人教版八年级数学下册期末复习平行四边形.docx

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人教版八年级数学下册期末复习平行四边形

八年级数学期末复习

平行四边形

知识结构图

本章知识在本册考试中所占比重较大，是重点，也是难点，常考查运用平行四边形或特殊平行四边形的性质与判定来证明线段或角之间的关系．本章涉及的特殊题型有：

折叠问题、多结论判断题、四边形中的动点问题等，也经常考查四边形中的全等模型，复习时应予以重视．

重难点突破

重难点1　平行四边形的性质与判定

【例1】　如图，已知▱ABCD，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长与DC的延长线交于点F，连接BF.求证：

四边形ABFC是平行四边形．

【思路点拨】　由▱ABCD，OE是△ABC的中位线，易得E是边BC中点，从而证△ABE≌△FCE，得AB＝CF.进而证得四边形ABFC是平行四边形．

【解答】

要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法．

1．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.

（1）求证：

四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．

重难点2　特殊平行四边形的性质与判定

【例2】　如图，已知△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，且点B，D，C，E在同一条直线上，连接AD，CF.

（1）求证：

四边形ADFC是平行四边形；

（2）若BD＝3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设△ABC运动时间为ts.

①当t为何值时，▱ADFC是菱形？

请说明理由；

②▱ADFC有可能是矩形吗？

若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

【思路点拨】　

（1）由△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，得AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°，从而得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形；

（2）①若▱ADFC是菱形，则B点与D点重合，从而得出△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间；②若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF＝90°，从而可推断E与B重合，得△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间及此时矩形的面积．

【解答】

动态问题与静态问题的区别在于，利用物理中s＝vt，将线段的长度用速度和时间表示出来．其他的证明与静态问题相同．

2．（教材P63“实验与探究”的变式）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N.

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是____________；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则

（1）中的结论是否仍然成立？

请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论（不必说理）．

图1　　　　　　　　　图2

图3　　　　　　　　　　图4

备考集训

一、选择题（每小题4分，共32分）

1．边长为3cm的菱形的周长是（）

A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm

2．在▱ABCD中，已知AB＝（x＋1）cm，BC＝（x－2）cm，CD＝4cm，则▱ABCD的周长为（）

A．5cmB．10cmC．14cmD．28cm

3．（2017·钦州期末）下列命题中，真命题是（）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

4．（2016·南充）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）

A．1B．2C.

D．1＋

5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）

A．4B.

C.

D．5

6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）

A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定

7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（）

A.

B．2C.

D．2

8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上．若AB＝3，BC＝5，则CF的取值范围为（　　）

A．CF≥

B．CF≤3C.

≤CF≤3

二、填空题（每小题3分，共18分）

9．（2016·河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为____________．

10．（2017·钦州期末）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8，AB＝6，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程扫过的面积是____________．

11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________________．（写出一个即可）

12．（2016·昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是____________．

13．（2016·钦州）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________．

14．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是____________．

三、解答题（共50分）

15．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE＝DF，求证：

BF＝CE.

16．（10分）（2016·长沙）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.

（1）求证：

AB＝BC；

（2）若AB＝2，AC＝2

，求▱ABCD的面积．

17．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF.

（1）求证：

四边形BFDE是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．

18．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

（1）求证：

CE＝CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？

为什么？

19．（12分）已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：

AB＝CG＋CE.

（1）当点E在线段BC的延长线上时（如图2），猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；

（2）当点E在线段CB的延长线上时（如图3），直接写出AB，CG，CE之间的关系．

平行四边形

【例1】　证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∵OE是△ABC的中位线，∴E是BC的中点．∴BE＝CE.∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠FCE.在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE（ASA）．∴AB＝CF.又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．

【例2】　

（1）证明：

∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，∴AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°.∴AC∥DF.∴四边形ADFC是平行四边形．

（2）①如图1，当t＝3s时，▱ADFC是菱形．理由：

∵t＝3，∴点B与点D重合，点C与点E重合．又∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，∴AD＝DF＝FE＝EA.∴▱ADFC是菱形．

图1　　　　　　　　　　图2

②如图2，∵▱ADFC是矩形，∴∠DAC＝90°.又∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝30°.∴DC＝2AC＝20cm，AD＝10

cm.∴t＝（20－7）÷1＝13（s），S矩形ADFC＝AD·AC＝10

×10＝100

（cm）2.

变式训练

1．

（1）证明：

∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝DC.∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，即∠BAD＝∠BCD.∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF.∴AB∥FD.∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD.∴四边形ABDF是平行四边形．

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，AF＝BD.∵AF＝DF＝5，∴AB＝BD＝5.设BE＝x，则DE＝5－x，由题设得AC⊥BD，∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－（5－x）2.解得x＝

.∴AE＝

＝

.∴AC＝2AE＝

.

2．

（1）OM＝ON　

（2）OM＝ON仍然成立．理由：

过O作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，则∠OEM＝∠OFN＝90°.∵O是正方形ABCD的中心，∴OE＝OF.∵∠EOF＝90°，∴∠EON＋∠NOF＝90°.∵∠MOE＋∠EON＝90°，∴∠MOE＝∠NOF.∴△OEM≌△OFN（ASA）．∴OM＝ON.（3）过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，则∠OGM＝∠OHN＝90°.∵∠C＝90°，∴∠GON＋∠NOH＝90°.∵∠MOG＋∠GON＝90°，∴∠MOG＝∠NOH.∵OM＝ON，∴△OGM≌△OHN（AAS）．∴OG＝OH.∴点O在∠BCD的平分线上．∴点O在正方形内（含边界）移动过程中所形成的图形是对角线AC.（4）所成图形为直线AC.

备考集训

1．C　2.B　3.D　4.A　5.C　6.B　7.A　8.D　9.110°　10.48　11.答案不唯一，如：

AB＝AD或AB＝BC或AC⊥BD等　12.24　13.6　14.15°或75°

15．证明：

∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝DF，∴AD－AE＝AD－DF，即DE＝AF.在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴BF＝CE.

16．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.

（2）连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OA＝OC＝

AC＝

，OB＝OD＝

BD.∴OB＝

＝

＝1.∴BD＝2OB＝2.∴S菱形ABCD＝

AC·BD＝

×2

×2＝2

.

17．

（1）证明：

∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB.∴∠ABD＝∠EDB.∴EB＝ED.∴四边形BFDE是菱形．

（2）∵DE∥BC，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°.设BF＝x，则DE＝BE＝x.∴AE＝8－x.在Rt△ADE中，AE2＝DE2＋AD2，即（8－x）2＝x2＋42.解得x＝3.∴BF＝3.

18．

（1）证明：

∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF，又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF.

（2）GE＝BE＋GD成立．理由：

由

（1）得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.

19．

（1）AB＝CG－CE.证明：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC.∵AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ACD＝∠EAG＝60°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAG.在△ABE和△ACG中，

∴△ABE≌△ACG（ASA）．∴BE＝CG.∵BC＝CD，∴CE＝DG.∵AB＝CD＝CG－DG，∴AB＝CG－CE.

（2）AB＝CE－CG.