数轴上都收敛，则必冇在尺，使I|a-|>R时发散，其中尺称为收敛半径。
\卜|=尺时不定
/pHOH寸，R=丄
求收敛半径的方法：
设加|=°其中坷，是（3）的系数，则（；p=0H寸，R=+oo”T爲1\p=+8时，R=o
函数展开成幕级数：
函数展开成泰勒级数：
f（x）=f（x0）（x-x0）+^^°\x-x0）2+…+_（x-xj+…
2!
n\
£（n+l）/>x
余项：
R”=一（x-xor\/（x）可以展开成泰勒级数航要条件是dim亿=0
（/?
+!
）!
心00
心=011寸即为麦克劳林公式：
.f（X）=f（0）+.厂（0）x++…+/1丫））対+…
2!
77!
某些函数展开成胳级数：
八、卿,ni（m—1）■>加（"2-1）…（“2—刃+1）..彳■
（l+x）m=\+mx+JT+…++…（一1vxvl）
2!
/?
!
V3*5r2n-l
sinx=x--—+—+（一1）"7—+…（-covxv+8）
3!
5!
（2,?
-!
）!
可降阶高阶微分方程
类型一:
y（,,）=fM
解法（多次积分法）：
令"=厂"=>半=/（x）=>多次积分求/（x）dx
类型二：
y"=/（x,y'）
解法：
令“=y1=>—=f（x.p）=>—阶微分方程
dx
类型三：
y"=/（y,y‘）
解法：
令卩=）』=>字=字斗=卩半■n/（），,〃）=>类型二
dxdydxay
类型四:
y+pWy=Q（x）
若Q（X）等于0,则通解为y=（一阶齐次线性）。
若不等于0,通解
）—0）[问）严％+彳（一阶齐次非线性）。
一阶齐次非线性方程通解是相应齐次方程通解与它一种特解之和。
三、线性微分方程
类型一：
y"+P（x）y4Q（x）y=0（二阶线性齐次微分方程）
解法:
找出方程两个任意线性不有关特解：
”⑴宀⑴
则:
yM=C]y]（x）+c2y2（x）
类型二：
y*'+P（x）y'+Q（x）y=/（x）（二阶线性非齐次微分方程）
解法：
先找出相应齐次微分方程通解：
y3（x）=^yM+c2y2（x）
再找出非齐次方程任意特解儿⑴，则:
yM=儿（x）+cj（x）+C2y2（x）
类型三〉，"+/少+§=0（二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特性方程法）:
T+p几+q=0亠入.严一卩±3一側
2
（）△=p2_4@>0=>AHA2=>y=q/y+c2e^x
（二）A=O=>/11=/^=A=>y=（c{+c^x）e/x
（三）△<（）=>&=a+ip.An=a-ip=>y=eax（qcosfix+c2sinJ3x）
导数公式:
（log3=
1
xlna
（tgx）f=sec2x
（ctgxY=-esc1x（secxY=secxtgx（cscx）"=-cscx・clgx（ax）f=ax\na
（arcsinx/=，,
x/l-x2
（arccosv）1=_,〔=
\/l-X2
（arctgxY=—
1+2
（arcctgxY=-—^
1+2
基本积分表:
Jfgxdx=-In|cosx|+C
Jctgxdx=hi|sinx\+C
Jsecxdx=In|secx++C
Jcscxdx=In|cscx-ctgx\+C
IXc
=—urctg—+v
h=+C
x+a
In
f——=[sec2xdx=tgx+C
Jcos*x」
[=[esc2xdx=-ctgx+CJsi”xJ
Jsecx・tgxdx=secx+C
|esex・e/gM:
=-cscx+C
^shxdx=chx+CIchxdx=shx+C
a-x
=arcsin—+C
ln（x+>Jx2±a2）+C
■M
Itl=Jsin"xdx=Jcos"xdx=
00
口/
1n-2n
2
Jyjx2+a2dx=扌\lx2+a2+牛In（x+yjx2+a2）+C
2
fy）x2-erdx=—\lx2-a2-—Inx+y/x2-a2+C
J22
2
|^a~-x2dx=扌\/a2-x2+牛arcsin—+C
三角函数有理式积分:
lini-——-=1
lim（1+丄T=0=2.718281828459045...
双曲正弦:
shx=e~e
2
双曲余弦:
d+八
2
双曲正切:
〃X=—=
chxex+e'
arshx=ln（x+J”+1）archx=±ln（x+ylx2一1）arthx=—In
2
sin（a±0）=sinacos0土cosasin0cos（tz±/7）=cosacos/7+sincrsin卩
fg（a±0）=
tga土tg卩
世g±0）=込込1
ctg0土cfga
a+Ba_卩
sin22
sintz-sin0=2cos^—^sin—―—
22
cca+pa-p
COS6Z+COS0=2cos—cos—^―nc.a+卩.a_卩
cosa-cos0=2sin—sin
•倍角公式:
sin2a=2sintzcos（z
cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos'a—sin'
sin3a=3sina-4sin3a
驱2a=空◎
2ctga
tg2a=2甞
l—fgy
cos3a=4cos*a-3cosa
l-3/g\z
•半角公式:
.a,|l-cosa
sin—=±.|
2\2
atl-cosa1-cosasine?
fg—=±==
'2\1+cosasine?
1+cosa
•正弦定理:
u_b
sinAsiiiB
=2R
sinC
a,/1+cosa
cos—=±'
2V2
a,|l+cosa1+cosasina
etg—=±；==
2\1-cosasinal-cosa
•余弦定理：
c2=a2+b2-2ahcosC
7T
aretgx=—-arcctgx
•反三角函数性质：
arcsin.v=—-arccosx
2
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理：
/（/?
）-/（a）=f《）（b-a）
柯西中值定理、当F（x）=x时，柯西中值定理就超立格朗日中值定理＜：
空间解析几何和向■代数
空间2点的距离：
d=|A/.M2|=yj（x2-xl）2+（y2-yi）2+（z2-zi）2
Prj；（%+a2）=Prjax+Prja2
（i-b=^i\-bcos0=axhx+a、.b、.+«./?
.,是一个数量，
—亠l亠——亠宀"r*+a、"+a.b.
两向量之间的夹角cos8=t1A
ijk-
c=axb=axaya.,|c|=|«|-|/?
|sin0.例：
线速度：
v=wxr.bxb、bz
向量的混合积[ahc]=（axb）-c=bx
Cx代表平行六面体的体积
byb：
=〃xZ?
|・|可cosa,a为锐角时,
平面的方程：
1、点法式：
A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O,其中n={A,B,C},M0（x0,^0,z0）
2、一般方程：
Ax+By+Cz+D=O
3、截距世方程^+^-+-=1
abc
平面外任意一点到该畅的距离：
〃」込「也+込岀
y]A2+B2+C2
x=x（）+mt空间直线的方程===其中“伽”〃}渗数方程』），=儿+加
mnp
Z=ZQ+pt
二次曲面：
1、椭球面:
二r+—+d=l
ab"c・
2、抛物面:
二+2i=z,（/“同号）
2p2q
3、双曲面：
单叶双曲面4+4-^=i
XL
双叶双曲面4-4+^=i（马鞍面）
trlrl
多元函数微分法及应用
全微分：
⑴更如更dy血=翌如殂心+理衣
dxdyrdxdy'oz
全微分的近似计算:
=fx（x,y）Ax+/v（x,y）Ay
多元复合函数的求导法
dzdzdud乙dv
z=/[“（/）*（"]
=•—•dtdudtdvdt
dz.dzdudzdv—=—•—+—•—dxdudxdvdx
当u=r（x,y）,v=v（x,y）时,
dv^dx+^dy
dxdy
dudu
au=——ax+—dy
dxdyr
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=0,
d勿
空=_工心=2dxF「dx1dx
dy
dx
隐函数F（x,”z）=0,
dz_Fx空=_冬
dxF:
dyF:
微分法在几何上应用:
x=（p（t）
空间曲线尸刃）在点M（x°,儿,z°）处的切线方程¥1=与也=二三=如）0仇）0仏）血仏）
在点M处的法平面方程:
必0）（兀-Xo）+）（y->'<））+e'（G）（Z-Zo）=0
Fg,z）=0,则切向量亍={
G（x,”z）=0
曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,>'o，%），贝9：
1、过此点的法向量"={行（心九也0）£（心治％）,巴（心治20）}
2、过此点的切平面方程Fr（xo,yo,zo）（x-xo）+F/xo,yo,zo）（y-yo）+f；（xo,yo,zo）（z-zo）=O
尤一不）__z-Zu
若空间曲线方程为,
FyF；
G、GJ©
3、过此点的法线方程，
£（（珀）」0,5）Fy（-^Q»Vq,z0）F.（a0,儿,Z（j）
方向导数与梯度：
函数z=/（X,y）在一点p（x,y）沿任一方向/的方向导数为E=—cos（p+—sin（pdlox6
其中0为X轴到方向/的转角。
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gracV'（^y）=—^+―7oxdy
它与方向导数的关系是—=grad/（x,y）e9其中e=cos单位向量。
•••卑是gradf（x,y）在/上的投影。
ol
多元函数极值及其求法：
歎（心儿）=力（Xo，y°）=O,令：
人（SXJ=A,几％yJ=B,fyy（xQ9y0）=C
A
B2-ACA
A
贝ij』B2-AC>0lM,
<0,（x（）Oo）为极大值
>o,（mj为极小值无极值
g2-AC=（M,
柱面坐标和球面坐标:
曲线积分:
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）:
特殊情况!
X=t
卜=0（f）
设心曲上连续，L的参数方程为丄⑷，（心“）,则:
J7（x,y）ds=|/[©⑴少⑴]⑴+屮fdt（a<0）
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）:
设乙的参数方程为
2X）,则：
y=0（7）
p
JP（.x9y）dx4-Q（x9y）dy=J{P\⑷（f）,0（f）妙'（r）}dt
1.ex
两类曲线积分之间的关系：
[P厶+Qdy=J（Pcoscr+Qcos/3）ds,其中c和Q分别为i.i.
乙上积分起止点处切向母的方向角。
格林公式寸J（$£-^—）dxdy=JPdx+格林公式:
[J（冬^—^—）dxdy=JPdx+Qdy
d°x°yz.d△人l
当P=—y,Q=HP:
—?
-=2R寸，得至忆>的ifll积：
A=[Jeixdy=-yJxdy—ydx
Qxn2i
•平而上曲线积分与路径无关的条件：
KG是一个乐连通区域：
2、P（x,y）.y）在G内具有一阶连续偏导数且竺=孑。
注意奇点，如（）・（））•应
oxoy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
•二元函数的全微分求积
在翌=竺时，Qdy才是二元函数fgy）的全微分.其中：
exoy
u（x.y）=[P（x,y）dx+Q（x.y）dy9通常设兀）=y0=（）。
升级会员 