完整版圆锥曲线解题技巧和方法综合经典.docx

1、完整版圆锥曲线解题技巧和方法综合经典圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 k tan , 0, )夹角公式： 点 到 直 线 的 距 离 d Ax0 By0 Ck21A2 B2tan3)弦长公式直线 y kx b上两点 A(x1, y1), B( x2 , y2 )间的距离： AB 1 k2 x1 x2(1 k 2 )( x1 x2)2 4x1x2 或 AB 1 k12 y1 y2 (4)两条直线的位置关系l1 l2 k1k2=-1 l1 /l2 k1 k2且b1

2、 b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y 1(m 0,n 0且 m n) mn距离式方程：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程： x y 1(m n 0)mn距离式方程：| (x c)2 y2 (x c) 2 y2 | 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b ；双曲线：2b ；抛物线：2 p aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知 F1、22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点，平面内一个动点 M足 MF1MF2 2 则动点 M 的轨迹

3、是(A、双曲线；B、双曲线的一支； C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P在椭圆上时， S F1PF2b2 tan2 P在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F1PF2 ,cos | PF1|PF1|P|FP2F|2 | 4c ,uPuFur1?uPuFuur2 |uPuuFr1 |uuPuFur2 |cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x轴上时为 a ex0 ;焦点在 y轴上时为 a ey0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x轴

4、上时为 e|x0 | a(3) 抛物线焦点在 x轴上时为 | x1 | 2p ,焦点在 y轴上时为 | y1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2设 A x1, y1B x2,y2 ， M a,b 为椭圆 x 4y 1的弦 AB 中点则有32 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 1， x2 y2 1；两式相减得 x1 x2 y1 y2 04 3 4 3 4 3x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 3a4 3 kAB = 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

5、设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x1, y1), B(x2 , y2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 1 2 两个式子，然后 1-2 ，整体消元，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A、B、 F 共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为 y kx b ，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x2 5y 2 80上，且点 A 是椭圆短轴

6、的一个端点(点 A 在 y 轴正半轴上) .(1)若三角形 ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程 ; (2)若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦 BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角 A 为900可得 出 ABAC，从而得 x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0 ，然后利用联立消元 法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：(1)设 B( x1, y1),C(x2 , y2 ),BC 中点为 ( x0,y0 ),F(2,0)则有2 2 2 2 x1 y1 1,

7、x2 y2 20 16 1,20 16两式作差有(x1 x2)(x1 x2 )(y1 y2)(y1 y2)20160 x0 y0k0 5 40 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由x1 x232，得 x03，由 y13y2 4 0得2，代入( 1)得 k 65直线 BC 的方程为 6x 5y 28y02)由 ABAC 得 x1x2 y1y2 14(y1 y2)162)(4直 线 BC 方 程 为 y5k 2)x2 10bkx 5b2 80 0kxb,代入 4x25y280，得x110kb 5b2 80x2 4 5k2 ， x1x2 4 5k2y18ky2 4 5k2 ,y1y24b 802k

8、 代入4 5k 22)式得29b2 32b 164 5k 20，解得 b 4(舍) 或b直线过定点0， 94) ， 设 Dx,y)，则1，即229y2 9x2 32y16 0所以所求点 D的轨迹方程是 x2 (y4、设而不求法4y16 2 20)2(196)2 (290)2(y例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 AB2CD ，点 E 分有向线段AC所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当 23时，求双曲线离心率 e 的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ，如

9、图，若设 C c2,h，代入 x222yb21，求得 h L ，进 而 求 得 xE L ,yE2L , 再 代 入 x22a22 y2 b21，建立目标函数f(a,b,c, ) 0，整理 f(e, ) 0，此运算量可见是难上加难 .我们对 h可 采取设而不求的解题策略 ,建立目标函数 f(a,b,c, ) 0，整理 f(e, ) 0 ,化繁为简 .解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为 y轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xOy ，则 CD y轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C 、 D 关于 y 轴对称a b a由点 C、E 在双曲线上，将点

10、C、E 的坐标和 e c 代入双曲线方 a程得e24h2 1 ，b2 1 ，e242 h22 11 1 b2 1由式得h2b22e42 1，将式代入式，整理得e244412132 e134得，213332 e24故由题设 23解得 7 e 10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 10分析：考虑 AE , AC 为焦半径 ,可用焦半径公式 ,AE, AC 用 E,C 的横坐标表示，回避 h的计算 , 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，xEAEa exE , ACexC ，又 AAEC1 ，代入整理e23 1，由题设 32 43 得， 32 1 e23 2 43解得 7 e 10所以

11、双曲线的离心率的取值范围为 7 , 105、判别式法例3已知双曲线 C: y2 x2 1，直线l过点 A 2,0 ，斜率为 k，当0 k 1 22时，双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线 l的距离为 2 ，试求 k的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段 . 从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 l 平行的直线，必 与双曲线 C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路：l : y k(x 2) 0 k 1直线 l在 l的上方且到直线

12、 l 的距离为 2l: y kx 2k2 2 2k把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0解得k的值解题过程略 .分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ”，相当于化归 的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点 M(x, 2 x2) 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直 线l 的距离为：0k1kx 2 x 2 2k2 k 2 1于是，问题即可转化为如上关于 x的方程 .由于 0 k 1，所以 2 x2 x kx ，从而有于是关于 x 的方程kx 2 x2

13、2k 2(k 2 1)22 x2 ( 2(k2 1) 2k kx)2 ,2(k 2 1) 2k kx 02k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x 2(k2 1) 2k 2 0,2(k 2 1) 2k kx 0.由 0 k 1 可知：2方程 k2 1x2 2k 2(k2 1) 2k x 2(k2 1) 2k 2 0的二根同 正，故 2(k 2 1) 2k kx 0 恒成立，于是 等价于2k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x 2(k2 1) 2k 2 0.由如上关于 x 的方程有唯一解，得其判别式 0 ，就可解得25k.5 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了

14、 全局观念与整体思维的优越性 .例 4 已知椭圆 C:x2 2y2 8和点 P(4，1)，过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使APPBAQQB求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程 .分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往 往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 . 因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表 达，最后通过消参可达到解题的目的 .由于点 Q( x, y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率 k作为参数，如何将 x, y与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另

15、一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 x 4(xA xB) 2xAxB ，要建立 x与k 的关系，只需 8 (xA xB )将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可 .通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数 .在得到 x f k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参， 目的不过是得到关于 x, y的方程(不含 k)，则可由 y k(x 4) 1 解得 k y 1 ，直接代入 x f k 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 x4程。简解：设A x1,y1 ,B(x2，y2

16、),Q(x,y) ，则由 AP AQ 可得：4 x1 x x1 ， PB QB x2 4 x2 x解之得： x 4(x1 x2) 2x1 x2 (1)8 (x1 x2 )设直线 AB 的方程为： y k(x 4) 1，代入椭圆 C 的方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程：222k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(14k)2802)4k(4k 1)x1 x2 2 ,2k2 12(1 4k)2 8x1x2 22k 2 1简得4k 3 xk2(3)与yk(x 4)1联立，消去 k 得：2xy 4 (x 4)0.在(2)中，由264k 2 64k 240 ，解得 2 10 k2 10 ，结

17、合( 3)4可求得 16 2 10 x16 2 109故知点 Q 的轨迹方程为： 2x y4 0 ( 16 2 10 x 16 2 10 ) .99点评： 由方程组实施消元 ，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到 . 这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 .6、求根公式法22例 5 设直线 l过点 P（0，3），和椭圆 x9 y4 1顺次交于 A、B两点，94试求 AP的取值范围 .PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： AP= xA ，但从此后却一PB xB 筹

18、莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够 . 事实上，所谓求取 值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系 .分析 1:从第一条想法入手， APBP = xA 已经是一个关系式，但由于 有两个变量 xA,xB ，同时这两个变量的范围不好控制， 所以自然想到利 用第 3 个变量直线 AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将 xA,xB 转化 为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 .所求量的取值范围简解 1：

19、当直线 l垂直于 x轴时，可求得 PABP 15;当l 与 x 轴不垂直时，设 A x1,y1 ,B（x2，y2），直线 l的方程为：y kx 3 ，代入椭圆方程，消去 y得 9k2 4 x2 54kx 45 0解之得 x1,227k 6 9k2 59k2 4形.因为椭圆关于y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 k 0 的情当k0时，x127k 6 9k 2 5， x2所以APPB9k 2 49k 2 9k2 5 =1 x2 9k 2 9k 2 5227k 6 9k2 5 ，x19k2 418k9k 2 9k 2 5 1189 2 9 5k254k)2 180 9k24 0, 解得

20、k259，所以综上18119 2 9 5 2k2AP 11.PB 51，5分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式往往是产生不等的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值 范围，于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来 . 一般来说，韦达 定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 APPBx1 不是关于 x1,x2的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的 x2方法自然也就有了，即我们可以构造关于 x1,x2 的对称关系式 .简解 2：设直线 l 的方程为： y kx 3 ，代入椭圆方程，消去y得229k * 2 4 x254kx 45

21、 0*）x2x1则1x1x254k ,2,9k2 4令 x1x2则， 1324k245k 2 20在（*）由判别式0, 可得 k259，从而有2324k24245k 2 20356 ，所以36 ，5，解得结合01 得 1 1.5综上，AP 11.PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值 不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 . 本题 也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法 .解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜

22、千里第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式， 它是数学求解的核心。 以已知的真实数学命题， 即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。 在推理过程中， 必须注意所使用的命题 之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑， 快速提高解题能力。例 6椭圆长轴端点为 A,B ， O为椭圆中心， F 为椭圆的右焦点， 且 AF FB 1， OF 1 （）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为 M ，直线 l交椭圆于 P,Q两点，问：是否 存在直线 l，使点

23、 F 恰为 PQM 的垂心？若存在，求出直线 l的方程; 若不存在，请说明理由。思维流程：uuur uuur 由 AF ?FBuuur1，OF(a c)(a c) 1， c 1a 2,b 1写出椭圆方程）xm2 y 2 2消元两根之和，两根之积uuur uuur得出关于解出 mMP ? FQ 0m 的方程223x 4mx 2m 2 0由 F 为 PQM 的重心PQ MF,MP FQk PQ1解题过程：）如图建系，设椭圆方程为 ax2 by2 1(a b 0),则 c 1 ab又 AF FB 1 即 (a c) (a c)2 2 2 a c ， ax2故椭圆方程为 x2 y2 1）假设存在直线

24、l 交椭圆于 P,Q 两点，且 F 恰为 PQM 的垂心，设 P(x1,y1),Q(x2,y2)， M (0,1),F (1,0) ，故 kPQ 1，于是设直线l为yx m ，由y2 xx m 得 ，2 得 ，2 y2 23x 2 4mx 2m220uuur MPuuurFQ0x1 (x2 1)y2( y11)又 yixim(i1,2)得 x1( x21)(x2m)(x1m 1)0即2x1x2 ( x1 x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得22m 2 4m 22 ( m 1) m2 m 03344解得 m 3 或 m 1(舍) 经检验 m 3 符合条件 33点石成金： 垂心的特点是垂心

25、与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两 向量乘积为零例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上， 且经过A( 2,0) 、 B(2,0) 、 C 1,3 三点2()求椭圆 E 的方程：()若点 D 为椭圆 E上不同于 A 、B的任意一点， F( 1,0), H (1,0) ，当DFH 内切圆的面积最大时，求 DFH 内心的坐标；思维流程：由椭圆经过 A、 B、C 三点设方程为 mx2 ny2 1 得到 m,n 的 方程解出 m,n由 DFH 内切圆面积最大转化为 DFH 面积最大转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大D 为椭圆短轴端点DFH 面积最大值为 3S DFH2 周长 r内

26、切圆得出 D 点坐标为0,解题过程： ()设椭圆方程为 mx2 ny2 1 m 0,n 0 ， 将A( 2,0) 、 B(2,0) 、C(1,23)代入椭圆 E 的方程，得4m 1, 2 29 解得 m 1 , n 1 . 椭圆 E 的方程 x y 1 m n 1 4 3 4 341） |FH | 2 ，设DFH 边上的高为 S DFH 1 2 h hDFH 2当点 D在椭圆的上顶点时， h最大为 3，所以 S DFH 的最大值为 3设DFH 的内切圆的半径为 R，因为 DFH 的周长为定值 6所以，S DFH 1 R 6 DFH 2所以 R的最大值为 3 所以内切圆圆心的坐标为 （0, 3）

27、3 3 .点石成金：S 的内切圆 2 的周长 r 的内切圆例 8、已知定点 C（ 1，0）及椭圆 x2 3y2 5，过点 C的动直线与椭圆相交于 A，B 两点.）若线段 AB 中点的横坐标是 1，求直线 AB 的方程； ）在 x轴上是否存在点 M ，使 MA MB为常数？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由思维流程：y k(x 1) ，）解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线 AB 的方程为将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5 ，消去 y 整理得 （3k2221)x2 6k2x23k2 5 0.设 A( x1， y1)，B( x2，y2 )，36k4 4(3k2 1)(3

28、k2 5) 则 6k2x1 x2 2 .1 2 3k2 10，(1)x2(2)线段 AB 中点的横坐标是得 x1 x223k23k2 112，解得k 3 ，符合题意。3所以直线 AB 的方程为 x 3y 10，或 x 3y0.）解：假设在 x 轴上存在点M (m,0) ，使 MA MB 为常数 . 当 直 线 AB 与 x 轴 不 垂 直 时由（）知6k2x1 x2 2 ，1 2 3k2 1uuur uuur所以 MA MB (x13k2 5 x1x2 2 .1 2 3k2 1m)(x2 m) y1y2(3)(x1 m)(x2 m)2k2(x1 1)(x2 1)(k2 1)x1x2 (k2 m)(x1 x2) k2 m2.将(3) 代入，整理得uuur uuurMA MB1 2 14(6m 1)k2 5 2 (2m 31)(3k2 1) 2m 134 2 2 m2 3 2 3 m2 3k2 1 3k2 12 1 6m 14m 2m 23 3(3k