幅相频率特性.docx
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幅相频率特性
5.2幅相频率特性（Nyquist图）
开环系统的幅相特性曲线是系统频域分析的依据，掌握典型环节的幅相特性是绘制开环
系统幅相特性曲线的基础。
在典型环节或开环系统的传递函数中，令s=j‘，即得到相应的频率特性。
令-■由小
到大取值，计算相应的幅值A（■）和相角:
（■），在G平面描点画图，就可以得到典型环节或开环系统的幅相特性曲线。
图5-8比例环节的
幅相频率特性
5.2.1典型环节的幅相特性曲线
1.比例环节
比例环节的传递函数为
G（s）=K
（5-22）
其频率特性为
G（「）=KjO=Ke
A（尸G（j）=K
（）—G（j）=0
（5-23）
态正弦响应的振幅是输入信号的K倍，且响应与输入同相位2■微分环节
微分环节的传递函数为
G（s）=s
（5-24）
其频率特性为
（5-25）
微分环节的幅值与•■成正比，相角恒为90。
当=0>■--时，幅相特性从G
5-9曲线②所示。
积分环节的幅值与••成反比，相角恒为-90。
当＞:
:
时，幅相特性从虚轴-r：
处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图4■惯性环节
惯性环节的传递函数为
（5-28）
1
G（S）b
其频率特性为
（5-29）
申（国）=-arctanT®’
当，=0时，幅值A（）=1，相角VH0；当•可以证明，惯性环节幅相特性曲线疋圆。
如图5-10所示。
证明如下：
将式（5-32）代入式（5-30）整理后可得
图5-10惯性环节的极点分布和幅相特性曲线
式（5-33）表明：
惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上1/2
处，半径为1/2。
从式（5-31）还可看出，X为正值时，Y只能取负值，这意味着曲线限于实轴的下方，只是半个圆。
例5-1已知某环节的幅相特性曲线如图5-11所示，当输入频率=1的正弦信号时，该环节稳态响应的相位迟后30，试确定环节的传递函数
解根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为
惯性环节是一种低通滤波器，低频信号容易通过，而高频信号通过后幅值衰减较大。
对于不稳定的惯性环节，其传递函数为
1
G（s）=
Ts—1
其频率特性为
11
（5-34）
1A®）_22I
G（j■）1T■
T+jT怕茁
=—180"+arctariPq
当•.=0时，幅值A（J=1，相角「（•）=180;当川二二时，A（.）=0,
（■）=-90。
图5-12不稳定惯性环节的极点分布和幅相特性
分析s平面复向量s-5（由P1=1「T指向s二「）随」增加时其幅值和相角的变化规律，可以确定幅相特性曲线的变化趋势。
如图5-12（a）、（b）所示。
可见，与稳定惯性环节的幅相特性相比，不稳定惯性环节的幅值不变，但相角不同。
6.二阶振荡环节
二阶振荡环节的传递函数为
式中，「n=1丁为环节的无阻尼自然频率；•为阻尼比，0：
「：
：
：
1。
相应的频率
特性为
（5-41）
特性的形状与•值有关，当•值分别取0.4、0.6和0.8时，幅相曲线如图5-14所示。
ks=[0.40.60.8];om=10;
fori=1:
3
num=om*om;
den=[12*ks（i）*omom*om];
nyquist（num,den）;axis（'square'）;holdon;end
（1）
谐振频率'r和谐振峰值Mr
由图5-14可看出，■值较小时，随.=0r变化，G（j■）的幅值A（-）先增加然后再逐渐衰减直至0。
A（・J达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记
为Mr，对应的频率称为谐振频率，记为-r。
以下推导Mr、•十的计算公式，因为
其频率特性为
”A®）（同稳定环节）
不稳定二阶振荡环节的相角从一360连续变化到-180。
不稳定振荡环节的极点分布与幅相曲线如图5-16所示。
（3）由幅相曲线确定G（s）
例5-2由实验得到某环节的幅相特性曲线如图5-17所示，试确定环节的
传递函数G（s），并确定其-，r、Mr。
解根据幅相特性曲线的形状可以确定G（s）的形式
G（S）・2YJ
其频率特性为
将图中条件A（0）=2代入式（5-45）得K=2
将：
：
（5）=-90代入式（5-46）得'n=5
K
A—）"代入式（5-45）有厂3
G（s）
_2疋52
50
212
s亠25s亠5
3
2
s3.33s25
由式（5-43）
由式（5-44）m——1=1=冬2
2^Jl-¥1J"Y8
2汉—和1--!
3\<3J
7.二阶复合微分环节
二阶复合微分环节的传递函数为
2
G（s）=T2s22Ts2—1
频率特性为
2；—
（，）=arctan
1
I2灼n
图5-18二阶复合微分环节的零点分布及幅相特性
不稳定二阶复合微分环节的频率特性为
CO2*0
Gj）=y
A（J二
（J=360-arctan
S-J«l
—
J
0\
r
2
2
42'
图5-19不稳定二阶复合微分环节的幅相特性
2
-'n
~2
零点分布及幅相特性曲线如图5-19所示
8.延迟环节
延迟环节的传递函数为
G（s）二
其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆所示），••值越大，其相角迟后量越大。
5.2.2开环系统的幅相特性曲线
如果已知开环频率特性G（j■），可令••由小到大取值，算出A（）和:
（-）相应值，在G平面描点绘图可以得到准确的开环系统幅相特性。
实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相特性的大致图形即可，并不需要绘出准确曲线。
可以将开环系统在s平面的零极点分布图画出来，令s=j•沿虚轴变化，当冷=0》：
：
时，分析各零极点指向的复向量的变化趋势，就可以概略画出开环系统的幅相特性曲线。
概略绘制的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：
（1）开环幅相曲线的起点（「=0）和终点（「八）。
（2）开环幅相曲线与实轴的交点
设^:
g时，G（j）的虚部为
lm[G（「g）]=0（5-47）
或
称*，g为相角交界频率，开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为
（3）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）
例5-3单位反馈系统的开环传递函数G（s）为
丄
T2
T2
1「
G（s）=—vKv
s（"十1）（丁25+1）ss+丄
分别概略绘出当系统型别v=0,1,2,3时的开环幅相特性。
解讨论v=1时的情形。
在s平面中画出G（s）的零极点分布图，如图5-21（a）所示。
系统开环频率特性为
T1T2
在s平面原点存在开环极点的情况下，为避免•=0时G（j）相角不确定，
我们取s二j•=j0作为起点进行讨论。
（0■到0距离无限小，如图5-21所示。
）
—I+1
s-山j00州=090'
11
s-p2=j0A2:
20、
11“
S-必=j0A3乙30
T2T2
K3
G（j0）=-i二二/90
ilA
id
除1=90夕卜，2,;：
3均由0连续增加，分别趋向于90
s「pi二j：
：
_0二Ai£1-：
：
.90
1
jA2—'2
Ti
由此可以概略绘出G（j■）的幅相曲线如图5-21（b）中曲线G1所示。
同理，讨论v=0,2,3时的情况，可以列出表5-2，相应概略绘出幅相曲线分别如图5-21（b）中G°,G2,G3所示。
表5-2例5-3结果列表
V
Gj）
G（j0"）
Gj）
零极点分布
0
G°（jco）=K
（jT^+1）（jT2⑷+1）
KN0，
0/-180=
之
I
-.K
G1（jCO）=
j©（jT^+1）（jT2⑷+1）
叱—90：
0也-270:
IE丿
JL
圈-l/T.
II
K
G2（jcc）=2
（jo）2（jT^+1）（jT^+1）
-180
0£-360=
l-S|J
L
in
K
G3（jco）3
（jc）3（jT^+1）（jT^+1）
叱-270：
0三-450：
J'
5M
当系统在右半s平面不存在零、极点时，系统开环传递函数般可写为
（nm）
K®1心1）,1）
sW「s+1）（T2s+1）…（TyS+1）
开环幅相曲线的起点G（j0）完全由K，确定，而终点G（产）则由n-m来确定
+u=0时
G（jO）l"90・"0时
G（产）=0・-90（n-■m）
而」=0•，二过程中G（j）的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向s二「的矢量之模、相角的变化规律概略绘出。
例5-4已知单位反馈系统的开环传递函数为
Gg:
k（1+2s）s2（0.5s1）（s1）
试概略绘出系统开环幅相曲线
解系统型别v=2，零点一极点分布图如图5-22（a）所示。
显然
（1）起点Gk（jO）-；-180
（2）终点Gk（j：
J=0.-270
（3）
与坐标轴的交点
图5-22极点一零点分布图与幅相特性曲线
概略幅相曲线如图5-22（b）所示
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