中国剩余定理及弃九法B级.docx
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中国剩余定理及弃九法B级
一、中国剩余定理——中国古代趣题
1)趣题一
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:
“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
”答曰:
“二十三。
”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题:
假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:
因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2)趣题二
我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题(即:
有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法:
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”
这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”(ChineseRemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤:
三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘.
五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘.
七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘.
除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数.
此题的中国剩余定理的解法是:
用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是
,
,
为什么70,21,15,105有此神奇效用?
70,21,15,105是从何而来?
先看70,21,15,105的性质:
70被3除余1,被5,7整除,所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数;21是5除余1,被3与7整除的数,因此21b是被5除余b,被3与7整除的数;同理15c是被7除余c,被3、5整除的数,105是3,5,7的最小公倍数.也就是说,
是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数可能是解答,但不一定是最小的,因此还要减去它们的公倍数.
了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答.
3)核心思想和方法
对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。
先由
,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数
是否可以,很显然70除以3余1
类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:
,其中k是自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,
那么我们可以计算
得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。
二、弃九法原理
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
例如:
检验算式
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理:
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
例如:
检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的
但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
注意:
弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。
【例1】将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少?
【巩固】检验下面的加法算式是否正确:
2638457+3521983+6745785=12907225。
【例2】假设
=3039162537□6,其中□代表一个隐藏的数字,你能找出来么?
【巩固】假设
=15127743□136,同样是求□代表的一位数字。
【例3】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数中,选出九个数字,组成一个两位数、一个三位数和一个四位数,使这三个数的和等于2010,那么其中未被选中的数字是______
【巩固】在右边的加法算式中,如果不同的汉字代表不同的数字,使得算式成立,那么四位数
的最大值是______________.
【例4】一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是 。
【巩固】一群猴子分桃,桃子共有56个,每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时,又来了4只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到个桃子。
【例5】
除以
余
,除以
余
,除以
余
,除以
余
,
,除以
余
。
最小为。
【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合:
一种是中间一组5人,其他人按8人一组围在外圈;另一种是中间一组8人,其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学?
【例6】
是一个三位数.它的百位数字是4,
能被7整除,
能被9整除,问
是多少?
【巩固】一个八位数,它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除,已知这个八位数的前6位是257633,那么它的后两位数字是__________。
【例7】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数____.
【巩固】一个自然数在1000和1200之间,且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.
【例8】如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从
孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
【巩固】三个连续三位数的和能够被13整除,且这三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是。
【例9】某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队,则多出一人;若按五人一行排队,则多出二人;若按七人一行排队,则多出一人.该年级的人数是.
【巩固】智慧老人到小明的年级访问,小明说他们年级共一百多名同学,老人请同学们按三人一行排队,结果多出一人,按五人一行排队,结果多出二人,按七人一行排队,结果多出一人,老人说我知道你们年级原人数应该是()人。
【例10】三个连续的自然数,从小到大依次是4、7、9的倍数,这三个自然数的和最小是.
【巩固】在200至300之间,有三个连续的自然数,其中,最小的能被3整除,中间的能被7整除,最大的能被13整除,那么这样的三个连续自然数分别是多少?
【随练1】有一个2000位的数A能被9整除,数A的各个数位上的数字之和是B,数B的各个数位上的数字之和是C,数C的各个数位上的数字之和是D。
求D。
【随练2】小朋友们做游戏,若3人分成一组,则最后余下2人;若4人分成一组,则最后余下3人;若5人分成一组,则最后余下4人。
那么一起做游戏的小朋友至少有人。
【随练3】学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_____人.
【作业1】检验下面的减法算式是否正确:
7832145-2167953=5664192。
【作业2】检验下面的乘法算式是否正确:
46876×9537=447156412。
【作业3】有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是5483,第一个数各个位的数字之和是11,第二个数的各个位数字之和是16,求两个三位数的和。
【作业4】某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是。
【作业5】一个数能被3、5、7整除,若用11去除则余1,这个数最小是_____.
【作业6】有三个连续自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,请写出一组这样的三个连续自然数.