形式语言与自动机理论参考答案.docx
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形式语言与自动机理论参考答案
第三章作业答案
1.已知DFAM1与M2如图3-18所示。
（xxxx02282068）
（1）请分别给出它们在处理字符串1011001的过程中经过的状
态序列
（2）
请给出它们的形式描述。
图3-18两个不同的DFA
解答：
（1）M1在处理1011001的过程中经过的状态序列为
q0q3q1q3q2q3q1q3;
M2在处理101100啲过程中经过的状态序列为q0q2q3q1q3q2q3q1;
（2）考虑到用形式语言表示，用自然语言似乎不是那么容易，所以用图上作业法把它们用正则表达式来描述：
M1:
[01+（00+1）（11+0）][11+（10+0）（11+0）]*
M2:
（01+1+000）{（01）*+[（001+11）（01+1+000）]*}
*******************************************************
************************
2.构造下列语言的DFA（XX02282085）
（1）{0,1}*
（2）{0,1}+
S——V0,1•0，1
（3）{x|x{0,1}+且x中不含00的串}
（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）
（4）{x|x{0,1}*且x中不含00的串}
（可接受空字符串，所以初始状态也是接受状态）
（5）{x|x{0，1}+且x中含形如10110的子串}
（6）{x|x{0，1}+且x中不含形如10110的子串}
（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）
（7）{x|x{0，1}+且当把x看成二进制时，x模5和3同余，要求当
x为0时，|x|=1,且x0时，x的首字符为1}
1.以0开头的串不被接受，故设置陷阱状态，当DFA在启动状态读
入的符号为0,则进入陷阱状态
2.设置7个状态：
开始状态qs,qO:
除以5余0的等价类，q1:
除以
5余1的等价类,q2:
除以5余2的等价类，q3:
除以5余3的等价
类，q4:
除以5余4的等价类，接受状态qt
3.状态转移表为
状态
0
1
q0
q1
q2
q1
q3
q2
q2
q0
q4
q3
q1
q2
q4
q3
q4
（8）{x|x{0，1}+且x的第十个字符为1}
（设置一个陷阱状态，一旦发现x的第十个字符为0,进入陷阱
状态）
（9）{x|x{0，1}+且x以0开头以1结尾}
（设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态）
（10）{x|x{0,1}+且xxx至少含有两个1}
（11）{x|x{0，1}+且如果x以1结尾，则它的xx为偶数；如果x以
0结尾，则它的xx为奇数}
可将{0,1}+的字符串分为4个等价类。
q0:
[]的等价类，对应的状态为终止状态
q1:
x的xx为奇且以0结尾的等价类
q2：
x的xx为奇且以1结尾的等价类
q3:
x的xx为偶且以0结尾的等价类q4:
x的xx为偶且以1结尾的等价类
qi
q4
（12）{x|x是十进制非负数}
（13）
（14）
*******************************************************
************************
0
={0,1}
Set（qO）={x|x*}
⑵
={0,1}
Set（q0）=
Set（q1）={x|x+}
（3）
={0,1}
Set（q0）=
Set（q1）={x|x+并且x中不含形如00的子串}
Set（q2）={x|x+并且x中不含形如00的子串}
⑷
={0,1}
Set（qO）={x|x*并且x中不含形如00的子串}
Set（q1）={x|x*并且x中不含形如00的子串}
（5）
1
={0,1}
Set（q0）={x|x*,并且x{0}*或者x中含形如100的子串}
Set（q1）={x|x*,并且x中含形如1的子串}
（6）
={0,1}
Set（q0）={}
Set（q1）={x|
x{0+}}
Set（q2）={x|
x*,并且xxx不含形如10110的子串而且xxx
含有1｝
Set（q3）={x|
x*,并且xxx不含形如10110的子串而且xxx
含有1｝
□
={0,1}
Set（qs）二{}
Set（qe）二{0}
Set（q1）={x|
1x+,
并且把
x看成二进制数时，
x%5=1}
Set（q2）={x|
1x+,
并且把
x看成二进制数时，
X%5=2}
Set（q3）={x|
1x+,
并且把
x看成二进制数时，
x%5=3}
Set（q4）={x|
1x+,
并且把
x看成二进制数时，
x%5=4}
Set（q0）={x|
1x+,
并且把
x看成二进制数时，
x%5=0并且x
不为0}
（8）
M={Q,,,q0,F}
Q={q0,q1,q2,…q10}
={0,1}
当0<=i<=8时候，
（qi,0）=（qi,1）=q（i+1）
（q9,1）=q10
（q10,0）=（q10,1）=q10
F={q10}
Set（q0）={}
Set（q1）={0,1}
Set（q2）={x|
x+,
并且|x|=2}
Set（q3）={x|
x+,
并且|x|=3}
Set（q4）={x|
x+,
并且|x|=4}
Set（q5）={x|
x+,
并且|x|=5}
Set（q6）={x|
x+,
并且|x|=6}
Set（q7）={x|
x+,
并且|x|=7}
Set（q8）={x|
x+,
并且|x|=8}
Set（q9）={x|
x+,
并且|x|=9}
Set（q10）={x|x+,
并且x的第十个字符是1}
（9）M={Q,,,q0,F}
Q={q0,q1,q2}={0,1}
（q0,0）=q1
（q1,0）=q1
（q1,1）=q2
（q2,1）=q2
（q2,0）=q1
F={q2}
Set（q0）={}
Set（q1）={x|x+,
并且x以0开头以0结尾}
Set（q2）={x|x+,
并且x以0开头以1结尾}
（10）M={Q,,,q0,F}
Q={q0,q1,q2}
={0,1}
（q0,0）=q0
（q0,1）=q1
（q1,0）=q1
（q1,1）=q2
（q2,1）=q2
（q2,0）=q2
F={q2}
Set（q0）={0}*
Set（q1）={x|x+,并且xxx只有一个1}
Set（q2）={x|x+,并且x至少有俩个1}
（11）M={Q,,,q0,F}
Q={q0,q1,q2,q3,q4}
={0,1}
（q0,0）=q1
（q0,1）=q4
（q1,0）=q3
（q1,1）=q2
（q2,1）=q4
（q2,0）=q1
（q3,0）=q1
（q3,1）=q4
（q4,1）=q2
（q4,0）=q3
F={q0,q1,q2}
Set（q0）={}
Set（q1）={x|
x+,
以0结尾，
xx
为奇数}
Set（q2）={x|
x+,
以1结尾，
xx
为偶数}
Set（q3）={x|
x+,
以0结尾，
xx
为偶数}
Set（q4）={x|
x+,
以1结尾，
xx
为奇数}
（12）
M={Q,,,q0,F}
Q={q0,q1,q2,q3,q4}
二{.,0,1,2,…,9}
F={q1,q2,q4}
（q0,0）=q1
（q0,1|2|3|4|5|6|7|8|9）=q2
（q1,.）=q2
（q2,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9）=q2
（q2,.）=q3
（q3,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9）=q4
（q4,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9）=q4
Set（q0）={}
Set（q1）={0}
Set（q2）={十进制正整数}
Set（q3）={十进制非负整数后面接个小数点.}
Set（q4）={十进制正小数}
（13）
Set（qO）={}
Set（qO）=
（14）
Set（q0）={}
***********************************************************
********************
4在例3-6xx，状态米用的形式，它比较清楚地表达出该状态所对
应的记忆内容，给我们解决此问题带来了很大的方便，我们是否可以直接用代替呢？
如果能，为什么？
如果不能，又是为什么？
从此问题的讨论，你能总结出什么来？
（xxxx02282084）
答：
我认为能够直接用代替，因为在例3-6xx，只是一种新的表示方
法，用来表示状态存储的字符，这样就省去了在xx逐一给出每
一个具体的输入字符和状态的定义。
它的作用在于使FAxx状态定义更加简洁。
得到结论：
在今后描述FA时，应该根据具体的情况，使用适当的方法。
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5.试区别FA中的陷阱状态和不可达状态。
（xx贤珺02282047）
解：
⑴陷阱状态（课本97页）：
指在其它状态下发现输入串不可能是该FA所识别的句子时所进入的状态。
FA一旦进入该状态，就无法离开，并在此状态下，读完输入串中剩余的字符。
⑵不可达状态（课本108页）：
指从FA的开始状态出发，不可能到达的状态。
就FA的状态转移图来说，就是不存在从开始状态对应的顶点出发，到达该状态对应顶点的路径。
⑶从两者的定义可见：
相对于不可达状态来说，陷阱状态是可达的。
但是，它们都是状态转移图中的非正常状态。
如果从状态转移图中的状态引一条弧到不可达状态，同时不可达状态所有的移动都是到自身。
这样，不可达状态就变成了陷阱状态。
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注：
此题目有问题，可以将题设改为：
xxxO和1个数相等且交替出现
6.证明：
题目有不严密之处，图xx给出DFA与题目xx的语言L（M）={x|xx{0,1}+且xxx0的个数和1的个数相等}不完全对应，首先图xx的DFA可接受空字符串，而L（M）不接受，其次，对于有些句子，例如1100,L（M可以接受，但DFA不接受
（1）根据图中的DFA可看出，右下角的状态为陷阱状态，所
以去除陷阱状态
（2）由DFA可构造出与其对应的右线性文法：
（xx02282083）
S>0A
A>1S|1
S>1B
B>OS|0
将1S,1代入S>0A;OS，代入S，B得
S>01S|01
S>10S|10
由此可以看出该文法接受的语言为L二{（10|01）*},显然01或10
分别是作为整体出现的，所以L（M）xx0和1的个数相等。
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***********************
7.设DFAM=证明：
对于
注：
采用归纳证明的思路
证明：
（周期律02282067）
首先对y归纳，对任意x来说，|y|=0时，即y=
根据DFA定义，故原式成立。
当|y|=n时，假设原式成立，故当|y|=n+1时，
不妨设y=wa,|w|=n,|a|=1
根据DFA定义，故
原式成立，
同理可证，对任意的y来说，结论也是成立的。
综上所述，原式得证
*******************************************************
************************
8.证明：
对于任意的DFAM仁（Q2,S,qO,F1）存在DFA
M2=（QJ,S,qO,F2）,（xx02282075）
使得L（M2）=艺*—L（M1。
证明：
（1）构造M2。
设DFAM1=（Q2,S,q0,F1）取DFAM2=（Q2,S,q0,Q—F1）
（2）证明L（M2）=艺*—L（M1
对任意x艺*
xL（M2）=艺*—L（M1S（q,x）Q—F1S（q,x）Q并且5（q,x）Fix艺*并且xL（M1）x艺*—L（M1）
*******************************************************
************************
9.对于任意的DFAM1=Q1,刀，S1,q01,F1）,请构造DFA
M仁（Q2X,S2,q02,F2），使得L（M1）=L（M2）T。
其中
L（M）T={x|xT€L（M）}（xx02282072）
（1）构造£-NFAM使得L（M）=L（M1）取£-NFAM=（Q,E,S,
q0,{q01}）其中:
1）Q=Q1U{qO},q0Q1
2）对于q,p€Q1,a€E,如果S1（q,a）=p,q€S（p,a）
3）S（q0,£）=F1
（2）证明：
L（M）=L（M1）T
对x=a2…am€L（M）
q2…am卜qfa2…am卜a1q2…am卜a2q2…
am—卜a2^qm-1am
—a2…amq01
其中qf€S（qO,£）,q1€S（qf,al）,q2€S（q1,
a2）,…qO1€S（qm-1,am）并且qf€F1
贝卩S1（q01,am）=qm-1,S1（qm-1,am-1）=qm-2,…S1（q2,
a2）=q1S1（q1,a1）=qf
因此匕qO1amam-1…al卜amqm1am-1…al卜am
am-1…q1卜amam1…a2q1
卜amam-1…alqf
因此amam-1…al€L（M1）即xT€L（M1）
同理可证对于x=a2…am€L（M1）xT=am
am-1…a1€L（M1）
L（M）=L（M1）T得证
（3）将£-NFAM确定化
首先构造与£-NFAM=（Q,E,S,q0,{q01}）等价的NFA
M3=（QE,S2,q0,{q01}）
其中对于（q,a）€Q*ES2（q,a）=S八（q,a）
然后按照以前学过的方法构造与NFAM3=（QE,S2,q0,{q01}）
等价的DFA
M1=（Q1X,S1,[qO],F1）其中：
Q仁2QF1={q01}
81（[q1,q2,…，qn],a）二[p1,p2,…,pn]当且仅当
82（{q1,q2,…,qn},a）={p1,p2,…,pn}
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************************
注：
此题（10题）xx、xx所做完全一样！
！
10、构造识别下列语言的NFA（XX02282091）
（1）{xx乏{0,1}+且x中不含形如00的子串}
1
1
1
1
（2）{xx^{0,1}+且x中含形如10110的子串}
——1
0,1
0,1
（3）{xxE{0,1}+且x中不含形如10110的子串}
0,1
0,1
（4）{xx^{0,1}+和x的倒数第10个字符是1,且以01结尾}
0,1
01■r■01
0,1
1•0•0,11•0,1.
（5）{xx€{0,1}+且X以0开头以1结尾}
0,1
（6）
{xx^{0,1}+且x中至少含有两个1}
S
0,1
（7）{x^{0,1}*且如果x以1结尾，则它的长度为偶数；
如果以0结尾，则它的长度为奇数}
1
0
（8）{xx^{0,1}+且x的首字符和尾字符相等}
0
（9）
{x⑷xTx,国乏{0,1}）
这是最基本的单元，其他的可以通过这个逐级构造出来，以满足
题目要求。
*******************************************************
************************
11.
根据给定的NFA构造与之等价的DFA.
（xx02282090）
（1）NFAM1的状态转移函数如表3-9
状态说明
状态
输入字符
0
1
2
开始状态
q0
{q0,q1}
{q0,q2}
{q0,q2}
q1
{q3,q0}
0
{q2}
q2
0
{q3,q1}
{q2,q1}
终止状态
q3
{q3,q2}
{q3}
{q0}
解答：
状态说明
状态
输入字符
0
1
2
开始状态
q0
[q0,q1]
[q0，q2]
[q0，q2]
[q0,q1]
[q0,q1,q3]
[q0,q2]
[q0,q2]
[q0,q2]
[q0,q1]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q0,qi,q2]
[q0,q1,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2]
终止状态
[q0,q1,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q2,q3]
[q0,q1,q2]
终止状态
[q0,q2,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q2]
终止状态
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q0,q2,q3]
0o,1
0,1[q0,q1,q2,q3]
2
图3-9所示NFA等价的DFA
（2）NFAM2的状态转移函数如表3-10
状态说明
状态
输入字符
0
1
2
开始状态d
q0
{q1,q3}
{q1}
{q0}
q1
{q2}
{q1,q2}
{q1}
q2
{q3,q2}
{q0}
{q2}
终止状态
q3
0
{q0}
{q3}
解答:
状态说明
状态
输入字符
0
1
2
开始状态
q0
[q1,q3]
[q1]
[q0]
[q1,q3]
[q2]
[q0,q1,q2]
[q1,q3]
[q1]
[q2]
[q1,q2]
[q1]
[q2]
[q2,q3]
[q0]
[q2]
[q0,q1,q2]
[q1，q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q0,q1,q2]
[q1,q2]
[q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q1,q2]
终止状态
[q2,q3]
[q2,q3]
[q0]
[q2,q3]
终止状态
[q1,q2,q3]
[q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q1,q2,q3]
［如覚
qO
图3-10所示NFA等价的DFA
*******************************************************
*********************
12.证明对于任意的NFA存在与之等价的NFA该NFA最多只有
一个终止状态
（xx02282083）
证明：
对于任意的NFAM=（Q刀，5,qO,F），我们如果能构造出一个只有一个终止状态的NFA并且与之等价，即可证明上面的定理
而对于任意的NFA存在下面两种情况：
（1）终止状态只有一个
（2）终止状态有多个
要构造这个等价的NFA,可以采用如下方法：
对
（1）无需变化，该NFA即为满足条件的NFA
对
（2）可以在该NFA的状态图上添加一个新的终止状态，并将原来的多个终止状态所连接的弧复制到该状态上,此时这个终止状态为新状态图中唯一的终止状态，且这个新的NFA与原NFA等价，满足条件
我们总能构造出这样的NFA
因此对于任意的NFA存在与之等价的NFA,该NFA最多只有一个终止状态
*******************************************************
************************
13．试给出一个构造方法，对于任意的NFA，构造NFA，使得
注：
转化成相应的DFA进行处理，然后可参考第8题的思路
证明：
（周期律02282067）
首先构造一个与NFA等价的DFA，根据定理3.1（P106）,
构造其中
Q^2Q1,F^{[Pi,P2-..Pm]|{Pl,P2---Pm}Q,{Pl,P2---Pm}F^},{Pi,P2---Pm}Q®'、3（[qi…qn],a）二[Pi...Pm]=、i（{qi...qn},a）={Pi...pm}
在此基础上，
即取所有确定化后不是终结状态的状态为的终结状态。
为了证明，我们在的基础上，其中，即所有确定化后的状态
都为终结状态。
显然
则又因为故，故
同理容易证明
故，又因为，故
可知，构造的是符合要求的。
*******************************************************
14.构造识别下列语言的£-NFA。
（XX贤珺02282047）
⑴{x|x€{0,1}+且x中含形如10110的子串}U{x|x€{0,1}+
和x的倒数第10个字符是1,且以01结尾}。
解：
得到的£-NFA如下所示：
e
⑵{x|x€{0,1}+且x中含形如10110的子串}{x|x€{0,1}+
和x的倒数第10个字符是1,且以01结尾}
解：
得到的£-NFA如下所示：
0
⑶{x|x€{0,1}+且x中不含形如10110的子
串}U{x|x€{0,1}+且x以0开头以1结尾}。
解：
关键是构造第一个FA,方法是设置5个状态：
q0:
表示开始状态，以及连续出现了两个以上的0时所进入
的状态。
q1:
表示q0状态下接受到1时（即开始状态或2个以上的0后输入1时）所进入的状态。
q2:
表示q1状态下接受到0时（即开始状态或2个以上的0后输入10时）所进入的状态。
q3:
表示q2状态下接受到1时（即开始状态或2个以上的0后输入101时）所进入的状态。
q4:
表示q3状态下接受到1时（即开始状态或2个以上的0后输入1011时）所进入的状态。
故得到的£-NFA如下所示:
x中不含形如11的子串}
解：
得到的£-NFA如下所示:
另外，本题可以构造DFA如下（其中qt为陷阱状态）：
⑸{x|x€{0,1}+且x中不含形如00的子串}A{x|x€{0,1}+
且x中不含形如11的子串}。
解：
由于xxx既不含形如00的子串，又不含形如11的子串，故
xxx只能是01相间的串。
所以，得到的£-NFA如下所示：
另外，本题可以构造DFA如下（其中q+为陷阱状态）：
*******************************************************
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