第三单元 分数除法.docx
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第三单元分数除法
第三单元分数除法
单元目标：
1、理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。
2、会解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。
3、理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。
能够正确地化简比和求比值。
4、能运用比的知识解决有关的实际问题。
单元教学重点：
一个数除以分数的意义以及计算方法，并会分数除法解决相关的问题。
单元教学难点：
一个数除以分数的计算法则的推导。
第一课时分数除法的意义和分数除以整数
教学目标：
知识目标：
通过实例，使学生知道分数除法的意义与整数除法的意义是相同的，并使学生掌握分数除以整数的计算法则。
能力目标：
动手操作，通过直观认识使学生理解整数除以分数，引导学生正确地总结出计算法则，能运用法则正确地进行计算。
情感目标：
培养学生观察、比较、分析的能力和语言表达能力，提高计算能力。
教学重点：
使学生理解算理，正确总结、应用计算法则。
教学难点：
使学生理解整数除以分数的算理。
教学过程：
一、复习
1、复习整数除法的意义
（1）根据已知的乘法算式：
5×6＝30，写出相关的两个除法算式。
（30÷5＝6，30÷6＝5）
（2）引导学生回忆整数除法的计算法则：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、口答下面各数的倒数。
3
9
10
26
二、新授
1、教学例1
（1）出示插图及乘法应用题，学生列式计算：
100×3＝300（克）
（2）学生把这道乘法应用题改编成两道除法应用题，并解答。
A、3盒水果糖重300克，每盒有多重？
300÷3＝100（克）
B、300克水果糖，每盒100克，可以装几盒？
300÷100＝3（盒）
（3）将100克化成1/10千克，300克化成3/10千克，得出一道分数乘法算式。
1/10×3＝3/10（千克）。
问：
你们能把后两道整算式换成分数算式吗？
板书：
3/10÷3＝1/10（千克） 3/10÷1/10＝3（盒）
（4）引导学生通过整数题组和分数题组的对照，问：
分数除法的意义与整数除法的意义相同吗？
小组讨论
板书：
分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个一个因数。
2、巩固分数除法意义的练习：
P28“做一做”
3、教学例2
把4/5平均分成2份，怎样列式？
猜一猜4/5÷2等于多少？
（1）学生拿出课前准备好的纸，小组讨论操作，如何把这张纸的4/5平均分成2份，并通过操作得出每份是这张纸的几分之几。
（2）小组汇报操作过程，得出：
将一张纸的4/5平均分成2份，每份是这张纸的2/5。
（3）引导学生数形结合，对照不同的折法，说出两种不同的计算方法。
A、4/5÷2＝（4÷2）/5＝2/5。
4个1/5平均分成2份，每份就是2个1/5，就是2/5。
B、4/5÷2＝4/5×1/2＝2/5。
4/5平均分成2份，也就是求4/5的1/2是多少。
（4）如果把这张纸的平均分成3份呢？
让学生从上面两种方法中选择一种进行计算，通过操作对比，让学生发现第二种方法适用的范围更广。
问：
分数除以整数用哪一种方法计算好呢？
为什么？
4、引导学生观察4/5÷2和4/5÷3两个算式，概括出分数除以整数的计算法则：
分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数。
在整数除法的学习中，我们知道0是不能为除数的，所以在分数除以整数的计算法则中应补充“0除外”。
三、练习
完成做一做第1、2小题
8/15÷4 9/10÷3 5/7÷2
7/12÷7 5/21÷10 6/35÷6
四、总结
1、今天我们学习了哪些内容？
（分数除法的意义及分数除以整数的计算法则）
2、谁来把这两部分内容说一说？
第一课时教学反思
经过近一个月的生本对话，学生课前进行生本对话的情况已大有好转（一般只有4人以内的学生未能按要求完成此项作业）。
乘着周五校园开放日活动的契机，以《分数除法》的实验第二阶段的起点，我开始尝试引导学生质疑。
[失败案例]
师：
通过阅读教材例1，你看懂了什么？
还能提出哪些有价值的数学问题？
生1：
我看懂了左边的三道算式是怎样变成右边的。
师：
XXX同学看明白了这部分内容，还有哪些同学也看明白了？
谁愿意起来说一说？
生2：
比如第一道左边的算式是“100×3=300（克）”，因为千克与克之间的进率是1000，所以把100克化成千克时就把100除以进率1000，等于0.1，再把0.1化成分数就是1/10。
300化成3/10也是同样的方法。
师：
看来许多同学通过进率之间的转化，看懂了左边的算式如何推导出右边的算式。
谁还有话要说？
生3：
我会计算3/10÷1/10。
我是用3除以1作分子，用10除以10作分母，所以结果为3。
生4：
老师，她的这种计算方法不对。
我们外面培优的老师教3/10÷1/10应该是用3/10乘1/10的倒数。
师：
分数除以分数的计算方法是下一节课的内容，我们将这个问题记下来，留在下一节课讨论。
再看看例1，大家还能提出什么有价值的数学问题？
学生无语
【案例反思】
1、教材编排中，例题目的不明显。
人教版老教材在例1后有一段话“分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”。
通过这段话，学生可以明显感受到例1的学习目的是了解分数除法的意义。
可是在新课标教材中没有了这句话。
学生阅读教材不明所以。
2、学生原有认识水平居然完全不知晓整数除法的意义。
有感于分数乘法意义不成功的教学经历，这次在备课时对分数除法的意义下了一番苦心。
先用一道学生熟悉的乘法算式“5×6=30“，要求学生写出两道不同的除法算式，引导学生回忆除法的意义。
不想一个学生回答“是把30平均分成5份，求一份是多少”，而一位学生则回答“是求30里面包含有几个5”。
怎么就是答不到点子上去。
只好由我将第一道乘法算式各部分名称标明后，引导学生观察两道除法算式与乘法算式之间的联系，再次由我和盘托出整数除法的意义。
部分学生不会回答可能是知识遗忘，而全班同学无一能够回答，我想应该是教材中没学到吧？
有教过新课标教材一至六年级的老师吗？
他们学过除法的意义吗？
二年级的除法是以平均分来教学的吧？
[成功案例]
师：
咱们再来看29页的例2，你通过阅读学会了什么？
能提出哪些有价值的问题呢？
生1：
我学会了分数除以整数的法则。
师：
很好，学习例2的目的就是要引导大家能够自己归纳出分数除以整数的法则。
等会儿请你来归纳一下，好吗？
生2：
我想问书上第二道算式4/5÷2，为什么会等于4/5×1/2呢？
师：
问得好，为什么除法会变成乘法？
1/2又是哪来的呢？
谁会回答？
生3：
因为4/5除以2表示要把4/5平均分成2份，求其中一份是多少。
而4/5乘以1/2也表示把4/5看成单位“1”，求它2份中的1份是多少，所以中间可以写等号。
生4：
其实，XXX的回答就是书上黄色方框中的一段话。
师：
是吗？
让我们一起来看一看。
生5：
老师，用这种方法计算时，应该先把分子的4和分母的2约分，直接就可以求出结果2/5了。
教材为什么先写4/10，后才写2/5呢？
师：
先约分，再计算更简便，好！
敢于质疑教材，更好！
你的这种算法确实比教材简便，值得大家学习。
生6：
我想问第一种解法，4/5÷2为什么只用把分子4÷2，而分母不除以2呢？
师：
对呀！
为什么只把分子除以整数，而分母不变呢？
生7：
因为4/5表示把单位“1”平均分成5份，取其中的4份。
现在要把取的份数再平均分成2份，所以就把4除以2，只能取到单位“1”的2/5了。
师：
这次，她的回答是否也和书上一样呢？
让我们一起再来看看书上的黄色方框。
生8：
我想问书上4/5÷3为什么计算过程中，书上都标明了中间的乘号？
第一种方法为什么就不行？
师：
是呀！
刚才一道题有两种解法，为什么这题教材中事先就把乘号写上了呢？
难道第一种方法不行吗？
生9：
第一种方法不行。
因为4除以3除不尽，是1.333333……。
生10：
第一种方法不行。
因为4除以3等于4/3，结果是个繁分数。
师：
了解得真多，还知道繁分数。
生11：
当分子是整数倍数的时候，就有两种方法解答。
当分子不是整数倍数的时候，就乘以这个数的倒数。
（同学们自发鼓掌）
师：
概括得真精彩！
谁能小结一下分数除以整数的计算法则？
（略）
【案例反思】
学生的发言由先前的拘谨，到后面的活跃，大家的思维在相互碰撞中不断提升。
我想这就是质疑的魅力，是教师让权后的惊喜，是生本对话教学应有的效果。
刚开始，学生不敢也不会质疑，我就请学习能力强的同学作示范。
廖芷琦同学今天为大家开了一个好头。
她提的问题“4/5÷2，为什么会等于4/5×1/2”，其实自己会回答。
但这确实是一个值得大家思考的好问题，所以即使自己会，只要有价值的问题都可以提。
因为它能促使更多的同学来思考法则背后的算理，它能够使同学们更好地来阅读教材，它能使同学们知其然更知其所以然。
有了她的示范引领作用，更多的同学将关注的目光投向算理，使本课计算部分的教学有了深度。
第二课时一个数除以分数
教学目标：
知识目标：
在学生学习了分数除以整数、整数除以分数、一个数除以分数计算法则基础上，引导学生总结出分数除法的计算法则，能利用计算法则，正确、迅速地进行分数除法的计算。
能力目标：
培养学生的语言表达能力和抽象概括能力。
情感目标：
培养学生良好的计算习惯。
教学重点：
总结出一个数除以分数的计算法则，并抽象概括出分数除法的计算法则。
教学难点：
理解一个数除法分数计算法则的推导以及分数除法中除转乘的过程。
教学过程：
一、复习
1直接写出得数。
6/11÷2
9/13÷3
4/9÷8
1/6÷2
2/5÷3
1/7÷7
3/5÷6
2填空
2/3小时有（）个1/3小时，1小时有（）个1/3小时。
5/12小时有（）个1/12小时，1小时有（）个1/12小时。
3、列式，说清数量关系
小明2小时走了6km，平均每小时走多少千米？
（速度＝路程÷时间）
二、新授
1、默读例3，理解题意，列出算式：
2÷2/3 5/6÷5/12
2、探索整数除以分数的计算方法
（1）2÷2/3如何计算？
引导学生结合线段图进行理解。
（2）先画一条线段表示1小时走的路程，怎么样表示2/3小时走了2km这个条件？
（将线段平均分成3份，其中2份表示的就是2/3小时走的路程）
（3）引导学生讨论交流：
已知2/3小时走了2km，要求1小时走了多少千米？
可以先算什么，再算什么？
（4）根据学生的回答把线段图补充完整，并板书出过程。
先求1/3小时走了多少千米，也就是求2的1/2，算式：
2×1/2
问：
2×1/2是图上哪一段？
表示什么？
再求3个1/3小时走了多少千米，算式：
2×1/2×3
问：
再乘3，得到图上哪一段？
表示什么？
（1）综合整个计算过程：
2÷2/3＝2×1/2×3＝2×3/2
2、小结出计算法则：
从上面这个推算过程，我们发现——整数除以，分数等于用整数乘这个分数的倒数。
3、计算5/6÷5/12，探索分数除以分数的计算方法
（1）学生根据整数除以分数的计算方法，自己独立尝试分数除以分数的计算。
5/6÷5/12＝5/6×12/5＝2（km）
问：
为什么写成×12/5？
你能推导一下吗？
（先求1/12小时走了多少千米，也就是求5/6的1/5，算式是5/6×1/5，再求12个1/12小时走了多少千米，算式是5/6×1/5×12=5/6×12/5。
）
（2）学生用自己的方法来验证结果是否正确。
4、总结计算法则：
无论是整数除以分数，还是分数除以分数，都可以转化成乘法来计算，也就是说除以一个不等于0的数，等于乘上这个数的倒数。
三、练习
1、P31“做一做”的第1、2题。
2、判断改错。
24÷8/9=1/24×8/9
24÷8/9=24÷9/8
24÷8/9=24×8/9
3、练习八第2、4题。
第二课时教学反思:
今天一天清早，校门还未打开，班内学生就出了些事故（两名学生在校门口疯跑打闹，其中一人被轿车撞伤）。
为防患于未然，课前不得不花费近十分钟的时间对学生进行安全教育并再次明确早晨到校时间。
十分钟对于一节课而言是极为宝贵的。
因为少了这十分钟，今天的教学就少了巩固练习这个环节，也就少了教师发现问题，反馈调整的过程。
第一个十分钟为今天教学的失败打下了伏笔。
当言归正传，检查学生生本对话情况时，居然发现共有十位同学没有完成该项任务，这种“盛况”可是近一段时间所未有的。
考虑到没有预习的学生近1/5，所以在教学时为兼顾到他们，不得不放慢进度，使生本对话中本可节省的时间又再次被挤占，巩固练习无法落实。
第二个十分钟使失败成为必然。
本课教学成功之处
1、合理安排复习内容，为新知扫清障碍。
以往用除法解决问题时，多是较大数除以较小数，然而学习了分数后则不然。
所以在课前引导学生回忆“路程÷时间=速度”的数量关系式，对于帮助学生正确分析数量关系，列式解答起到辅助作用。
2、数形结合，突破教学难点。
反思第一课时的算理教学，虽然学生的质疑及回答精彩不断，但在充分发挥教材示意图的作用上则凸显不够。
因此今天教学特别注重数形结合，力争通过线段图帮助学生突破教学难点。
今天课堂中的学生质疑仍旧精彩，“为什么2÷2/3会等于2×1/2×3呢”，问到了算理的关键处。
我通过引导学生分析2/3小时的含义正确画出了线段图。
借助形象直观的线段图，学生顺利理解了为什么要先将2乘1/2，2乘1/2求的是什么，为什么最后又要乘3等一系列问题。
分数除法转化为乘法的算理在一次次转化中逐渐明朗起来。
当有学生再次质疑“为什么5/6÷5/12=5/6×12/5”时，我仍旧在黑板上画出了线段图，许多学生都能举一反三，准确描述转化过程，比以往我教过的任何一届学生表达都要准确、完整。
所以此处算理的教学采用数形结合的方法很重要。
当然，课前复习中的相关填空也必不可少。
失败之处：
不该放到课堂中的讨论。
分数除法用分子除以分子作分子，分母除以分母作分母，可行吗？
上一堂课中就有学生提出“用分子除以分子作分子，分母除以分母作分母”，我答应过放到这节课讨论。
这种方法对吗？
有人说可行，也有人说除不尽，不行。
最后，我引导学生对部分题目进行验证，得出结论：
可行。
只是有些习题相除不能得到整数结果而出现繁分数时大家不会解答，所以这种结论是正确，但在练习中不具有广泛的应用性。
这一讨论使部分同学仿佛又找到一种解题的捷径。
你瞧，作业中出现“10÷5/6”时，他们将分子10÷5=2，结果就写成2/6。
他们就没想到分母1÷6=1/6，2/（1/6）=12。
看来，知识的拓展必须放到学生牢固掌握课本知识后，否则会在部分学生身上出现负迁移。
第三课时分数除法的练习
练习内容：
分数除法计算（课本第33页第6~9题）
练习目标：
1、使学生熟练掌握分数除法的计算方法，能正确的进行计算，并能解决有关的简单问题。
2、能根据除数的特征，判断除法算式中商与被除数的大小关系。
教学过程：
一、基础练习
1、填一填，说一说。
（）/（）÷（）/（）=（）/（）
5/8×1/3=5/24
（）/（）÷（）/（）=（）/（）
过程要求：
（1）根据题意填写算式；
（2）说一说分数除法与乘法的关系。
2、填空。
3/5÷3=（）×（）3÷3/5=（）×（）1÷4/7=（）×（）
6÷2/3=（）×（）3/7÷3/8=（）×（）
3、判断并改错。
3/4÷2=3/4×2=3/2
12÷3/5=1/12×3/5=3/60
4/9÷4/5=9/4×5/4=45/16
4、计算。
2/7÷2/3
1/3÷5/4
5/8÷4
20÷2/3
过程要求：
（1）学生独立计算；
（2）说一说是怎么算的；（3）用一句话归纳分数除法计算法则。
二、专项练习
完成课文练习八第6题。
1、不用计算，判断各式的商与被除数的大小关系。
2、与同伴交流思维过程和结果。
3、汇报交流情况。
学生有可能将除法算式转化为乘法算式，然后根据算式的含义进行判断。
如：
6/7÷3=6/7×1/3
6/7的1/3，表示把6/7平均分成3份，只取其中1份，结果一定小于6/7。
教师按照学生汇报的结果，进行归类。
商大于被除数的：
商小于被除数的：
4、引导发现规律。
比较两边的算式，有什么发现？
学生通过观察、思考，并和同伴交流后，得出自己的发现规律。
对于大于0的数来说：
除以小于1（0除外）的数时，商大于被除数；除以大于1的数时，商小于被除数。
补充练习：
2/5÷2/5（）2/5
2/5÷1（）2/5
三、巩固练习
完成练习八第7~9题。
1、第7题
学生根据题意列出算式，并计算。
2、第8题
认真审题，说一说题中的数量关系，列式计算。
3、第9题
认真审题，说一说题中的数量关系，并和第8题比较。
“半秒”怎么表示？
“1分钟”怎么表示？
第三课时教学反思
1、防微杜渐。
针对作业中的错误，今天补充了判断改错，这一题型对巩固计算方法，提高正确率有明显改善。
2、精减结语。
建议总结法则时，将教材31页的结语改为“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
”因为这段话更简洁明了，且更容易帮助学困生掌握计算方法。
3、融会贯通。
将判断除法算式中商与被除数大小的关系与判断乘法算式中一个因数与积的大小关系建立起联系，使学生在理解的基础上掌握方法，而非死记硬背结论。
在教学练习八第6题之前，我补充了两道乘法计算题：
2/7×2/3（）2/7；3/13×6/5（）3/13，请学生不计算，判断大小，并说明理由。
孩子们借助乘法的意义不仅很快解决了问题，而且还找到了快速解题的窍门——先找出与积相同的一个因数，然后再看另一个因数，如果这个因数比1大，那么积比原数大；如果这个因数比1小，那么积比原数小。
在此基础上，我顺水推舟道“如果分数除法算式要比较大小，你们能够利用转化的思想，不计算，快速判断吗？
”孩子们将除法算式转化成乘法算式后，果然又对又快地解答了问题，而且还用自己的语言归纳出了结论。
通过这一部分的教学，我相信学生们一定体会到了知识是环环相扣的，学会应用转化的思想能够帮助我们巧妙快速地解决许多数学问题。
第四课时分数混合运算
教学目标：
知识目标：
通过观察、分析、使学生掌握分数四则混合运算的运算顺序，能应用计算法则较熟练地进行计算。
能力目标：
通过练习，培养学生的计算能力及初步的逻辑思维能力。
通过观察、类推，使学生进一步理解整数四则混合运算的运算定律在分数四则运算中同样适用，并能应用运算定律及有关性质进行简便运算。
情感目标：
通过练习，培养学生观察、类推的思维能力和灵活计算的能力。
教学重点：
掌握分数混合运算的运算顺序,正确地计算分数混合运算。
教学难点：
正确地计算分数混合运算。
教学过程：
一、复习整数混合运算的运算顺序。
100÷10×4
75+20÷5
（9+11）×6
80÷[60—（20+20）]
师：
上面的每道题含有哪些计算？
应该先算什么？
小结：
（1）在一个没有小括号的算式里，只有乘除法或加减法，应该从左往右依次计算；如果既有加减法又有乘除法，应该先算乘除法，后算加减法。
（2）在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。
（3）在一个既有小括号又有中括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算中括号里面的，最后算中括号外面的。
二、新授
导入：
刚才复习了整数混合运算的运算顺序，这节课我们将学习分数混合运算。
[板书课题]
1、教学例4
（1）学生读题，明确已知条件及问题，尝试说说自己的解题思路。
（2）根据学生的回答，归纳出两种思路：
A、可以从条件出发思考，根据彩带长8m
，每朵花用2/3m彩带，可以先算出一共做了多少朵花。
B、从问题入手想：
要求小红还剩几多花，根据题意，应先求小红一共做了几朵花。
（3）学生独立列出综合算式后，让他们说说运算顺序，再进行计算。
（4）尝试练习：
计算1/5÷（2/3+1/5）×15
问：
如果想改变运算顺序，先算（2/3+1/5）×15，该怎样改变这道题？
教师加中括号后，请学生独立计算。
小结：
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
2、补充例题
7/9÷1/3÷14/9
学生试算，教师巡视，选择有代表性的算法让学生板演。
解法一：
7/9÷1/3÷14/9=7/9×3÷14/9=7/3÷14/9=7/3×9/14=3/2
解法二：
7/9÷1/3÷14/9=7/9×3×9/14=3/2
引导学生通过比较，发现可以将分数连除转化成分数连乘，然后统一约分后再计算比按顺序依次计算简便。
三、巩固练习
1、P34“做一做”
（1）学生读题理解题意，指名说说解题思路，再让学生独立列式计算。
（2）学生独立完成第一题，然后全班校对。
讨论：
在分数混合运算中，应该注意什么问题？
小结：
（1）要把必要的步骤写出来，对于在计算中可以约分的先进行约分。
（2）对于分数的加减法计算，要注意通分。
（3）计算中要小心仔细，认真计算，养成良好的解题习惯。
2、判断并改错。
45+5÷1/5=50÷1/5=250
（15+27）÷6/7=42×6/7=36
3/4÷20÷1/8=3/4×20/1×8/1=120
10÷1/12×4/15=10×12×15/4=450
四、练习
1、练习九第1题（其中分数、小数混合运算放在下一课时完成）。
2、练习九第2-4题
（1）第2题：
可以先求每层有多高，再求楼的楼板到地面的高度，但要注意引导学生意识到6楼楼板到地面的高度实际上只有5层楼的高度。
（2）第3题可引导学生形成两种思路：
A、先求每小时录入了这篇论文的几分之几，再求8小时可录入这篇论文的几分之几；B、先求8小时是3小时的几倍，再求8小时录入几分之几。
（3）第4题同样有两种方法：
A、可以先求一共能装多少袋，列式：
240÷1/4×3/4；B、可以先求装完的3/4有多少千克，综合算式是240×3/4÷1/4。
第四课时教学反思
1、解读教材变化。
咦？
学生与我使用的都是新课标教材，怎么今天教学中的例题与练习内容却不相同呢？
对照印刷版本才发现，原来暑期为提早备课，我手头上使用的是2008版，而学生的教材却是2009年最新版本。
两个不同版本的教材在例题与练习编排上有哪些不同之处呢？
为什么教材会做出如下改动呢？
（1）增。
例题中增加了带小括号、中括号的计算题教学。
【改动分析：
原有例题是通过解决彩带做纸花的问题，引出分数除法的混合运算，使学生认识到已经掌握的混合运算顺序，同样适用于分数运算。
但由于此题计算仅两步，且不带括号，不涉及分数加减法，计算太过简单，对于分数混合运算的计算重难点凸显不够。
所以调整后的教材补充了纯计算内容的例题，体现了本课以计算为重点，强化了异分母分数加减法要先通分，而分数乘法则要约分的不同点；同时小结了带小括号、中括号的计算题的运算顺序。
】
（2）改
做一做调整了计算题与解决问题的顺序。
2009版改为先解决问题，再进行计算练习。
解决问题改变了呈现与表述方式。
原来是一道图文结合的应用题，“我每天跑6圈，已经跑了半圈了，大约用了2分钟。
照这个速度，老爷爷每天跑步要用多少时间？
”现在改为一道纯文字的应用题，为“陈爷爷每天绕操场跑6圈，2分钟可以跑半圈。
照这个速度，陈爷爷每天跑步要用多少时间？
”
【改动分析：
本着“人人学习有用的数学”这一理念，教材将解决问题放在做一做第1小题，正好与例题的安排相一
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