高层楼房电梯配置.docx

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高层楼房电梯配置

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/中选择一项填写）：

2009年B题

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

河南科技大学

参赛队员（打印并签名）：

1.温阳

2.周奇衡

3.赵高峰

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2010年8月30日

摘要

本文涉及的是一个高层办公电梯的分配问题。

如果电梯的分配不合理，就会出现底楼的拥挤现象，影响办公环境的正常秩序，加大工作人员的等待时间。

因此建立合理的电梯分配是很有必要的，可以使办公人员快速有序的到达所需楼层。

针对问题一：

为了满足能够尽快地将各层人流快速送到，需对电梯进行分组，以达到乘客平均等待时间最短，对此建立非线性优化问题的模型。

对于问题的求解采用的是穷举法，根据乘客的平均等待时间以及5min内的电梯输送效率，并且联系实际情况（电梯的分组都是偶数），最后得出的最优化方案有两个：

其一是电梯分为2组，2台服务2～4层，4台服务5～30层；其二是电梯均分为3组，2台服务2～11层，2台服务12～21层，2台服务22～30层。

最后根据楼层的具体人员分布，对这2种方案进行检验，知这两种方案都是可行的。

针对问题二：

为了满足要求，建立了三个衡量标准的体系：

1）乘客的平均等待时间的最大值Q

2）每组电梯的均衡性

3）电梯安装和使用的总的花费

建立优化问题的模型。

根据问题一中的结果考虑，把楼层依照“近均分法”进行不同分组的分配，分别求出各种电梯分组情况下的最优方案。

使用层次分析法对几种分组情况下进行加权分析，最终得出的最优方案是电梯分为四组，3台最大速度为243.8m/min的电梯服务于2～11层，4台最大速度为304.8m/min的电梯服务于12～15层，3台最大速度为304.8m/min的电梯服务于16～22层，4台最大速度为365.8m/min的电梯服务于23～30层.

关键字：

穷举法非线性规划均衡性层次分析

一．问题重述

1.1背景资料

商用写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。

公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案，能够尽可能的减少上班高峰期间的人员等待，使得电梯的使用效率最大化。

（1）数据

表l各楼层办公人数（个）一览表

楼层

楼层

楼层

人数

楼层

人数

楼层

人数

1

2

3

4

5

6

7

8

—

208

177

222

130

181

191

236

9

10

11

12

13

14

15

16

236

139

272

272

272

270

300

264

17

18

19

20

2l

22

23

24

200

200

200

200

207

207

207

207

25

26

27

28

29

30

205

205

140

136

132

132

（2）第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9lm；

（3）电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；

（4）电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间（如果考虑的话）为上面3部分时间总和的10％；

（5）底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；

1.2需要解决的问题

第一问：

假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。

第二问：

如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8m／min，304.8m／min，365.8m／min）。

二．问题分析

该问题是一个非线性优化问题，对问题的处理不仅要满足电梯乘客的等待时间，而且需要考虑每组电梯的均衡性，另外对于电梯重新改造的解决，需要考虑电梯的规格以及使用安装成本，最终选择最优的方案。

针对问题一：

需要对电梯进行分组，并且对电梯不同的分组分配相应的楼层，目标是电梯分组的均衡性达到最优，并且电梯乘客的等待时间最短。

电梯的个数和电梯的规格在问题一中是给定的，因此我们需要考虑的是如何分组效果最好，如何安排电梯服务的楼层使得结果最优，通过这两方面的安排，最终得出最优化方案。

针对问题二：

由于电梯数是未知的，电梯的规格是不定的，电梯的分组未给出，我们需要做的是在问题一的基础上对问题二进行分析，综合这几个方面的因素，建立可优化的模型，求出最优化的电梯改造方案。

三．模型假设

1.假设电梯每次都是满载19人

2.假设电梯运行中不会出现故障

3.假设电梯在所服务的楼层上班时间运行时只往楼上运送人员，电梯下降时完全是空载

4.假设电梯在服务楼层每次上升无论是否能空载都要至服务楼层的最高层

5.假设电梯的开关门平均用时是3秒

6.假设每个乘客的一次出进楼梯平均总用时为1.3秒

7.假设对于电梯内的乘客在每层下楼的概率是相同的

8.假设楼内的人员在上班时间内均匀地进入乘梯口的

9.假设楼内人员都是做电梯的

四．符号约定

1.

表示电梯所分的组数

2.

表示电梯的最大承载人数

3.

乘梯人员的总人数

4.

表示楼层的总数

5.

分别表示每个乘客的进电梯和出电梯的平均用时

6.

为电梯运行时的加速度

7.

表示第一层楼层的高度

8．

电梯乘客的平均等待时间

9.

表示第i组电梯服务楼层数，

10.

表示第i组分配的电梯数

11.

表示第i组电梯的每个电梯运行一周所用的时间

12.

表示第二层开始每层楼的高度

13.

表示电梯开关门所用时间

14.

表示电梯的最大运行速度

15.

表示第i组电梯所服务的最低层（

）

16.S表示电梯向上运行时实际停靠的站数（S为随机变量）

五．模型的建立与求解

5.1.问题一的模型建立

5.1.1电梯运动方程的建立：

电梯的运行针对本题来讲，有两种情况需要考虑：

1.电梯的运行距离较短，没有加速到最大速度是就要减速。

2.电梯的运行距离较长，加速到最大速度是仍然以最大速运行一段后才减速至停。

下面是关于电梯在这两种情况下运行的速度--时间图示：

由运动学的知识我们知道，对于图示一中的情况，运动方程是：

可得

可得到在图示一的情况下运行时间

为

对于图示二中的情况，运动方程是：

可得到早图示二情况下的运行时间

为：

综合以上各式可得：

5.1.2对电梯问题的优化处理

因为时间的长短能反映出一个过程的效率，用乘客的平均等待时间的最大值作为两个衡量标准之一，用各个电梯的均衡性（安排两部电梯运行周期尽可能接近）作为另一个衡量标准。

5.2.1目标函数的建立

衡量标准Q是每层等待时间的最大值，即每部电梯运行周期的加权平均值。

首先我们需要求出电梯的运行周期

，在运用加权的方法来求出Q。

5.2.1.1电梯运行周期的确定

由于电梯始终上下往复运动，因此电梯的运行过程可用其运行一周的时间来表示，将电梯运行一周所用的时间称为电梯的运行周期。

电梯的运行周期应包含以下四个阶段：

（1）从底层直达服务层的第一站所用的时间

为：

（2）电梯服务的第一站到最后一站的运行时间

：

（3）电梯在运行时到达最高层后直接到达一楼所用的时间

：

（4）乘客上下电梯以及开关电梯门和其他损失的时间

在对问题的分析过程中，由于每个乘客在每层下楼的概率是相同的，为

对于电梯上的

个乘客，在第i层都不下的概率为：

所以至少有一个在第i层下楼的概率是

所以可得电梯实际停的站数的数学期望是

综合以上各式我们可以得到电梯的运行周期

为：

5.1.3对乘客的平均等待时间的最大值Q的确定:

衡量标准Q等于每台电梯运行周期的加权平均值，根据以上分析可得：

综上我们可确立优化的目标函数为：

其中：

5.1.4约束条件的建立

（1）楼层的约束：

（2）乘客最大等待时间的约束：

（3）效率的约束：

5.2问题一的解决

5.2.1数据分析

我们对问题一考虑了多种电梯分组情况，根据我们所得的模型我们分别求出了关于乘梯人员的最短等待时间以及各组电梯的服务楼层。

具体的数据及模型的求解如下表所示：

数据表格

（一）

电梯分为2组：

组

分组

电梯个数

服务楼层

速度

m/min

运行周期

时间间隔

运载能力

5min

第一种情况

1

2

2~4

304.8

52.8

26.4

5.2%

2

4

5~30

304.8

121.1

30.3

第二种情况

1

3

2~16

304.8

92.8

30.9

3.8%

2

3

17~30

304.8

113.3

37.8

第三种情况

1

4

2~29

304.8

120.4

30.1

3.8%

2

2

30

304.8

87.7

43.9

数据表格

（二）

电梯分为3组的数据：

组

分组

电梯个数（台）

服务楼层

速度

m/min

运行周期

时间间隔

运载能力

5min

第一种情况

1

1

2

304.8

44.0

44

10.1%

2

1

3

304.8

46.3

46.3

3

4

4~30

304.8

122.8

30.9

第二种情况

1

1

2

304.8

44.0

44

8.8%

2

2

3~6

304.8

66.7

33.4

3

3

7~30

304.8

120.0

40

第三种情况

1

1

2

304.8

44

44

8.0%

2

3

3~26

304.8

114.5

38.2

3

2

27~30

304.8

96.0

48

第四种情况

1

2

2~7

304.8

64.8

32.4

8.1%

2

1

8

304.8

54.6

54.6

3

3

9~30

304.8

120.0

40

第五种情况

1

2

2~11

304.8

78.8

39.4

6.2%

2

2

12~21

304.8

94.9

47.5

3

2

22~30

304.8

107.0

53.5

数据表格（三）

电梯分为4组：

分组

电梯台数数（台）

服务楼层

运行周期

时间间隔

运载能力

5min

第1种优化结果

1

1

2～3

48.5

48.5

11.3%

2

1

4～5

52.4

52.4

3

2

6～18

94.4

47.2

4

2

19～30

115.0

57.5

5.2.2最优方案选取

对以上分组结果的数据表格进行分析，得到各种分组下的最优化方案具体如下表所示：

方案编号

分组号

电梯台数

服务楼层

运行周期

时间间隔

运载能力

5min

A

1

2

2~4

52.8

26.4

5.2%

2

4

5～30

121.1

30.3

B

1

1

2

44.0

44.0

10.1%

2

1

3

46.3

46.3

3

4

4～30

122.8

30.9

C

1

2

2～11

78.8

39.4

6.2%

2

2

12～21

94.9

47.5

3

2

22～30

107.0

53.5

D

1

1

2～3

48.5

48.5

11.3%

2

1

4～5

52.4

52.4

3

2

6～18

94.4

47.2

4

2

19～30

115.0

57.5

数据结果分析：

如果仅仅只是对等待时间最短的方案进行考虑，那么可以考虑的是方案B和方案D，即把电梯分为三组，第一组1台电梯服务第2层，第二组1台电梯服务第3层，剩余4台电梯服务4～30层和把电梯分为四组，第1组1台服务2～3层，第2组1台服务4～5，第3组2台服务6～18层，第4组2台服务19～30层。

如果考虑到实际情况，电梯分组数目必须是偶数的话，那么可以考虑的是方案A和方案C，分别是分为2组，第一组2台电梯服务2～4层，第二组4台电梯，5～30层和均分为3组，服务于2～11层，12～21层，22～30层。

处于对实际的考虑，我们选择方案A和方案C。

5.3问题二模型的建立

由于对电梯的重新安排布置，不仅需要符合问题一中条件要求，而且还要考虑电梯的安装成本以及使用成本。

为此，在满足问题一的基础上，尽量使用较少的电梯，并且使用符合要求类型的电梯搭配，达到花费最小的目的。

因此我们需要考虑三方面的衡量标准：

（1）乘客的平均等待时间的最大值Q；

（2）每组电梯的均衡性；

（3）电梯安装和使用的总花费。

1．楼层分组的确定

根据问题一中的处理结果以及实际情况的考虑，我们对楼层的分组采用的是“近均分法”，具体的楼层分组情况如下：

电梯分为两组：

第1组电梯服务2～16层，第2组电梯服务于17～30层；

电梯分为三组：

第1组电梯服务2～11层，第2组电梯服务于12～21层，第3组电梯服务于22～30层；

电梯分为四组：

第1组电梯服务2～10层，第2组电梯服务于11～15层，第3组电梯服务于16～22层，第四组电梯服务于23～30层。

由于楼层较少，只有30层，若采用较多的分组方案，虽然可以增强运载能力，但分组过多很难做到各组之间电梯的均衡性，同时考虑电梯改造及运行的花费等多方面因素，可以认为电梯的分组在2～4组是比较符合实际的。

2.对于乘客平均等待时间的最大值Q的确定

由于问题二需要满足的平均等待时间与问题一中的要求是完全相同的，所以

得到目标函数Q为：

其中：

3.约束条件的建立

（1）楼层的约束：

（2）乘客最大等待时间的约束：

（3）效率的约束：

4.对各组电梯均衡性的考虑

为了是电梯乘客的等待时间最小，我们使每组电梯的间隔时间尽可能一致，因此对于服务于同一层次的电梯最大速度的选取是相同的，这样就可以保证每组电梯之间的均衡性较好。

因此在选择电梯安排的最优方案时，我们尽可能选在均衡性较好的方案。

5.对电梯运行速度的选择

根据问题一的结果分析及电梯的安装与运行费用综合考虑，对服务在楼层较高的电梯选择速度大一些的，而对那些服务楼层较低的电梯，选择速度较小一些的。

在不同规格的电梯都能够达到既定要求的情况下，我们选择电梯最大速度较小的及电梯使用数目较少的分组。

5.4问题二模型的求解

5.4.1分组数据及最优求解

由于各中分组的服务层数已经确定，因此在求解的过程中我们需要对各组电梯的速度进行选取，并且我们根据各组电梯之间的均衡性和电梯运行速度的要求，我们对各种分组的电梯的速度进行了部分枚举法，再通LINGO编程来找各中分组的最优方案。

其中对各种分组的电梯速度选择及最优结果如下：

1）电梯分为两组：

有效方案数据表格

分组

第1种方案

第2种方案

第3种方案

1

243.8m/min

304.8m/min

243.8m/min

2

304.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

对以上三种方案通过lingo分别编程求解（具体的程序及运行结果将在附录中具体给出）得到第1种方案为最优的。

下面是方案1的具体结果：

分组

服务楼层

电梯个数

最大速度

运行周期

时间间隔

5’效率

1

2～16

6

243.8m/min

92.8s

15.5s

12.9%

2

17～30

8

304.8m/min

114.0s

14.3s

2）电梯分为三组：

有效方案数据表格

分组

第1种方案

第2种方案

第3种方案

第4种方案

第5种方案

1

243.8m/min

243.8m/min

243.8m/min

304.8m/min

243.8m/min

2

243.8m/min

243.8m/min

304.8m/min

304.8m/min

243.8m/min

3

243.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

对以上5种方案通过lingo分别编程求解（具体的程序及运行结果将在附录中具体给出）得到第2种方案为最优的。

下面是方案2的具体结果：

分组号

服务层数

电梯台数

最大速度

运行周期

间隔时间

5分钟效率

1

2~11

3

243.8m/min

75.5s

28.5s

12.3%

2

12~21

4

243.8m/min

93.3s

23.3s

3

22~30

5

304.8m/min

108.7s

21.8s

3）电梯分为四组

方案/分组

1

2

3

4

方案1

243.8m/min

243.8m/min

304.8m/min

304.8m/min

方案2

243.8m/min

243.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

方案3

243.8m/min

304.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

方案4

304.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

方案5

243.8m/min

243.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

方案6

243.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

365.8m/min

方案7

304.8m/min

304.8m/min

304.8m/min

365.8m/min

方案8

243.8m/min

243.8m/min

243.8m/min

304.8m/min

对以上8种方案通过lingo分别编程求解（具体的程序及运行结果将在附录中具体给出）得到第3种方案为最优的。

下面是方案3的具体结果：

分组号

服务层数

电梯台数

最大速度

运行周期

间隔时间

5分钟效率

1

2~10

3

243.8m/min

76.3s

25.4s

12.9%

2

11~15

2

304.8m/min

76.2s

38.1s

3

16~22

3

304.8m/min

91.5s

30.5s

4

23~30

4

365.8m/min

109.2s

27.3s

5.4.2最优化方案的选取

通过以上的分析，我们得出了不同分组情况下的最优化方案，对各组不同情况下的方案，使用层次分析法进行加权选择，下面是具体的求解过程。

1.权值的确定

从三个方面对问题进行加权处理，分别为：

1）每组使用电梯的总数；2）电梯运行的时间间隔；3）每组电梯5分钟运行效率。

对于三方面因素权值的确定，通过对相关材料的查找，最终确定为：

电梯总数：

运行时间间隔：

效率=3:

1:

2，根据这个比例关系我们可以得到权矩阵

使用MATLAB得到矩阵A的最大特征值为：

由此我们知其一致性指标为

所以不需要查表我们就可断定通过一致性检验。

最大特征值所对应的特征向量是：

对特征向量

进行归一化处理后可得权向量：

2.决策值的确定

（1）电梯分为两组的最优方案的三个决策因素为：

电梯的总数：

；

乘客平均等待时间：

5min的运行效率：

（2）电梯分为三组的最优方案的三个决策因素为：

电梯的总数：

；

乘客平均等待时间：

5min的运行效率：

（3）电梯分为四组的最优方案的三个决策因素为：

电梯的总数：

；

乘客平均等待时间：

5min的运行效率：

由以上数据我们得到矩阵

由此我们可得：

因此我们最终确定的最优化方案为电梯分为4组中的方案3：

分组号

服务层数

电梯台数

最大速度

运行周期

间隔时间

5分钟效率

1

2~10

3

243.8m/min

76.3s

25.4s

12.9%

2

11~15

2

304.8m/min

76.2s

38.1s

3

16~22

3

304.8m/min

91.5s

30.5s

4

23~30

4

365.8m/min

109.2s

27.3s

六．模型的评价与改进

模型的优点：

本文中所建立了的模型与现实联系紧密，并且针对各方面不同的影响因素进行了综合考虑。

本文中的模型对高层建筑中的电梯等待问题进行分组优化，是一种十分实用的方法。

模型的缺点与改进：

本文中的模型求解使用了穷举法，运算量很大，并且相当麻烦，对于模型二中的最优化方案的选取，作了一些简化处理，使得结果的可靠性会与现实有一定冲突。

对于模型的改进，应该从动态规划来进行处理，综合各方面的变量因素，求取最优方案。

七．参考文献

【1】《运筹学》教材编写组.运筹学[M].北京：

清华大学出版社，2005

【2】姜启源、谢金星、叶俊.数学模型[M].北京：

高等教育出版社，2003

【3】陈东彦、李冬梅、王树忠.数学建模[M].北京：

科学出版社，2007

【4】曹卫华、郭正.最优化技术方法及MATLAB的实现[M].北京：

化学工业出版社，2005

【5】宗群，尚晓光，岳有军电梯群按系统虚拟仿真环境设计制造业自动化1999

八．附录

1.问题一的程序：

电梯分为两组的程序：

min@if@if@if@if@if@if@gin@ginLocaloptimalsolutionfoundatiteration:

38

Objec