的熟悉程度上升，但是再一定时间后又会逐渐淡出市场，所以选用二次抛物线来拟合。
/dt=
+
；
随着时间的变化，其他厂商的新商品对他的作用是越来越明显的。
但是由市场规律可知，这种冲击力并不会很大，所以选择一次线性来拟合。
/dt=s*t+C2*L；
其他厂商的新商品对他的作用和消费者对该商品的购买欲，这两者都是对销售量产生负面影响的，而且很显然，其他同类商品对它产生的抵触效益将间接地改变市民对它的看法并在一定程度上影响消费者们对它的购买欲，所以他们之间存在着相关关系。
/dt*
/dt；
由销售量关于时间的变化率可以得到以下的微分方程组：
其中：
A=
；B=
；C=
；
Ｄ＝
且已知
，
解微分方程，对两边求积分，得：
＝
这就是我们要得到的销售量与时间的函数关系表达式。
最后，选取某一国内汽车品牌作为我们的研究对象，得到他们的某一型号的销售情况（从上市到最近）。
用这些数据，在我们得到的函数表达式下进行拟合，得到销售量关于时间的曲线图。
六、模型的求解
对问题一（耐用消费品新产品与产品传统的生命曲线的理论差别）：
产品生命周期就是产品从进入市场到退出市场所经历的市场生命循环过程，进人和退出市场标志着周期的开始和结束。
一般可以分成四个阶段：
引入期、成长期、成熟期和衰退期。
一般消费品的产品生命周期曲线其形状呈现钟型，而耐用消费品的生命曲线呈双峰曲线。
这是因为由于在居民消费问题中，耐用消费品使用时间较长，一般可多次使用，因此消费者在较长时期内都不购买耐用消费品，由于折旧的影响使耐用消费品存量一直趋于减少。
但当耐用消费品存量减少到一定的限定，达到某个临界点，消费者就会一次购买较大数额的耐用消费品，使销售量再次回升。
从而形成双峰曲线。
对问题二（建立耐用消费新产品的销售规律模型）：
由所给的
表达式，得到销售量与时间的关系是
＝
对问题三（用具体数据来分析说明国内某汽车品牌的销售情况）：
利用我们得到的数据（见附件），结合所得到的函数进行拟合，可以得到曲线（见附件），很形象得表现了销售量与时间的关系。
七、结果分析
两个产品的数据拟合结果虽然都没有完全符合我们的模型，但该模型基本上都能反映这两个品牌的销售状况，相信在一定误差范围内，该模型是有代表性的，用该模型去推测某个新耐用消费品的销售情况是合理的，如果想要得到更为接近现实的模型可以再进一步调整假设（在此论文中就不深入研究），不过基本的走势都是开始有一个小的高峰，然后是一段平坦的曲线，甚至会下降，而后再次上升，达到高峰，从而呈双峰曲线的要求。
所以结果基本上说是正确的。
八、模型检验
我们找到另一个汽车产品“长城精灵”的销售量的数据，利用这组数据来检验该函数关系式的准确性，从曲线图可以发现，其变化趋势满足题目所描述的，即生命曲线在开始有一个小的高峰，然后是一段平坦的曲线，甚至会下降，而后再次上升，达到高峰，从而呈双峰曲线（具体数据见附件）
九、模型推广
通过一种新的耐用消费品对模型的分析，以看出产品在市场的销售情况一般会遵循某种规律，当我们掌握这种规律之后要学会运用规律，从而来提高产品的销售量，使利润最大化。
产品进入市场时，厂商要在最短的时间内让消费者对该产品有所认知，以此来减少前面的引入期，所以在一开始，厂商就要开始强有力的宣传力度，为进一步进入市场铺路。
当产品进入第一次高峰的时候，厂商要抓紧这一高峰期的销售，尽量使销售量达到最高，同时也要试着延长这一时期。
进入低谷的时候要努力保持销售量，不能让销售量过低。
进入第二次高峰期的时候，厂商必须抓紧一切机会进行销售，是销售量达到最大。
当销售量再次下降时，保持稳定的销售量就显得尤为重要。
十、模型的评价与改进
该模型的建立是在一系列的假设的基础上进行的，而这些假设比如说我国居民全年可支配收入稳定以保证购买能力不会发生改变是不太合理的，但是在运动的模型中，这些其实是相对没有变化的，所以在一定的时间跨度内是可以接受的；
我们关于
/dt，
/dt的方程评估没有进行严密的证明与整理，鉴于时间关系就不对其进行细致的探究，只是做了一个粗略的测评。
在数据的采集上，由于时间的关系，有些数据的准确性不能保障，来源也不能确定。
参考文献：
[1]尹清非.耐用消费品消费研究的马尔可夫骨架过程方法.1-134页.2009年12月
[2]方芳.常微分方程理论在数学建模中的运用.安徽.2010年1月
[3]韩中庚.数学建模方法及其应用.高等教育出版社.2009年7月
[4]蒋启源.数学模型.第二版.北京：
高等教育出版社.1993
[5]赵静.但琦等.数学建模与数学实验.北京：
人民教育出版社.1978
[6]WILLIAMF.LUCAS.微分方程模型.朱煜民等译.长沙：
国防科技大学出版社.1988
附件
1.比亚迪F3从上市开始到近期的销售量统计表：
2005年
销售量
2006年
销售量
2007年
销售量
2008年
销售量
2009年
销售量
2010年
销售量
10月
750
1月
3250
1月
9927
1月
7760
1月
11638
1月
25871
11月
1000
2月
3448
2月
3462
2月
9414
2月
14242
2月
16317
12月
2500
3月
4515
3月
10337
3月
8715
3月
18577
3月
30933
4月
4512
4月
10526
4月
9341
4月
19552
4月
16771
5月
4585
5月
10554
5月
8705
5月
19048
5月
19078
6月
4747
6月
6952
6月
13091
6月
19253
6月
12336
7月
2550
7月
3968
7月
7742
7月
20461
7月
11957
8月
4512
8月
3872
8月
10125
8月
22024
8月
11934
9月
4606
9月
7797
9月
12455
9月
23330
9月
11890
10月
4850
10月
8507
10月
15343
10月
24767
10月
15423
11月
5027
11月
7642
11月
17012
11月
25636
11月
17226
12月
4417
12月
9189
12月
11443
12月
28333
12月
22702
2.比亚迪F3从上市开始到近期的销售量统计图：
３.长城精灵从上市到近期的各个月初的销售量统计表：
2008年
销售量（万）
2009年
销售量（万）
2010年
销售量（万）
3月份
0
1月份
0.02
1月份
0.03
4月份
0.07
2月份
0.02
2月份
0.0002
5月份
0.09
3月份
0.03
3月份
0.001
6月份
0.12
4月份
0.01
4月份
0
7月份
0.11
5月份
0.02
8月份
0.09
6月份
0.05
9月份
0.07
7月份
0.1
10月份
0.06
8月份
0.14
11月份
0.07
9月份
0.12
12月份
0.02
10月份
0.14
11月份
0.16
12月份
0.18
４.长城精灵从上市到近期的各个月初的销售量统计图
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