圆孔的夫朗和费衍射.docx
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圆孔的夫朗和费衍射
圆孔的夫朗和费衍射
1、圆孔的夫朗和费衍射：
根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。
但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。
圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。
由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。
爱里斑光强约占总光强的84%。
而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足
式中R、D为小圆孔的半径和直径。
2、光学仪器的分辨本领：
由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。
下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。
当两个物点S1、S2很靠近时（设S1、S2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。
对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。
因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。
这一条件称为瑞利分辨判据。
（见下图）
恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角Δθ称为最小分辨角，用δθ表示。
由上讨论可知，最小分辨角δθ等于爱里斑的半角宽度θ1：
尤其当θ1~0时，最小分辨角又可近似表示为
最小分辨角的倒数称为光学系统的分辨本领（或称分辨率），用R表示：
讨论：
⑴增大透镜的直径D可提高镜头的分辨率。
光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！
⑵设r、d为爱里斑的半径和直径，则：
即：
称为镜头的相对孔径（越大越好）。
如照相机镜头上所标示的
字样，即表示镜头的焦距
，而镜头的孔径
。
⑶由分辨本领的定义，要提高光学仪器的分辨率，除了增大镜头孔径外，还可通过减小入射光波长来实现。
近代物理指出：
电子也有波动性。
高能电子的波长可短至10–1~10–2nm。
所以电子显微镜的最小分辨距离可达几个nm，放大率可达几万倍乃至几百万倍，远高于光学显微镜。
视频：
光学仪器的分辨率
第一节光波的标量衍射理论
讨论衍射的基本处理：
标量衍射理论、衍射积分公式、两类衍射的区分、计算、观察
一、惠更斯—菲涅耳原理
1、惠更斯原理
惠更斯假设：
任一时刻波上的每一点都可以看作是产生球面次波的波源，下一时刻的波阵面是这些次波的包络面。
惠更斯原理
——
次波的概念，波面法线方向即光线方向（各向同性介质）
（波的传播原理）
（用于确定下一时刻光线方向）
于是，如图，t1时刻屏D上波阵面Σ1
得：
t2时刻，波阵面Σ2
问题：
不能给出强度分布特点
2、惠更斯—菲涅耳原理
某一时刻波阵面上的任一点都可以视为发出球面次波的新波源，这些次波来源于同一光源，因而彼此相干，空间某一点的光振动取决于波阵面上所有次波在该点叠加的结果。
注意：
干涉与衍射的异同点
3、惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式
由原理，光源S在P点产生的光振动，应等于其波面Σ上各点发出次波在P点的光振动的叠加。
参数如图:
单色点光源S在波面Σ上某点Q的复振幅为：
面元
在点产生的复振幅表示为：
式中：
衍射角
——波面法线n与次波传播方向r之夹角
倾斜因子
——表明次波振幅与衍射角（方向）有关
假设且有：
随
于是：
波面Σ在P点产生的复振幅为：
若用任意已知
的孔径面代替波面
，则P点的衍射分布可表示为：
若有
则上式推广为：
二、
菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
1、
惠更斯—菲涅耳原理的缺陷：
（1）假设次波与次波干涉概念，未与基本原理相联系
（2）人为假设了
，未给出
和C的具体形式
2、
菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式
主要思想：
（1）
波动微分方程+格林定理——亥姆霍兹—基尔霍夫衍射积分定理
积分定理指出：
波源在某一衍射场P点引起的波振动决定于包围P点的封闭曲面上各部分在该点引起的波动的叠加。
（积分定理给出次波叠加的理论基础）
（2）
基尔霍夫衍射积分定理+边值条件→用于光的衍射现象
边值条件：
a）
开孔面上的复振幅分布由入射波决定，与孔径屏不存在时一样。
b）
在屏的不透明部分，其复振幅近似为零。
公式表明：
a）
P点的复振幅是Σ波面上无穷多个次波面在该点的复振幅的叠加
b）
次波源的相位超前于入射波π/2
c）
给出K（Q）表达式，表明次波的振幅与K（Q）即衍射方向有关
当光源置于无穷远时，有
三、衍射的分类
1、定性区分
夫琅和费衍射（或称平面波衍射）
光源、接收屏距衍射屏足够远，入射波和衍射波均可视为有效平面波的衍射
菲涅耳衍射（球面波衍射）
光源或接收屏或两者距衍射屏有限距，以致入射波的波面曲率不可略时的衍射
2、基尔霍夫近似下衍射分类
由
（1）
初步近似
当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的实际情况
a）平面波正入射孔径（衍射）屏
对振幅的影响可略
b）同时取r≈z1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响不可略
（2）
菲涅耳近似与菲涅耳衍射积分公式
因为，
将r表达式展开
当满足：
可只保留表达式中的孔径平方项，即：
相应的衍射为菲涅耳衍射，满足近似条件，能观察到衍射的区间为菲涅耳衍射区
得：
（3）
夫琅和费近似与夫琅和费衍射积分公式
对菲涅耳近似r表达式，若
很大，同时
，则
当满足
或
可只保留r表达式的孔径一次项，即
相应的衍射为夫朗和费衍射，这一近似成立的区域为夫朗和费衍射区
四、
衍射现象的观察
1、
菲涅耳衍射
S、P置于距D有限距离处（图示a）
2、
夫琅和费衍射
a）S、P分别置于透镜焦面上（图示b）
b）成像透镜像面上得到孔径的夫琅和费衍射现象（图示c）
a）
b）
c）
第二节典型孔径的夫琅和费衍射
一、夫琅和费衍射公式的意义
由基尔霍夫衍射公式
假设：
（1）
均匀孔径：
（2）
观察面上任一确定的P点与Q方向的衍射光相对应，其
可视为常数
（3）
满足
，孔径面上不同点到P点的r值得变化对振幅影响可略
则上式化为：
见图，孔径面上取坐标中心O1点和Q点，其方向衍射光到达观察面上的P点的光程差为：
又：
于是：
又：
P点接近P0点时，在傍轴近似下，方向余弦可表示为：
则有：
此时，夫琅和费衍射公式可表示为：
这一表示式与夫琅和费衍射积分公式相一致，（在求取相对强度时，可不追究C的具体表示），用于求取各种孔径时的衍射分布
总之，公式表明
（1）
（2）
当
则
表明：
∙焦面场上的衍射分布就是孔径面上复振幅分布的一个傅立叶变换；
∙傅立叶变换模拟运算可以用衍射变换实现；
∙衍射问题可用傅立叶变换方法处理。
二、矩孔衍射和单缝衍射
（一）矩孔衍射
1、P点强度分布：
图示矩孔
2、矩孔衍射图样：
显然，
，或a、b有关，受x、y两方向上孔径大小的影响。
观察x方向上衍射：
（1）
极小值位置：
（2）
极大值位置
当
时
，有
当
时，相应α值处存在次极大（相邻极小值间存在一个次极大）
几个次极大的位置及相应强度示表
α
0
±1.43π
±2.459π
±3.47π
±4.479π
0
0.04718
0.01694
0.00834
0.00503
显然，次极大不等距分布，第一个次极大强度为零级的1/20，绝大部分能量集中在中央亮斑处。
（3）衍射效应正比入射波长，反比于孔径线度。
由
条纹角宽度
矩孔衍射在x轴上的强度分布曲线如图所示。
y方向可作相同的讨论，总的强度取决于x、y方向分项的共同作用。
矩孔的夫琅和费衍射图样：
中央零级在点源的几何像位置，中央亮斑集中了全部能量的80%。
周围是一些x、y方向上等间距的暗线，相邻暗线之间距反比于矩孔线度。
（二）单缝衍射
如图：
的情况下，因为
矩孔变为单缝，
则有：
aSinθ=nλ,n=±1,±2····
x方向限制光波，衍射分布沿x方向展开（见图示）
线光源时单缝衍射装置见图示
利用单缝衍射图样，可以测定单缝的宽度：
由x=fSinθ=fλ/a，测出x，求得a
（三）细线衍射
1、巴卑涅原理：
（如图）
互补屏：
一个屏的透明部分与另一个屏的不透明部分相对，反之亦然，称这一对屏为互补屏
取衍射屏：
Σ1，Σ2，Σ=Σ1+Σ2（不放屏）
观察屏上分布：
相应巴卑涅原理：
表明：
互补屏产生的复振幅之和等于自由传播（无阻挡）时该点的复振幅
例：
光学系统对点物成像
即，除几何像点外，其余处强度分布相同，衍射图样相同
2、细丝衍射
巴卑涅原理
↓
细丝直径求取→除几何像点外
，可求其互补屏单缝的宽度。
三、圆孔夫琅和费衍射
1、强度分布
圆孔时，用极坐标表示：
2、衍射图样：
由贝塞尔函数表求取头n个极值点位置：
z
极值
0
1
中央极大
1.22π
0
第一极小
1.63π
0.0175
第一次极大
2.23π
0
第二极小
2.68π
0.0042
第二次极大
分析I（P）表达式：
（1）
由于Z=kθak,a均一定时，I（P）～θ
因此，圆孔衍射图样是中心明亮，明暗相间的同心圆环，在θ=0（即点源几何像）处强度最大，随θ变化，会出现强度的极大、极小。
（2）
极大、极小值分布不等间距
第一极小位置：
z=1.22π或
爱里斑：
z=±1.22π所确定的范围为中央亮斑（或爱里斑），大部分的能量集中于其中
（3）
衍射效应与孔径线度成反比，与波长成正比θ～λ/a（λ,1/a）
3、几点讨论：
由θ～λ/a引出：
（1）
当a↑，θ→0，与几何光学“光之直进”相联系
当λ→0时θ→0，几何光学是波动光学在λ→0时的一种近似
（2）
a↓θ↑，衍射的放大作用，是一种光学变换
（3）
θ～λ，白光时，得到白光光谱
（4）
θ～1/a，当孔径沿某方向按μ：
1均匀拉伸时，其衍射图样沿同方向以1：
μ比例缩小。
http:
//gxyl.jpkc.cc/gxyl/showindex/102/102
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