矩阵可对角化的条件.docx

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矩阵可对角化的条件

第二节　矩阵可对角化的条件

　　定义1　如果矩阵

能与对角矩阵相似，则称

可对角化。

　　例1        设

，

则有：

，即

。

从而

可对角化。

　　定理1

阶矩阵

可对角化的充分必要条件是

有

个线性无关的特征向量。

　　证明：

必要性　如果

可对角化，则存在可逆矩阵

，使得　　　　

将

按列分块得

，从而有

因此有

，所以

是

的属于特征值

的特征向量，又由

可逆，知

线性无关，故

有

个线性无关的特征向量。

充分性　设

是

的

个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为

，则有

。

令

，则

是一个可逆矩阵且有：

因此有

，即

，也就是矩阵

可对角化。

　　注若

，则

，对

按列分块得

，于是有

，即

，从而

。

可见，对角矩阵的元素就是矩阵

的特征值，可逆矩阵

就是由

的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。

　　定理2　矩阵

的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

　　证明：

设

是

的

个互不相同的特征值，

是

的属于特征值

的特征向量，现对

作数学归纳法证明

线性无关。

当

时，由于特征向量不为零，因此定理成立。

假设

的

个互不相同的特征值对应的

个特征向量是线性无关的。

设

是

的

个互不相同的特征值，

是

的属于特征值

的特征向量。

又设

（1）

成立。

则有

，又将

（1）式两边同乘

得：

从而有

由归纳假设得

，再由

两两互不相同可得

将其代入

（1）式得

，因此有

，从而

线性无关。

　　推论1　若

阶矩阵

有

个互不相同的特征值

，则

可对角化，且

。

　　定理3　设

是

阶矩阵

的

个互异特征值，对应于

的线性无关的特征向量为

，则由所有这些特征向量（共

个）构成的向量组

是线性无关的。

　　证明：

设

，记

，

，则有

，且

或

是

的属于特征值

的特征向量。

若存在某个

，

，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知

，矛盾。

因此有

，

又由已知得

因此向量组

线性无关。

　　定理4设

是

阶矩阵

的一个

重特征值，对应于

的特征向量线性无关的最大个数为

，则

，即齐次线性方程组

的基础解系所含向量个数不超过特征值

的重数。

　　证明：

用反证法。

由于

是

的属于特征值

的特征向量当且仅当

是齐次线性方程组

的非零解，因此对应于

的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组

的基础解系所含向量个数相等。

设

是齐次线性方程组

的一个基础解系,且假设

则有

。

现将

扩充为一个

维线性无关向量组

其中

未必是

的特征向量，但有

是一个

维向量，从而

可由向量组

线性表示，即：

因而有：

（2）

其中

有

个。

令

，并将

（2）式右端矩阵分块表示，则有

，由相似矩阵有相同的特征多项式，得

的特征多项式为：

其中

是

的

次多项式。

从而

至少是

的

重特征值，与

是

重特征值矛盾。

所以

。

　　定理5

阶矩阵

可对角化的充分必要条件是：

的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数（即

的每个特征值

对应的齐次线性方程组

的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即

的每个特征子空间

的维数等于该特征值

的重数）。

　　证明：

设

，其中

两两不同，且有

。

充分性　由于对应于

的特征向量有

个线性无关，又

个特征值互异，因此

有

个线性无关的特征向量，故

可对角化。

必要性　（反证法）设有一个特征值

所对应的线性无关的特征向量的最大个数

的重数，则

的线性无关的特征向量个数小于

，故

不能与对角矩阵相似。

　　例2　设

，求

的特征值和特征向量，并判断

是否可对角化？

　　解：

由

得

的特征值为

（二重特征值）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意非零常数）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意非零常数）。

由于

的特征值

对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数小于特征值的重数，故

不可对角化。

　　例3　巳知

，判断

能否对角化？

若能对角化，求可逆矩阵

，使得

为对角阵。

　　解：

由

得

的特征值为

（二重特征值）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意非零常数）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

及

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意不全为零的常数）。

由于

的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故

可对角化。

令

，则

。

　　例4　设

是

阶矩阵，

，判断

是否可对角化。

　　解：

设

的特征方程

的两个根为

，则

，故

有两个不同的特征值，从而

可对角化。

　　例5　设实对称矩阵

，问

是否可对角化？

若可对角化，求矩阵

，使得

为对角阵，并求

（

为正整数）。

　　解：

由

得

的特征值为

（三重特征值）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意非零常数）。

当

时，由

，即：

得基础解系为

，从而

的属于特征值

的特征向量为

（

为任意不全为零的常数）。

　　由于

的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故

可对角化。

令

，则

。

从而

，且

　　例6　设

阶矩阵

满足

（称

为幂等矩阵），证明：

的特征值只能为

或

，并且

可对角化。

　　证明：

设

是

的属于特征值

的特征向量，则

，由

，得

，所以幂等矩阵的特征值只能为

或

。

　　设秩

，当秩

时，

，故

可对角化且

；当秩

时,

可逆,由

得

，故

可对角化且

;现设

。

当特征值

时,其特征矩阵

的秩为

。

这是因为由

所以

；又

，因而

，从而有

。

再由

可得对应于

的线性无关的特征向量的最大个数为

。

设

的属于特征值

的

个线性无关的特征向量为

。

当特征值

时,由

可得对应于

的线性无关的特征向量的最大个数为

。

设

的属于特征值

的

个线性无关的特征向量为

。

从而

有

个线性无关的特征向量，故

可对角化。

令

，则

，其中主对角线上

的个数为

秩

个，

的个数为

个。

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