数学分析课本华师大三版习题集与答案解析第十二章.docx
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数学分析课本华师大三版习题集与答案解析第十二章
第十二章数项级数
证明题
1．证明下列级数的收敛性,并求其和:
2n1
（5）
（4）（n22n1n）;
2n
2.证明:
若级数un发散,则Cun也发散（c≠0）.
3.证明:
若数列{an}收敛于a,则级数（anan1）a1-a.
4．证明:
若数列{bn}有limbn,则
n
（1）级数（bn1bn）发散;
111
（2）当bn≠0时,级数
nbn1b1
5.证明级数un收敛的充要条件是:
任给正数ε,有某自然数
N,对一切n>N总有
|uN+un+1+⋯+un|<ε
6.设un、vn为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N0,有
un1vn1
unvn
7.设正项级数an收敛,证明级数a2n也收敛;试问反之是
否成立?
8.设an≥0,且数列{nan}有界，证明级数a2n收敛.
9.
证明下列极限
10.设{an}为递减正项数列,证明:
级数an与2ma2m同时
n1m0
收敛或同时发散
a
11.设an>0,bn>0,Cn=bnnbn+1,证明:
an1
（1）若存在某自然数
N0及常数K,当n>N0时,有Cn≥k>0,
则级数an收敛;
n1
发散.
a
13.设级数an2收敛,证明级数n（an0）也收敛.
n
14.设an>0,证明数列{（1+a1）（1+a2）⋯（1+an）}与级数an同时
收敛或同时发散
15.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛
性:
16.
设an>0,an>an+1（n=1,2,⋯）且liman=0,证明级数
n
（1）n1a1a2an
是收敛的
17.设pn|un|un,gn|un|un,证明:
若un条件收
敛,则级数pn与qn都是发散的.
二、计算题
1.试讨论几何级数（也称为等比级数）
a+r+ar2+⋯+arn+⋯（a≠0）
的敛散性.
2.设级数un与vn都发散,试问（unvn）一定发散
吗?
又若un与vn（n=1,2,⋯）都是非负数,则能得出什么结论?
3.求下列级数的和:
（1）
1
（an1）（an）
（2）
（1）
2n1
n（n1）
（3）
22
（n21）[（n1）21]
2n1
4.
应用柯西准则判别下列级数的敛散性
5.
应用比较原则判别下列级数的敛散性
（5）1cos1;
n
（6）
nn1n;
nn
（7）
an1a1n2,（a0）;nn
（8）
（lnn1）lnn.
n2（lnn）
6.用积分判别法讨论下列级数的敛散性
（1）
n211
（2）
n
n21
（3）
n3nlnnln（lnn）
（4）
n3n（lnn）p（lnlnn）q
7.判别下列级数的敛散性:
（1）3nnn!
n
（2）
n
2
2n2n2
（3）
1n2lnn
（4）（na1）,（a1）;
13（2n1）1
（5）
242n2n1
8.求下列极限（其中P>1）:
（1）lnimp1p1p
n（n1）p（n2）p（2n）p
1
2n
p
9.下列级数哪些是绝对收敛
条件收敛或发散的:
（1）sinnx
n!
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
10.写出
（1）
（1）n
n
n1
（1）n
n2
（1）nsin;
n
（
（1）n
（n
n
（1）nln（n1）;n1
n2n100n
（1）n（23nn1010）n;
n!
（xn）n;
sinnx（0x2）;n1lnn
1
（1）nn.
列级数的乘积
n1!
n
（1）
n0n!
n0n!
（2）
三、考研复习题
1.证明:
若正项级数un收敛,且数列｛un｝单调,则limun0.
n
2.若级数an与Cn都收敛,且成立不等式
an≤bn≤Cn（n=1,2,⋯）
证明级数bn也收敛.若级数an,Cn都发散,试问
bn一定发散吗?
3.若limank0,且级数bn收敛,证明级数an也收
nbnnn
敛.若上述条件中只知道bn收敛,能推得an收敛吗?
4.
（1）设un为正项级数,且un1<1,能否断定级数un收
un
敛?
（2）对于级数un有|un1|≥1,能否断定级数un不绝
un
对收敛,但可能条件收敛.
（3）设un为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得
limunC0
n1
1ε
n
5.证明:
若级数an收敛,（bn1bn）绝对收敛,则级数
anbn也收敛.
1
6.证明级数是发散的.
abn
7.讨论级数
1
p,（p>0）
n2n（lnn）p
的敛散性.
8.设an>0,证明级数
an
（1a1）（1a2）（1an）
是收敛的.
9.证明:
若级数an2与b2n收敛,则级数anbn和
（anbn）2也收敛,且
anbnan2b2n
111
anbn22an22bn22
10.证明:
（1）设an为正项级数,若
un收敛,
anan1
0,
（2）若级数
1
发散,且
0,
lnimuunanan1nun1nn1
则正项级数un发散.
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