高中数学同步讲义必修二第二章231 直线与平面垂直的判定.docx

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高中数学同步讲义必修二第二章231直线与平面垂直的判定

§2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1　直线与平面垂直的判定

学习目标

　1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理解决问题．

知识点一　直线与平面垂直的定义

定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法

l⊥α

有关概念

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足

图示

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

知识点二　直线和平面垂直的判定定理

将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．

思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？

答案　不一定．

思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？

答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．

梳理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

知识点三　直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA

斜足

斜线和平面的交点，图中点A

射影

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO

直线与平面所成的角

定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO

规定：

一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°

取值范围

设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°

1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．（　×　）

2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（　×　）

3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.（　×　）

类型一　线面垂直的定义及判定定理的理解

例1　下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

答案　④⑤

解析　当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．

反思与感悟　

（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．

（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．

跟踪训练1　

（1）若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．（填序号）

答案　

（1）C　

（2）①③④

解析　

（1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．

类型二　线面垂直的判定

例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

证明　

（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由

（1）知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，

所以BD⊥平面SAC.

反思与感悟　

（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；

②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

③根据判定定理得出结论．

（2）平行转化法（利用推论）：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

跟踪训练2　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．

求证：

（1）CD⊥AA1；

（2）AB1⊥平面CED.

证明　

（1）由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以CD⊥AA1.

（2）因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，

AB，A1A⊂平面A1B1BA，

所以CD⊥平面A1B1BA.

因为AB1⊂平面A1B1BA，

所以CD⊥AB1.

又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，

CD，CE⊂平面CED，

所以AB1⊥平面CED.

类型三　直线与平面所成的角

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求A1B与平面AA1D1D所成的角；

（2）求A1B与平面BB1D1D所成的角．

解　

（1）∵AB⊥平面AA1D1D，

∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，

在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，

∴∠AA1B＝45°，

∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.

（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，

∴A1O⊥平面BB1D1D，

∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．

设正方体的棱长为1，则A1B＝

，A1O＝

.

又∵∠A1OB＝90°，

∴sin∠A1BO＝

＝

，又∠A1BO∈[0°，90°]，

∴∠A1BO＝30°，

∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.

反思与感悟　求直线与平面所成角的步骤：

（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．

（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．

（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

跟踪训练3　如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．

解　取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，

∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.

∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE.

∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，

∴BE⊥AC且BE＝

，

又AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，

∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，

又BD＝

BC＝2

，

∴sin∠BDE＝

＝

＝

，

∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.

1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．相交D．不确定

答案　B

解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β

答案　B

解析　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）

A．60°B．45°

C．30°D．120°

答案　A

解析　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝

，即∠ABO＝60°.故选A.

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________．

答案　90°

解析　连接AD1，

∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，

∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2

，E，F分别是AD，PC的中点．证明：

PC⊥平面BEF.

证明　如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，

所以PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形．

又F是PC的中点，所以EF⊥PC.

又BP＝

＝2

＝BC，

F是PC的中点，所以BF⊥PC.

又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，

所以PC⊥平面BEF.

1．直线和平面垂直的判定方法：

（1）利用线面垂直的定义．

（2）利用线面垂直的判定定理．

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．线线垂直的判定方法：

（1）异面直线所成的角是90°.

（2）线面垂直，则线线垂直．

3．求线面角的常用方法：

（1）直接法（一作（或找）二证（或说）三计算）．

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）．

（3）等积法（三棱锥变换顶点，属间接求法）．

一、选择题

1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A．AG⊥△EFH所在平面

B．AH⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

答案　B

解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，

∴AH⊥平面EFH，B正确；

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（　　）

A．平面DD1C1CB．平面A1DB

C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1

答案　D

解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，

∴AD1⊥平面A1DB1.

故选D.

3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直相交

C．垂直但不相交D．相交但不垂直

答案　C

解析　连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D

D．异面直线AD与CB1所成的角为45°

答案　C

解析　由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．

5．下列说法中，正确的有（　　）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

A．2个B．3个C．4个D．5个

答案　B

解析　①④不正确，其他三项均正确．

6．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有（　　）

①BC⊥平面PAB；

②AD⊥PC；

③AD⊥平面PBC；

④PB⊥平面ADC.

A．0个B．1个

C．2个D．3个

答案　D

解析　∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，

∴BC⊥平面PAB，

故①正确；

由BC⊥平面PAB，

得BC⊥AD，

又PA＝AB，D是PB的中点，

∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AD⊥平面PBC，

∴AD⊥PC，故②正确；

由AD⊥平面PBC，

∴③正确．故选D.

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　）

A．90°B．60°

C．45°D．30°

答案　C

解析　如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．

∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，

∵在Rt△DOB中，OD＝OB，

∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.

二、填空题

8．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，

则图中共有直角三角形的个数为________．

答案　4

解析　∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB.

∴BC⊥PB，

同理得CD⊥PD，

故共有4个直角三角形．

9．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．

答案　2

解析　因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝

AB＝

PA，所以tan∠PCA＝

＝2.

10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

答案　∠A1C1B1＝90°

解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.

答案　90°

三、解答题

12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2

，求证：

AD⊥平面PAB.

证明　在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2

，

可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.

又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB.

13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.

（1）求证：

AC⊥B1D；

（2）求三棱锥C－BDB1的体积．

（1）证明　∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴BB1⊥平面ABCD.

∵又AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.

又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD.

∵BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，

∴AC⊥平面BB1D.

∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.

（2）解　

＝

.

∵B1B⊥平面ABCD，

∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．

∵

＝

S△BDC·BB1＝

×

×2×2×2＝

，

∴三棱锥C－BDB1的体积为

.

四、探究与拓展

14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案　D

解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．

15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：

MN⊥平面PCD.

证明　

（1）取PD的中点E，连接NE，AE，如图．

又∵N是PC的中点，

∴NE∥DC且NE＝

DC.

又∵DC∥AB且DC＝AB，

AM＝

AB，

∴AM∥CD且AM＝

CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，

∴∠PDA＝45°，

∴AP＝AD，∴AE⊥PD.

又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD.

∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，

∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，

∴MN⊥平面PCD.