四色定理证明新方法.docx

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四色定理证明新方法

四色定理证明的新方法

梁增勇

（广西妇幼保健院，530003）

摘要：

本文简单介绍用图论的方法证明了三角形结构连通图的不可避免构形集。

同时用顺序着色的方法证明三角形结构连通图的色数≤4，也就证明平面图的色数≤4。

为四色定理证明和应用找到了切实可行的新方法。

关键词：

三角形结构连通图；不可避免构形集；延伸结构；轮形结构；顺序着色法

中国图书分类号：

O157.1

1前言

四色猜想是世界数学界关注的问题，给出四色定理无需借助于计算机的证明仍然是一个未获解决的数学难题。

我们已知四色定理可以通过证明平面连通图G'的色数≤4来实现。

而平面连通图的色数不大于由它增加边而得到的三角形结构连通图G（triangulatedgraph）的色数[1]。

因此，只需证明任意三角形结构连通图的χ（G）≤4,即可解决四色定理的证明难题。

2三角形结构连通图

定义1如果一个简单图G它所有的内部的面都是C3,则称之为三角化图或三角形结构连通图[2]。

很明显，三角形结构连通图G可由平面连通图G'中内部所有长≥4的圈增加边，使其所有内部面皆为C3而得。

在图中增加边，只可能增加图的色数，所以χ（G’）≤χ（G）[2]。

图1平面连通图和三角形结构连通图

3两大不可避免构形集

定义2如果一个子图包括一个圈Cn-1和一个中心顶点v，v和其它所有圈的顶点都邻接，则称之为轮形结构（轮图），简称轮形,用Wn表示。

不包含有轮形结构的三角形结构子图称为延伸结构，用En表示。

图2延伸结构和轮形结构

在图2中我们展示了延伸结构和轮形结构以及它们的同构子图，其中方形的子图是本

文在分析中常用的形式。

定理1.三角形结构连通图仅有延伸和轮形两种结构方式。

证.

（1）一个三角形有三条边，它与其它三角形邻接的情况只有三种：

a）有一条公共边；

b）有两条公共边；c）有三条公共边。

那么a和c属于延伸结构，b属于轮形结构。

图2一个三角形与其它三角形邻接的三种情况

（2）我们可以用逐个增加三角形来构造一个三角形结构子图（参见图3）。

可用欧拉公式解释，在一个面中增加三个顶点和三条边可得一个三角形（C3）,它是三角形结构连通图的最基本的单位结构，由于它的形状和子图色数以及延伸结构的定义，我们将它归属于延伸结构。

同时，用欧拉公式可以证明再增加三角形仅有两种情况：

a）为了增加一个三角形面需要增加一个顶点和两条边（E4,E7）；b）为了增加一个三角形面仅需要增加一条边。

当仅为a的情况只可能产生延伸结构；当有b的情况会产生一个新的轮形结构（W4,W7）。

（增加边数多于3的情况不可能存在，因为新三角形仅有3条边，且一条边必须是与旧三角形的公共边）（3）延伸结构和轮形结构之间的邻接组成的子图还是延伸结构或属于它们的并图，不会产生新的结构[3]。

图3增加一个三角形面与欧拉公式的关系

定理2.延伸结构子图色数等于3。

证对n用归纳法。

（1）当n=4时，χ（E4）=3。

（2）假设χ（En）≤4成立。

那么增加顶点vn+1和两条边构成新的三角形,顶点vn+1可使用与同在新三角形中的另两个顶点不同的颜色即可。

所以En+1的顶点所使用的的颜色种类集合还是在{1,2,3,4}范围之中，那么

χ（En+1）≤4也成立。

引理1轮图色数≤4[4]。

以上说明，作为三角形结构连通图的不可避免构形集的两大类构形的色数都≤4。

下面我们研究以这两大类构形为子图所构造的三角形结构连通图是否色数也≤4。

3延伸结构和轮形结构的邻接

3.1延伸结构与延伸结构:

a）如果它们的公共部分是一条边，则它们的并图是一个新的延伸结构；

b）如果它们的公共部分大于一条边（即等于或多于一个顶点和两条边），则产生新的轮形结构。

图4延伸结构与延伸结构的邻接

3.2轮形结构和轮形结构邻接:

轮形和轮形邻接，基本不变。

图5轮形结构和轮形结构邻接

3.3延伸结构和轮形结构邻接:

延伸结构和轮形结构邻，基本不变。

图6延伸结构和轮形结构邻接

4顺序配色法

在上节中我们已经了解在三角形结构连通图G中延伸结构是被轮形结构分隔的，我们可以将图G做好一个初步的结构位置规划（或称之为{预分配}）。

在规划构形位置时形成轮形包围延伸结构的布局，使之出现更多小的延伸结构。

然后逐个对延伸结构使用颜色关系分析图进行分块分析和配色，直至完成落实全部图的顶点的4-正常着色，这一方法称之为顺序配色法。

4.1顺序配色法的基本步骤:

顺序配色法的基本步骤是：

（1）首先做好一个初步的轮形结构位置规划（或称之为预分配）见图7中第2个图，用粗线表明轮形的边.。

（2）用颜色关系分析图对一组相邻延伸结构和轮形结构组合的块进行配色。

见图7中第3个图，上好颜色的顶点是一个块。

两个延伸结构（E10，E13）中间隔着三个轮形（W4，W4，W8,W7,W7），它们组成了一个颜色关系分析图（见图8）。

（3）如此按照延伸结构的顺序一个接一个地完成正常4-着色。

（4）最后完成整个图的正常4-着色。

图7顺序配色法的基本步骤

图8一个块和它的颜色关系分析图

4.2颜色关系分析图

在图8中，用方形结构图表示两个延伸结构和中间相邻的轮形结构，较方便分析各顶点的颜色关系，称之为颜色关系分析图。

它包含两个子图，左边是部分未上好色的，右边是全上好色的（见图9）。

在颜色处理中分两中情况：

（1）一般情况下（无颜色冲突）:

左图中下部E16是前面已经着好色的延伸结构；上面的E14是本次需要配色的延伸结构，中间隔着4个轮形（注：

为了分清轮形与延伸结构，将所有轮图的与中心顶点邻接的边用浅色线表示或者隐藏）。

图9一般情况下的颜色关系分析图

右图是一般情况下E14得到正常4-着色的结果。

轮形中心顶点用白色。

由于延伸结构的色数是3，延伸结构的顶点用另外三色（黑、深灰和浅灰色）。

在一般情况下无颜色冲突。

由于E16的顶点颜色保持不变，所以本块顶点的颜色和其它已着色的块的顶点保持正常的4-着色关系。

（2）特殊情况下的处理方法：

当使用一般的方法有颜色冲突时，不能对E14正常着色，就可以使用下右图中的方法，将轮形结构重新排列，再进行配色。

由于有足够的位置插入新轮形将子图隔离成独立的延伸结构碎块（互相不再有颜色冲突），也可以实现块Bi的正常4-着色。

由于E16下边顶点保持颜色不变。

所以本块顶点的颜色和其它已着色的块的顶点保持正常的4-着色关系。

图10特殊情况下的颜色关系分析图

5概念、定义和定理证明

5.1图的简化和扩展:

定义4.一个顶点和一条路径所有的顶点都邻接所购销横的子图称之为扇形结构，简称为扇形，用Fn表示。

显然它属于延伸结构，（Fn}）=3。

最小的扇形是F4,其次是F5.随着n的增加，我们可以看到，以后的顶点的颜色仅仅是对F4或F5的复制而已。

因此我们完全可以用F4或F5来作为简化图代表复杂的图。

换句话说，它们已经包含所有扇形的信息，可以用在分析图中代表更大的扇形结构分析顶点颜色的关系。

在需要的时候，也可以用复制的方法扩展成更大的扇形。

图11扇形结构之间的顶点关系

轮形也是如此，是因为当轮形的中心顶点v0和两个公共端点v1,v2颜色确定之后，所有扩展的公共顶点v3,v4,...,vi顶点颜色也很容易确定。

换句话说，所有扩展的公共顶点颜色仅与v0,v1,v2的颜色有关，因此扩展的公共顶点在简化图中可以省略。

图12轮形结构之间的顶点关系

使用类似的方法，我们可以将延伸结构年和轮形结构的邻接方式归纳为三种模式并用简化图表示如下：

图13轮形结构的邻接方式的三种模式及扇形

5.2顶点颜色关系

定义5.在K4,路径和两个轮形之间的顶点颜色，仅受与它们周围邻接的顶点的颜色限制（发生关系），并称为色自由顶点（见下图红色顶点）。

因此，必要时也可以在简化图中予以省略，或者在顺序配色程序的最后步骤才确定它们的颜色。

图14各种色自由顶点案例

定义6.在给定的色数范围内，子图的顶点颜色会呈现固定顺序的现象（性质）称之为有序图，反之称为无序图。

例如：

2色图中的路径和偶圈，给定3色的延伸结构子图。

图15各种有序子图

定理3给定3色的延伸结构子图是有序图。

证我们用数学归纳法：

（1）显然，当n=4,任意两个三角形组成的延伸结构子图$E_{4}$是有序图。

（2）假设当n=k,三角形组成的延伸结构子图Ek是有序图。

那么，添加第k+1个顶点vk+1和两条边构成新的三角形（面），顶点vk+1须使用与同一个三角形的另两个顶点不同的颜色，即与它对边所对的另一个邻接三角形的顶点同色，这就是它所保持的颜色顺序。

所以Ek+1也是有序图。

定义7.如果在一个有序图的两个相同颜色的顶点还邻接一条公共边，这是正常k-着色不允许的,称之为颜色冲突。

例如，下图中v1和v3k+1发生了颜色冲突。

由于v1和v3k+1构成一个多边形，因为三角形结构图内部无多边形的面，显然它是轮形的边。

解决颜色冲突的办法是改变轮形中心顶点的位置，见图13：

图16颜色冲突的产生原因及消除方法

定理4.改变轮形的中心顶点的位置可以消除顶点颜色冲突。

证假设延伸结构的顶点v1和v3k+1存在边v1和v3k+1并发生了颜色冲突。

由于v1和v3k+1

及它们的边构成一个多边形（边数大于3），而三角形结构图内部无多边形的面，显然它是轮形的边。

解决颜色冲突的办法就是改变轮形中心顶点的位置，将所有轮形中非端点的其中之一种颜色的顶点，与轮形中心顶点对换颜色。

（即改变轮形的中心顶点的位置），那么，原来的有序图的固有颜色顺序将被破坏，消除颜色冲突（见图16）。

例如：

（1）在下图中左边的分析图显示按照一般情况配色，有一对顶点颜色冲突是不可解决的。

（2）在下图中右边的分析图显示按照特殊情况处理，经过改变轮形结构的中心顶点位置，改变了上面的延伸结构顶点颜色的顺序，颜色冲突消除，该块可实现正常4-着色。

图17颜色冲突及消除的案例

5.3严格的交接边界

在进行顺序配色过程中每两个块的交接边界的顶点（见下图中红色线条中的顶点）颜色是不能改变的，这就保证了当前块Bi和已完成着色的子图Gi-1顶点之间的颜色既有含接又无颜色冲突的要求。

因此

图18两个块的交接边界的顶点

令Gi-1为第i-1步已着色区域的子图，Bi为本次分析图所包含的块，那么

C（Gi）=C（Gi-1）∪C（Bi）（3）

由于χ（Gi-1）≤4,χ（Bi）≤4,C（Gi）也≤4。

5.4关于K4的处理

因为不管K4的三个外圈的顶点颜色如何，中心顶点总可以使用与它们不同的第四种颜色，为了简化分析程序，我们在顺序配色过程的开始将K4看作C3处理，如同所有自由顶点的处理方法一样，直至程序的最后一步，才确定所有K4的中心顶点的颜色。

图19K4的处理案例

5.5其它特殊的情况

此时，还有一些特殊的情况如下：

（1）轮形结构之间夹有多条放射结构的边。

（2）不规则轮形结构。

（3）多重轮形结构。

它们的处理方法同样可按已经说过的一般情况（无颜色冲突）或特殊情况（有颜色冲突）处理。

图20其它特殊的情况

5.6一个完整的顺序配色法的实施案例

（1）首先将K4看作C3,预规划轮形结构的位置。

在图中为区分轮形，将它们的外圈边用粗线条表示。

（为区分K4，将它的中心顶点画小）。

（2）选择一个延伸结构着色，作为第一个块B1。

（3）以邻接它的第二个延伸结构决定划分第二个块B2,并进行分析配色。

（4）如此类推完成所有大的延伸结构（也包括了轮形结构）的顶点配色。

（5）最后对所有小的自由顶点（包括K4）进行配色。

图21一个完整的顺序配色法的实施案例

6命题证明

定理5（四色定理）.任何平面连通图是4-可着色的。

证.

（1）设G‘是一个平面连通图,G是由G‘增加边而得到的三角形结构连通图~.那么由

（1）可知χ（G'）≤χ（G）.

（2）运用顺序配色法，将G划分为延伸结构和轮形结构的组合，同时按顺序将这些结构组成不同的块，并逐个按顺序完成块的颜色配色，由上面的分析可知图G是这些子图（块）的并图，且每个子图的色数≤4。

使用顺序配色法，同时每个块之间没有颜色冲突。

那么

令Bi表示本块子图，E1、E2、...、Ej和W1、W2、...、Wk分别为它所含的延伸结构和轮形结构。

则

C（Bi）=C（E1）∪C（E2）...∪C（Ej）∪C（W1）∪...∪C（W1）.（5）

由于每个延伸结构和轮形结构的色数≤4，同时每个结构之间没有颜色冲突。

所以

χ（Bi）≤4。

（3）另外，我们用S表示所有自由顶点的集合，C（S）表示它们颜色种类的集合，由自由顶点的定义可知，它们与周遍的顶点没有颜色冲突，可以使用4种颜色范围的色，因此，

C（S）={1,2,3,4}。

那么

C（G）=C（B1）∪C（B2）∪...∪C（Bi）∪C（S）（6）

因为根据（5）可得出所有C（B1）、C（B2）、...、C（Bi）都∈{1,2,3,4}，同时C（S）∈{1,2,3,4}所以C（G）∈{1,2,3,4},那么

χ（G）≤4。

最后，由

（1）可得χ（G’）≤χ（G）≤4。

即任何平面连通图G'的色数不大于4。

证毕。

9结论

通过以上分析证明，任何平面连通图G'都可以通过增加边得到它对应的三角形结构连通图G，它们的色数χ（G’）≤χ（G）≤4,这就完成了四色定理的证明。

另外，应该看到，本文同时解决了如何对任何一个平面连通图实施正常4-着色。

这对四色定理的证明和应用都有着实际的意义。

参考文献

[1]R.Balakrishnan,K.Ranganathan,,ATextbookofGraphTheory[M]科学出版社，:

北京：

2011（187-188）

[2]王树禾，图论[M]北京：

科学出版社，2004：

（90）

[3]屈婉玲，耿素云，张立昂，离散数学[M]高等教育出版社，北京：

2008：

（324-325）