数学教案 五升六4 还原法的妙用.docx

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数学教案五升六4还原法的妙用

教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

五升六

授课时间

年月日

课时

2课时

课题

第四讲还原法的妙用

教材分析

本讲内容还原问题是指已知一个量或多个量的变化过程和结果，求这些量最初的数值的题目，解决此类问题的核心是逆推。

是在学生已经具备了一定的运算能力，有一定的逆向思维能力的基础上学习的。

旨在培养学生逆向思维能力，提升运算，解题能力。

例题部分涉及多种题型，例1是数的还原，采用流程图，例2采用线段图，例3到例5都可以采用图表法，建议师生合作，教师逐步给学生渗透解题方法。

拓展训练部分是例题部分巩固，学生独立完成。

拓展延伸题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲内容。

教学目标

知识技能

1.掌握还原问题基本的解题思路和方法，抓住逆运算关系，逐步靠拢已知条件。

2．学会灵活运用不同方法（如线段图、流程图等）解决不同类型还原问题。

数学思考

1.使学生在解题中，体会采取相应策略解决问题带来的简便。

2.学会独立思考，体会数学的逆向思维方式，发展逆向思维能力。

3.体验与他人合作交流解决问题的过程。

问题解决

1.通过画线框图、画线段图等方法解决问题的过程中，了解解决问题方法的多样性，掌握解题技能。

2.发展逆向思维，提高分析问题的能力。

情感态度

1.在解决问题的过程中，培养激发学生学习兴趣。

2.培养发展学生逆向思维能力，激发探究知识的欲望。

教学重点、难点

教学重点：

利用还原、逆向思维思想解决相关问题。

教学难点：

灵活利用线框流程图、线段图、图表法等解决相关还原问题。

教学准备

动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

大家对四大名著中的《三国演义》熟悉吗？

对哪一个故事印象深刻呢？

生：

……

师：

“赤壁之战”是三国时期以少胜多，以弱制强的一场著名战役，打败曹军后，孙刘联军举办了隆重的庆功会，今天我们也去到庆功会现场去看看。

（课件播放导入部分）

二、教学新授

（一）呈现问题1

师：

庆功会上，主公决定先奖赏黄盖大功：

（播放过渡场景）

例1：

奖赏黄盖一些布匹，匹数减去6，再乘6，然后加上6，最后除以6，结果仍为6。

你知道奖赏给黄盖的布匹是多少吗？

1.学生读题，明确题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

根据题意，匹数经过加、减、乘、除四种运算之后得到了结果6。

要求这个数，你有怎样的想法呢？

（小组讨论，生生互动）

生：

可以从结果出发，一步步往前推。

师：

利用这样的思路大家先尝试计算一下吧。

（教师巡视，发现学生问题）

师：

这道题目步骤，数据都较多，为了更清晰直观的还原题目，看清过程，这类题目我们可以利用线框流程图来解决。

（适时出示课件解析）

师：

在逆推求这个数的过程中，运算符号是否要改变呢？

应该如何逆推呢？

生：

在逆推的过程中，乘与除，加与减互逆。

3.同桌之间相互讲解，完成解题过程。

4.全班集体汇报。

（教师出示课件答案，规范学生解题步骤）

5.教师小结。

（1）像这样，一个未知数，经过某些运算之后，得到一个新数，求原数的应用问题，我们称之为“还原问题”。

（2）从问题的最后结果出发，运用加和减、乘和除的互逆关系，一步一步进行逆推，这种解题方法叫“还原法”。

在逆推的过程中，一定要注意运算的互逆性。

答案：

解：

（6×6-6）÷6+6=11（匹）

答：

奖赏给黄盖的布匹是11匹。

（二）呈现问题2

师：

除了黄盖，所有有功之臣也都得到了奖赏，而且伙房早早就开始杀猪宰羊准备晚宴：

（播放过渡场景）

例2：

上午宰杀猪总数的一半少10头，下午宰杀剩下的一半多20头，还剩30头。

问军中原来有猪多少头？

1.学生读题，明确题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

通过读题，大家对比我们上一道题目，要求原来有猪多少头，用线框流程图还可以吗？

有没有更好的解决方法呢？

小组讨论一下。

（小组讨论，教师指导）

生：

可以运用画线段图的方法解决。

师：

那么画线段图的顺序应该是从最后往前逆推画，还是从最初呢？

大家尝试一下。

（学生尝试画图，教师指导，适时出示课件解析）

生：

线段图应该从最初开始画，但是计算的时候，可以逆推来计算，先计算出剩下的一半，然后可以计算出总量的一半，最后计算出原来共有多少头。

3.学生独立写出过程。

4.总结交流。

一堆物品拿走了一半多几或是少几，再拿走余下的一半多几或是少几，知结果，求物品原数，适用线段法。

答案：

解：

（30+20）×2-10=90（头）

90×2=180（头）

答：

原来有猪180头。

（三）呈现问题3

师：

晚宴的时候，军师分享胜仗经验，离不开自己平时的读书学习，掀起了军队的读书潮：

例3：

诸葛亮、周瑜和庞统三个人共有兵法书72册。

如果周瑜向诸葛亮借3册后，又借给庞统5册，而庞统又借给了诸葛亮2册，结果三个人有的兵法书的册数正好相等。

这三个人原来各有兵法书多少册？

1.学生读题，理解题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

大家再对比这道题目和之前题目，你发现有什么不同？

可以运用之前的方法解决吗，比如画线框流程图或画线段图，大家尝试一下。

（学生尝试分析，发现线段图和流程图都不简单）

师：

这种情况下，怎样分析比较简单呢？

我们先看题目，三人不管借来借去，其中有没有不变量呢？

生：

三人共有的总册数72册是不变的，而且到最后三个人的册数正好相等，都是24册。

师：

找到了题中的关键信息，这种题目，我们可以运用表格的方法，直观清晰表示每一个变化时，对应的册数。

师：

让学生独立完成，提醒学生逆推往前填，同桌之间相互讲解。

（请学生全班集体讲解）

生：

最后三人都是24册，在庞统借给诸葛亮之后，庞统书的册数减少了2，诸葛亮的增加了2，所以逆推往前，庞统的应增加2，诸葛亮的减少2……

3.学生独立完成解答过程。

4.总结交流。

多个人拥有物体的总量一定，经过互给之后，知结果，求原来每人各有多少？

适用图表法。

答案：

解：

72÷3=24（元）

诸葛亮：

24-2+3=25（册）

周瑜：

24+5-3=26（册）

庞统：

24+2-5=21（册）

答：

诸葛亮、周瑜、庞统原来分别各有兵法书25册，26册，21册。

3、巩固应用、尝试成功.

（一）拓展问题1

1.将一个数扩大8倍后，减去9，再除以9，最后加上20以内最大的质数，得28。

这个数是多少？

（本题是例1的变式练习，较为简单，作为检验，学生独立完成即可，找出20以内最大的质数是解题关键。

）

线框图：

（二）拓展问题2

2.小晶在做一道减法计算题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111，正确答案是多少？

（本题较为简单，属于“将错就错题型”，在之前年级的学习中，学生已经熟练掌握，可以根据错误减数及结果，得出正确的被减数，再进行计算。

）

（三）拓展问题3

3.有一筐梨，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少4个，筐中还剩20个，筐中原有梨多少个？

（本题是例2的变式练习题目，建议学生独立完成，严格规范学生先画出线段图，逐步还原计算。

）

答案：

解：

（20-4）×2=32（个）

（32+2）×2=68（个）

答：

框中原有梨68个。

四、课堂小结.

这节课，我们学习了还原问题相关知识，同学们有怎样的收获呢？

关于还原问题还有什么类型的题呢？

让我们下节课继续学习。

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

上节课我们在习题中体会了还原法的灵活运用，大家都掌握了哪些方法？

生：

线框图法，线段图法，流程图法。

师：

看来大家都掌握的不错，我们在学习之余，还去到了赤壁之战的庆功会现场，这节课我们接着去庆功会上看看。

二、教学新授

师：

掀起了一股读书潮之后，刘备看众人纷纷借书学习，拿出了自己的一些书与大家分享：

（播放过渡场景）

（一）呈现问题4

例4：

关羽、张飞和赵云分了这批书后都觉得分得不公平。

刘备看了看他们三人分得的书后说：

“这样吧，关羽你把你的书分一部分给张飞和赵云，使张飞和赵云的书各增加1倍；然后张飞你也拿出你的书一部分给关羽和赵云，也使关羽和赵云的的书各增加1倍；最后赵云你也拿出一部分给关羽和张飞，使他们的书也各增加1倍，这时你们书的数量就一样多了。

”这时三人数了数，果真都有24册书。

你知道他们三人原来各有多少书吗？

1.学生读题，明确题意。

2.教师引导。

师：

通过上节课的学习，我们知道，当多人分数量一定的东西时，适合用列表法，这道题目大家看一下，数据变化上和之前有什么不一样呢？

生：

之前的变化是具体的数量，这道题目中涉及到了倍数问题。

师：

分析的非常到位，我们现在一起逆推一个，最后的书都是24册，这是在“赵云给关羽和张飞之后，使他们的书都增加了1倍”，那么在这之前，三人的书分别是多少？

生：

关羽和张飞的书都增加了1倍，说明在这之前，两人分别为12本，则赵云有24+12×2=48本。

师：

仿照这个分析，将表格补充完整，同桌之间相互检查。

3.学生独立完成，同桌间相互交流。

4.教师总结。

答案：

解：

赵云分之前：

关羽：

24÷2=12（本）

张飞：

24÷2=12（本）

赵云：

24+12×2=48（本）

张飞分之前：

关羽：

12÷2=6（本）

赵云：

48÷2=24（本）

张飞：

12+6+24=42（本）

关羽分之前：

张飞：

42÷2=21（本）

赵云：

24÷2=12（本）

关羽：

6+12+21=39（本）

答：

张飞、赵云、关羽原来各有21本，12本，39本。

（二）呈现问题5

师：

宴会结束，大家前去清点物资，发现三桶油有剩余;

（播放过渡场景）

例5：

甲、乙、丙三桶油各有若干千克，如果先从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和丙桶同样多的油放入丙桶，最后从丙桶中倒出和甲桶同样多的油给甲桶，这时甲、乙、丙三桶油恰好都是56千克。

问原来甲桶油比乙桶多多少千克？

1.学生读题，分析题意。

2.师生合作，教师引导。

师：

大家仔细分析这道题目，对比之前的题目，你有什么发现？

提示大家从每次的变化量之间，对比。

生：

之前，每发生一次变化，所有量都会发生变化，但是这道题目，发生一次变化，只有两个量有变化。

师：

非常好，大家先根据题目将表格绘制出来。

（学生独立绘制，教师适时出示课件解析）

师：

绘制出表格，我们一起先填一个，逆推往前，在最后三桶油千克数相等之前，“从丙桶中倒出了和甲桶同样多的油给甲桶”，在这个变化之时，三桶油谁没有发生变化？

发生变化的原来是多少？

生：

乙桶油的数量没有发生变化，甲桶油增加了一倍，所以原来为56÷2=28（千克），丙桶油减少了28千克。

师：

很清晰，表格的剩余部分尝试独立完成。

3.学生独立完成。

4.总结交流。

答案：

解：

丙：

（56+56÷2）÷2=42（千克）

乙：

（56+42）÷2=49（千克）

甲：

56÷2+49=77（千克）

77-49=28（千克）

答：

原来甲桶油比乙桶多28千克。

三、巩固应用、尝试成功.

（一）拓展问题4

4.宁宁和亮亮一共有36枚游戏币，宁宁拿出自己的游戏币的一半给亮亮后，亮亮也拿出自己的游戏币的一半回赠给宁宁，这时宁宁又拿出自己的6枚游戏币给亮亮，这样宁宁就比亮亮多4枚。

最初宁宁和亮亮各有多少枚？

（建议学生独立列表完成，重点先求出此时宁宁和亮亮分别有多少枚，运用和差问题解决，根据学生情况，酌情出示课件解析。

）

答案：

解：

宁宁最后：

（36+4）÷2=20（枚）

亮亮最后：

（36-4）÷2=16（枚）

宁宁最初：

（16+4+6-10）×2=32（枚）

亮亮最初：

36-32=4（枚）

答：

最初宁宁有32枚，亮亮有4枚。

（二）拓展问题5

5.甲、乙、丙三人一共有243元，甲最多，他拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加2倍，结果乙的钱最多；乙再拿出一些给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加2倍，结果丙的钱最多；丙又拿出一些给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，最终3人的钱数一样多。

问三人原来各有多少钱？

1.学生读题，理解题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

通过读题，三人最终的钱数是多少？

生：

三人共有243元，现在3人钱数一样多，每人分别都是81元，经过几次变化后，三人都是81元？

大家先绘制出表格。

师：

我们一起分析，在三人钱数一样之前，丙给了甲乙，使他们的钱数各增加了2倍，那么之前三人分别多少？

生：

甲乙钱数分别增加2倍，说明计算出原来有81÷（1+2）=27元，那么每个人都增加了27×2=54元，所以丙减少了27×4元。

师：

分析到这里，独立完成表格，并作答吧。

3.学生独立完成解答。

4.教师总结。

四、拓展视野

将八个数，从左到右排成一行，第三个数开始，每个数都恰好等于前两个数之和。

如果第7个数和第8个数分别是81,131，那么第一个数是多少？

1.学生读题，理解题意。

2.师生合作。

师：

通过读题，你认为解答这道题目的关键是什么？

生：

从第三个数开始，每个数都恰好等于前两个数之和。

师：

现在要求第一个数，该怎么办?

生：

已知了第7个数和第8个数，第8个数是第6个数和第7个数之和，可以计算出第6个数，依次往前推。

3.小组间相互讲解。

4.教师总结。

答案：

第6个数：

131-81=50

第5个数：

81-50=31

第4个数：

50-31=19

第3个数：

31-19=12

第2个数：

19-12=7

第1个数：

12-7=5

答：

第1个数是5。

五、课堂总结

1.还原问题的核心：

倒推。

2.线框图法：

画线框---顺序写变换过程---逆推列式计算---写答语

3.一堆物品拿走了一半多几或是少几，再拿走余下的一半多几或是少几，知结果，求物品原数，适用线段法。

画线段---标条件---逆推列式计算---写答语

4.多个人拥有物体的总量一定，经过互给之后，知结果，求原来每人各有多少？

适用图表法。

列表格---填已知---逆推算---写答语

拓展问题答案：

1.[（28-19）×9+9]÷8=11.25

答：

这个数是11.25。

2.被减数：

111+17=128

正确：

128-71=57

答：

正确答案是57。

3.（20-4）×2=32（个）

（32+2）×2=68（个）

答：

框中原有梨68个。

4.宁宁最后：

（36+4）÷2=20（枚）

亮亮最后：

（36-4）÷2=16（枚）

宁宁：

（16+4+6-10）×2=32（枚）

亮亮：

36-32=4（枚）

答：

最初宁宁有32枚，亮亮有4枚。

5.丙给甲、乙之前：

甲、乙：

243÷3÷（1+2）=27（元）

丙：

27×4+81=189（元）

乙给甲、丙之前：

甲：

27÷（1+2）=9（元）

丙：

189÷（1+2）=63（元）

乙：

9×2+63×2+27=171（元）

甲给乙、丙之前：

丙：

63÷（1+2）=21（元）

乙：

171÷（1+2）=57（元）

甲：

9+57×2+21×2=165（元）

答：

甲、乙、丙分别是165元，57元，21元。