高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18.docx
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高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18
高三数学导数的综合应用教案18
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 11．5导数的综合应用
一、明确复习目标
了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；
二．建构知识网络
．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；
2．利用导数解不等式问题：
（高考中的一类新题型）
（1）利用导数确定函数的单调性，
（2）利用单调性研究不等式。
三、双基题目练练手
．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A．0
B．1
c．2
D．3
2．函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是
（
）
A．3x+2y+－=0,
B．3x－2y+－=0
c．3x－2y－－=0,
D．3x+2y－－=0
3．若的大小关系
（
）
A．
B．
c．
D．与x的取值有关
4．（XX江西）对于上可导的任意函数f,若满足f′≥0,则必有（
）
A．f+f<2f
B．f+f≤2f
c．f+f≥2f
D．f+f>2f
5．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．
简答:
1－4．DBDc；
5．y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0．答案：
b>0
6．设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）．
当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．
因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．
四、经典例题做一做
【例1】证明：
当x>0时，有
证明：
设f=x-sinx,于是f=0．
∵f/=1-cosx处f/=0
∴当x>0时，f单调递增，从而有f>f
即x-sinx>0,x>sinx
为证不等式，设
g=sinx-x+,则g=0,
于是g/>0,∴g在x>0时递增，从而有g>g=0
即
故当x>0时有
提炼方法：
证不等式的依据I：
（1）
若函数f在x>a可导，且递增，则f>f;
（2）
若函数f在x>a可导，且递减，则f《f;
关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。
【例2】已知
求证：
函数f图像上的点不可能在函数g图像的上方。
证明：
设F=ex-1,
∵F/=ex-1,
当x<1时，F/（x）>0,当1<x<2时，F/<0．
∴x=1时，F有极大值，也就是最大值。
∴F≤F=1,又x<2,
∴
∴函数f图像上的点不可能在函数g图像的上方。
提炼方法：
证不等式的依据II：
若函数f在某一范围内有最小值m,则f≥m．
若函数f在某一范围内有最大值m，则f≤m．
【例3】的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈恒有f>1，求a的取值范围
解f的定义域为∪。
对f求导数得f'=ax2+2－a2e－ax
当a=2时,f'=2x22e－2x,f'在,和均大于0,所以f在,为增函数；
当0<a<2时,f'>0,f在,为增函数；
当a>2时,0<a－2a<1,令f'=0,解得x1=－
,x2=
当x变化时,f'和f的变化情况如下表：
x
f'
＋
－
＋
＋
f
↗
↘
↗
↗
f在,,为增函数,f在为减函数。
当0<a≤2时,由知:
对任意x∈恒有f>f=1
当a>2时,取x0=12
∈,则由知f<f=1
当a≤0时,对任意x∈,恒有1+x1－x>1且e－ax≥1,得
f=1+x1－xe－ax≥1+x1－x>1
综上当且仅当a∈恒有f>1。
特别提示：
对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。
【例4】
在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点P在c上，c在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量
求：
（Ⅰ）点m的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值。
解:
椭圆方程可写为:
y2a2+x2b2=1
式中a>b>0,且
a2－b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线c的方程为:
x2+y24=1
y=21－x2y'=－2x1－x2
设P,因P在c上,有0<x0<1,y0=21－x02,y'|x=x0=－4x0y0,得切线AB的方程为:
y=－4x0y0+y0
设A和B,由切线方程得x=1x0,y=4y0
由om→=oA→+oB→得m的坐标为,由x0,y0满足c的方程,得点m的轨迹方程为:
x2+4y2=1
|om→|2=x2+y2,
y2=41－1x2=4+4x2－1,
∴|om→|2=x2－1+4x2－1+5≥4+5=9
且当x2－1=4x2－1,即x=3>1时,上式取等号
故|om→|的最小值为3
【研讨欣赏】设x=3是函数f=e3-x的一个极值点．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f的单调区间；
（2）设>0，=（）．若存在使得||<1成立，求的取值范围．
解：
（1）
由f′=0得
所以
令f′=0得
由于x=3是f的极值点，故x1≠x2，即a≠-4
当时，，故f在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数
当a>4时，x1>x2，故f在上为减函数．
（2）当a>0时，－a－1<0，故f在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，在[3,+∞）上为减函数
因此f在[0,4]上的值域为
而在[0,4]上为增函数，所以值域为
注意到，
故由假设知解得
故的取值范围是
考查知识：
函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
五．提炼总结以为师
．利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；
2．利用导数证明不等式有两种方法：
3．导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。
同步练习
1．5导数的综合应用
【选择题】
某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=0．8s时的瞬时速度为
A．4
B．－4
c－4．8
D－0．8
2．已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有
A．3个
B．2个
c．1个
D．0个
3．若f是在（－L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，则
（
）
（A）必定是（－L，L）内的偶函数
（B）必定是（－L，L）内的奇函数
（c）必定是（－L，L）内的非奇非偶函数
（D）可能是（－L，L）内的奇函数，可能是偶函
4．已知的值是
（
）
A．
B．0
c．8
D．不存在
【填空题】
5．曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为
6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________
简答．提示：
1－4．DDBc;
2．（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，
∴f（x）在［1，2］上单调递增．∴f（x）≥f
（1）=7．
∴f（x）=0在［1，2］上无根．答案：
D
3．由f=f，求导得．
4．，
5．
;
6．设底面边长为x，则高为h=，
∴S表=3×x+2×x2=+x2
∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：
【解答题】
7．
已知x∈R,求证：
ex≥x+1．
证明:
设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．
∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈R都有f（x）≥0．∴ex≥x+1．
8．（XX江西）已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值及函数f的单调区间;
（2）若对x∈[-1,2],不等式f<c2恒成立,求c的取值范围．
解:
f/=3x2－x－2=,函数f的单调区间如下表：
f/
f
极大值
极小值
所以函数f的递增区间为与;
递减区间为．
9．（XX重庆）已知函数f=ex，其中b,c∈R为常数。
（Ⅰ）若b2>4，讨论函数f的单调性；
（Ⅱ）若，且，试证：
。
解（I）求导得f/=[x2+x+b+e]ex
∵b2>4故方程f/=0即x2+x+b+e=0有两个实根
令f/>0,解得x<x1,或x>x2．
又令f/<0,解得x1<x<x2．
故当x∈时，f是增函数，x∈时，f也是函数，当x∈时，f是减函数。
（II）易知
∴
∴由已知条件得
解得
0．已知函数f=x+x，数列｜x｜的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：
曲线x=f在处的切线与经过（0，0）和（x,f）两点的直线平行（如图）．
求证：
当n时，
x
（Ⅱ）
证明：
（I）因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以．
（II）因为函数当时单调递增，
而
，
所以，即
因此
又因为令则
因为所以
因此故
【探索题】已知函数f=f的导函数是
对任意两个不相等的正数，证明：
当时，
证法一：
由，得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设，则
令得，列表如下：
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：
由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设，
则，列表：
极小值
∴
即
∴
即对任意两个不相等的正数，恒有
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