完整版圆锥曲线解题技巧和方法综合经典.docx
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完整版圆锥曲线解题技巧和方法综合经典
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备：
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率ktan,[0,）
③夹角公式：
②点到直线的距离dAx0By0C
k2
1
A2B2
tan
3）弦长公式
直线ykxb上两点A（x1,y1）,B（x2,y2）间的距离：
AB1k2x1x2
（1k2）[（x1x2）24x1x2]或AB1k12y1y2（4）两条直线的位置关系
①l1l2k1k2=-1②l1//l2k1k2且b1b2
2、圆锥曲线方程及性质
（1）、椭圆的方程的形式有几种？
（三种形式）
标准方程：
22
xy1（m0,n0且mn）mn
距离式方程：
（xc）2y2（xc）2y22a
参数方程：
xacos,ybsin
（2）、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
xy1（mn0）
mn
距离式方程：
|（xc）2y2（xc）2y2|2a
（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
椭圆：
2b；双曲线：
2b；抛物线：
2paa
（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：
已知F1、
22
F2是椭圆x4y31的两个焦点，
平面内一个动点M
足MF1
MF22则动点M的轨迹是（
A、双曲线；
B、双曲线的一支；C、两条射线；
D、一条射线
（5）、焦点三角形面积公式：
P在椭圆上时，SF1PF2
b2tan
2P在双曲线上时，SFPFbcot
|PF|2|PF|24c2uuuruuuuruuuruuuur其中F1PF2,cos|PF1||PF1||P|FP2F|2|4c,uPuFur1?
uPuFuur2|uPuuFr1||uuPuFur2|cos
（6）、记住焦半径公式：
（1）
椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上时为aey0
，可简记为“左加右减，上加下减”
（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a
（3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|2p,焦点在y轴上时为|y1|2p
（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
2
设Ax1,y1
Bx2,y2，Ma,b为椭圆x4
y1的弦AB中点则有
3
22222222x1y11，x2y21；两式相减得x1x2y1y20
434343
x1x2x1x2y1y2y1y23a
43kAB=4b
2、联立消元法：
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？
经典套路是什么？
如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A（x1,y1）,B（x2,y2），将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：
第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为900可得出AB⊥AC，从而得x1x2y1y214（y1y2）160，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：
（1）设B（x1,y1）,C（x2,y2）,BC中点为（x0,y0）,F（2,0）则有
2222x1y11,x2y220161,2016
两式作差有
（x1x2）（x1x2）
（y1y2）（y1y2）
20
16
0x0y0k
054
0
（1）
F（2,0）为三角形重心，所以由
x1x2
3
2，
得x0
3，
由y1
3y240得
2，代入
（1）得k65
直线BC的方程为6x5y28
y0
2）由AB⊥AC得x1x2y1y214（y1y2）
16
2）
（4
直线BC方程为y
5k2）x210bkx5b2800
kx
b,代入4x2
5y2
80
，得
x1
10kb5b280
x245k2，x1x245k2
y1
8k
y245k2,y1y2
4b802k代入
45k2
2）
式得
2
9b232b16
45k2
0，解得b4（舍）或b
直线过定点
0，94），设D
x,y），则
1，即
22
9y29x232y
160
所以所求点D
的轨迹方程是x2（y
4、设而不求法
4
y
16220）2（
196）2（290）2（y
例2、如图，已知梯形ABCD中AB
2CD，点E分有向线段
AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当23
时，求双曲线离心率e的取值范围。
分析：
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念
和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建
立直角坐标系xOy，如图，若设Cc2,h
，代入x2
22
y
b2
1，求得hL，
进而求得xEL,yE
2
L,再代入x22
a2
2y2b2
1，
建立目标函数
f（a,b,c,）0，整理f（e,）0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数f（a,b,c,）0，整理f（e,）0,化繁为简.
解法一：
如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，
建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、
B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称
aba
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ec代入双曲线方a
程得
e2
4
h21，
b21，
①
e2
4
2h221
11b21
②
由①式得
h2
b2
2
e421，
③
将③式代入②式，整理得
e2
4
4
4
1
2
1
3
2e
1
34得，
2
1
3
3
3
2e
2
4
故
由题设2
3
解得7e10
所以双曲线的离心率的取值范围为7,10
分析：
考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,
AE
AC用E,C的横坐
标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略．
解法二：
建系同解法一，
xE
AE
aexE,AC
exC，
，又AAEC
1，代入整理
e231，由题
设3243得，321e23243
解得7e10
所以双曲线的离心率的取值范围为7,10
5、判别式法
例3已知双曲线C:
y2x21，直线l过点A2,0，斜率为k，当0k122
时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的
值及此时点B的坐标。
分析1：
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：
过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式
0.由此出发，可设计如下解题思路：
l:
yk（x2）0k1
直线l'在l的上方且到直线l的距离为2
l':
ykx2k222k
把直线l'的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0
解得k的值
解题过程略.
分析2：
如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式
表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：
转化为一元二次方程根的问题
求解
简解：
设点M（x,2x2）为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：
0k1
kx2x22k
2k21
于是，问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0k1，所以2x2xkx，从而有
于是关于x的方程
kx2x22k2（k21）
2
2x2（2（k21）2kkx）2,
2（k21）2kkx0
2
k21x22k2（k21）2kx2（k21）2k20,
2（k21）2kkx0.
由0k1可知：
2
方程k21x22k2（k21）2kx2（k21）2k20的二根同正，故2（k21）2kkx0恒成立，于是等价于
2
k21x22k2（k21）2kx2（k21）2k20.
由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得
25
k.
5点评：
上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:
x22y28和点P（4，1），过P作直线交椭圆于
A、B两点，在线段AB上取点Q，使
AP
PB
AQ
QB
求动点Q的轨迹所
在曲线的方程.
分析：
这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q（x,y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？
一方面利用点Q在
直线AB上；另一方面就是运用题目条件：
AP
PB
AQ
QB
来转化.由A、B、
P、Q四点共线，不难得到x4（xAxB）2xAxB，要建立x与k的关系，只需8（xAxB）
将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于
如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到xfk之后，如果能够从整体上把握，认识到：
所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由yk（x4）1解得ky1，直接代入xfk即可得到轨迹方程。
从而简化消去参的过x4
程。
简解：
设Ax1,y1,B（x2，y2）,Q（x,y），则由APAQ可得：
4x1xx1，PBQBx24x2x
解之得：
x4（x1x2）2x1x2
（1）
8（x1x2）
设直线AB的方程为：
yk（x4）1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：
22
2k21x24k（14k）x2（1
4k）2
80
2）
4k（4k1）
x1x22,
2k21
2（14k）28
x1x22
2k21
简得
4k3x
k2
（3）
与y
k（x4）
1联立，消去k得：
2x
y4（x4）
0.
在
（2）中，由
2
64k264k24
0，解得210k
210，结合（3）
4
可求得16210x
16210
9
故知点Q的轨迹方程为：
2xy
40（16210x16210）.
99
点评：
由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元
二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
22
例5设直线l过点P（0，3），和椭圆x9y41顺次交于A、B两点，
94
试求AP的取值范围.
PB
分析：
本题中，绝大多数同学不难得到：
AP=xA，但从此后却一
PBxB筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：
其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1:
从第一条想法入手，APBP=xA已经是一个关系式，但由于有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得
出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
简解1：
当直线l垂直于x轴时，可求得PABP15;
当l与x轴不垂直时，设Ax1,y1,B（x2，y2），直线l的方程为：
ykx3，代入椭圆方程，消去y得9k24x254kx450
解之得x1,2
27k69k25
9k24
形.
因为椭圆关于
y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k0的情
当k
0时，
x1
27k69k25
，x2
所以
AP
PB
9k24
9k29k25=1x29k29k25
2
27k69k25，
x1
9k24
18k
9k29k251
18
9295k2
54k）21809k2
40,解得k2
5
9，
所以
综上
18
11
92952
k2
AP1
1.
PB5
1，
5
分析2:
如果想构造关于所求量的不等式，
则应该考虑到：
判别式
往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因
在于APPB
x1不是关于x1,x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的x2
方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.
简解2：
设直线l的方程为：
ykx3，代入椭圆方程，
消去
y得
22
9k*24x2
54kx450
*）
x2
x1
则1
x1x2
54k,
2,
9k24
令x1
x2
则，1
324k2
45k220
在（*）
由判别式
0,可得k2
5
9，
从而有
2
324k2
42
45k220
356，所以
36，
5，
解得
结合0
1得11.
5
综上，
AP1
1.
PB5
点评：
范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里
第三、推理训练：
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。
以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。
在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AFFB1，OF1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：
是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？
若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：
uuuruuur由AF?
FB
uuur
1，OF
（ac）（ac）1，c1
a2,b1
写出椭圆方程
Ⅱ）
xm
2y22
消元
两根之和，
两根之积
uuuruuur
得出关于
解出m
MP?
FQ0
m的方程
22
3x4mx2m20
由F为PQM的重心
PQMF,MPFQ
kPQ
1
解题过程：
Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为ax2by21（ab0）,则c1ab
又∵AFFB1即（ac）（ac）
222ac，∴a
x2
故椭圆方程为x2y21
Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，
设P（x1,y1）,Q（x2,y2），∵M（0,1）,F（1,0），故kPQ1，
于是设直线l为
y
xm，
由
y
2x
xm得，
2得，
2y22
3x24mx2m2
2
0
uuur∵MP
uuur
FQ
0
x1（x21）
y2（y1
1）
又yi
xi
m（i
1,2）
得x1（x2
1）
（x2
m）（x1
m1）
0
即
2x1x2（x1x2）（m1）m2m0由韦达定理得
2
2m24m2
2（m1）m2m0
33
44
解得m3或m1（舍）经检验m3符合条件．33
点石成金：
垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
A（2,0）、B（2,0）、C1,3三点．
2
（Ⅰ）求椭圆E的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（1,0）,H（1,0），
当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；
思维流程：
由椭圆经过A、B、C三点
设方程为mx2ny21得到m,n的方程
解出m,n
由DFH内切圆面积最大
转化为DFH面积最大
转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大
D为椭圆短轴端点
DFH面积最大值为3
SDFH
2周长r内切圆
得出D点坐标为
0,
解题过程：
（Ⅰ）设椭圆方程为mx2ny21m0,n0，将
A（2,0）、B（2,0）、C（1,23）代入椭圆E的方程，得
4m1,22
9解得m1,n1.∴椭圆E的方程xy1．
mn14343
4
1
Ⅱ）|FH|2，设ΔDFH边上的高为SDFH12hh
DFH2
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以SDFH的最大值为3．
设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，
SDFH1R6DFH2
所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为（0,3）
33.
点石成金：
S的内切圆2的周长r的内切圆
例8、已知定点C（1，0）及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆
相交于A，B两点.
Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是1，求直线AB的方程；Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？
若存在，求出
点M的坐标；若不存在，请说明理由
思维流程：
yk（x1），
Ⅰ）解：
依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
将yk（x1）代入x23y25，
消去y整理得（3k2
22
1）x26k2x
2
3k250.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
36k44（3k21）（3k25）则6k2
x1x22.
123k21
0，
（1）
x2
（2）
线段AB中点的横坐标是
得x1x2
2
3k2
3k21
12，解得
k3，符合题意。
3
所以直线AB的方程为x3y1
0，
或x3y
0.
Ⅱ）解：
假设在x轴上存在点
M（m,0），使MAMB为常数.
①当直线AB与x轴不垂直时
由（Ⅰ）知
6k2
x1x22，
123k21
uuuruuur
所以MAMB（x1
3k25x1x22.
123k21
m）（x2m）y1y2
（3）
（x1m）（x2m）
2
k2（x11）（x21）
（k21）x1x2（k2m）（x1x2）k2m2.将（3）代入，整理得
uuuruuur
MAMB
1214
（6m1）k252（2m31）（3k21）2m13422m2323m23k213k21
216m14
m2m2
33（3k
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