数学兴趣小组活动记录.docx
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数学兴趣小组活动记录
梁村中学数学兴趣小组活动记
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1、善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则;3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。
活动过程
(教案)
第一讲有理数
一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算:
三、例题示范
1、数轴与大小
例1、已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少?
满足条件的点B有多少个?
例2、将
这四个数按由小到大的顺序,用“?
”连结起来。
提示1:
四个数都加上1不改变大小顺序;
提示2:
先考虑其相反数的大小顺序;
提示3:
考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴,用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。
试确定三个数
的大小关系。
分析:
由点B在A右边,知b-a?
0,而A、B都在原点左边,故ab?
0,又c?
1?
0,故要比较
的大小关系,只要比较分母的大小关系。
例4、在有理数a与b(b?
a)之间找出无数个有理数。
提示:
P=
(n为大于是的自然数)
注:
P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号
在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?
提示:
造零:
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注:
造零的基本技巧:
两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧
例6、计算?
1?
2?
3?
…?
2000?
2001?
2002
提示:
1、逆序相加法。
2、求和公式:
S=(首项+末项)?
项数?
2。
例7、计算1+2?
3?
4+5+6?
7?
8+9+…?
2000+2001+2002
提示:
仿例5,造零。
结论:
2003。
例8、计算
提示1:
凑整法,并运用技巧:
199…9=10n+99…9,99…9=10n?
1。
例9、计算
提示:
字母代数,整体化:
令
,则
例10、计算
(1)
;
(2)
提示:
裂项相消。
常用裂项关系式:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
。
例11计算
(n为自然数)
例12、计算1+2+22+23+…+22000
提示:
1、裂项相消:
2n=2n+1?
2n;2、错项相减:
令S=1+2+22+23+…+22000,则S=2S?
S=22001?
1。
例13、比较
与2的大小。
提示:
错项相减:
计算
。
活动小结
通过夯实知识的内在联系,培养了学生思维的缜密性,初步发展了学生独立思考问题的能力
梁村中学数学兴趣小组活动记录
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学小组活动室
活动目的
1、理解绝对值的代数意义。
2、理解绝对值的几何意义。
3.掌握绝对值的性质。
活动过程
(教案)
第二讲绝对值
一、知识要点
3、绝对值的代数意义;
4、绝对值的几何意义:
(1)|a|、
(2)|a-b|;
5、绝对值的性质:
(1)|-a|=|a|,|a|?
0,|a|?
a;
(2)|a|2=|a2|=a2;
(3)|ab|=|a||b|;(4)
(b?
0);
4、绝对值方程:
(1)最简单的绝对值方程|x|=a的解:
(2)解题方法:
换元法,分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键:
(1)去掉绝对值符号;
(2)运用性质;(3)分类讨论。
三、例题示范
例1已知a?
0,化简|2a-|a||。
提示:
多重绝对值符号的处理,从内向外逐步化简。
例2已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b=,满足条件的a有几个?
例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图,化简:
|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
例4已知a、b、c是有理数,且a+b+c=0,abc?
0,求
的值。
注:
对于轮换对称式,可通过假设使问题简化。
例5已知:
例6已知
,化简:
m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7已知|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范围。
提示:
1、根轴法;2、几何法。
例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|?
7。
提示:
1、根轴法;2、几何法。
例9m为有理数,求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示:
结合几何图形,就m所处的四种位置讨论。
结论:
最小值为8。
例10(北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数,
且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于___6_______.
例11(1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15.对于满足p≤x≤15的x的来说,T的最小值是多少?
解由已知条件可得:
T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.
∵当p≤x≤15时,上式中在x取最大值时T最小;当x=15时,T=30-15=15,故T的最小值是15.
例12?
?
若两数绝对值之和等于绝对值之积,且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证?
设两数为a、b,则|a|+|b|=|a||b|.
∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1).
∵ab≠0,∴|a|>0,|b|>0.∴|b|-1=
>0,∴|b|>1.
同理可证|a|>1.∴a、b都不在-1与1之间.
活动小结
?
?
?
?
?
?
?
?
通过解答习题,培养了学生的探索精神与举一反三的能力。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
理解掌握解方程(组)的基本思想:
消元(加减消元法、代入消元法)。
活动过程
(教案)
第三讲一次方程(组)
一、基础知识
1、方程的定义:
含有未知数的等式。
2、一元一次方程:
含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。
3、方程的解(根):
使方程左右两边的值相等的未知数的值。
4、字母系数的一元一次方程:
ax=b。
其解的情况:
5、一次方程组:
由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。
常见的是二元一次方程组,三元一次方程组。
6、方程式组的解:
适合方程组中每一个方程的未知数的值。
7、解方程组的基本思想:
消元(加减消元法、代入消元法)。
二、例题示范
例1、解方程
例2、关于x的方程
中,a,b为定值,无论k为何值时,方程的解总是1,求a、b的值。
提示:
用赋值法,对k赋以某一值后求之。
例3、(第36届美国中学数学竞赛题)设a,a'b,b'是实数,且a和a'不为零,如果方程ax+b=0的解小于a/x+b'=0的解,求a,a'b,b'应满足的条件。
例4解关于x的方程
.
提示:
整理成字母系数方程的一般形式,再就a进行讨论
例5k为何值时,方程9x-3=kx+14有正整数解?
并求出正整数解。
提示:
整理成字母系数方程的一般形式,再就k进行讨论。
例6(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?
分析?
?
依题意,即要证明存在一组与a无关的x,y的值,使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立,令a取两个特殊值(如a=1或a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证,
本例的另一典型解法
例7(1989年上海初一试题),方程
并且abc≠0,那么x____
提示:
1、去分母求解;2、将3改写为
。
例8(第4届美国数学邀请赛试题)若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组:
确定3x4+2x5的值.
说明:
整体代换方法是一种重要的解题策略.
例9解方程组
提示:
仿例8,注意就m讨论。
提示:
引进新未知数
活动小结
理解和掌握了解方程(组)的一般方法
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.学会将生活语言代数化;
2.掌握一定的设元技巧(直接设元,间接设元,辅助设元);
3.学会寻找数量间的等量关系。
活动过程
(教案)
第四讲列方程(组)解应用题
一、知识要点
1、列方程解应用题的一般步骤:
审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.
2、列方程解应用题要领:
4.善于将生活语言代数化;
5.掌握一定的设元技巧(直接设元,间接设元,辅助设元);
6.善于寻找数量间的等量关系。
二、例题示范
1、合理设立未知元
例1一群男女学生若干人,如果女生走了15人,则余下的男女生比例为2:
1,在此之后,男生又走了45人,于是男女生的比例为1:
5,求原来男生有多少人?
提示:
(1)直接设元
(2)列方程组:
例2?
在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?
例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书,如果甲减2本,乙加2本,丙增加一倍,丁减少一半,则四个孩子的书就一样多,问每个孩子原来各有多少本书?
提示:
(1)设四个孩子的书一样多时每人有x本书,列方程;
(2)设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书,列方程组:
例4(1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒?
提示:
用列表法分析数量关系。
例5如果某一年的5月份中,有五个星期五,它们的日期之和为80,求这一年的5月4日是星期几?
提示:
间接设元.设第一个星期五的日期为x,
例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进,第一次相遇在距A点700米处,然后继续前进,甲到B地,乙到A地后都立即返回,第二次相遇在距B点400米处,求A、B两地间的距离是多少米?
提示:
直接设元。
例7某商场经销一种商品,由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率。
提示:
商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为:
商品利润率=[(商品售价—商品进价)?
商品进价]?
100%。
例8?
(1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用
小时,求A、B两地相距多少千米?
提示:
1?
(选间接元)设坡路长x千米
2选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米,A、B两地相距y千米
3(选间接元)设下坡需x小时,上坡需y小时,
2、设立辅助未知数
例9(1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少?
提示:
引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价(固定不变)的等式。
例10(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?
提示:
?
采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2。
例11 有一片牧场,草每天都在匀速生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草,设每头牛吃草的量是相等的,问如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草.
提示 设每头牛每天吃草量是x,草每天增长量是y,16头牛z天吃完牧草,再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。
活动小结
初步掌握了运用方程(组)解决实际问题的方法
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解乘方运算的意义。
2.掌握乘方运算性质。
活动过程
(教案)
第五讲整数指数
一、知识要点
1、定义:
(n?
2,n为自然数)
2、整数指数幂的运算法则:
(1)
(2)
(3)
,
,
3、规定:
a0=1(a?
0)a?
p=
(a?
0,p是自然数)。
4、当a,m为正整数时,am的末位数字的规律:
记m=4p+q,q=1,2,3之一,则
的末位数字与
的末位数字相同。
二、例题示范
例1、计算
(1)55?
23
(2)(3a2b3c)(?
5a3bc2)
(3)(3a2b3c)3(4)(15a2b3c)?
(?
5a3bc2)
例2、求
的末位数字。
提示:
先考虑各因子的末位数字,再考虑积的末位数字。
例3、
是目前世界上找到的最大的素数,试求其末位数字。
提示:
运用规律2。
例4、求证:
。
提示:
考虑能被5整除的数的特征,并结合规律2。
例5、已知n是正整数,且x2n=2,求(3x3n)2?
4(x2)2n的值。
提示:
将所求表达式用x2n表示出来。
例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整数解。
提示:
|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1,分情况讨论。
例7、若n为自然数,求证:
10|(n1985?
n1949)。
提示:
n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。
例8、若
,求x和y。
结论:
x=5,y=2。
例9、对任意自然数n和k,试证:
n4+24k+2是合数。
提示:
n4+24k+2=(n2+22k+1)2?
(2n?
2k)2。
例10、对任意有理数x,等式ax?
4x+b+5=0成立,求(a+b)2003.
活动小结
初步掌握了乘法运算的性质。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
理解掌握整式运算的性质
活动过程
(教案)
第六讲整式的运算
一、知识要点
1、整式的概念:
单项式,多项式,一元多项式;
2、整式的加减:
合并同类项;
3、整式的乘除:
(1)记号f(x),f(a);
(2)多项式长除法;
(3)余数定理:
多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a);
(4)因数定理:
(x-a)|f(x)?
f(a)=0。
二、例题示范
1、整式的加减
例1、已知单项式0.25xbyc与单项式?
0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym,求abc的值。
提示:
只有同类项才能合并为一个单项式。
例2、已知A=3x2n?
8xn+axn+1?
bxn-1,B=2xn+1?
axn?
3x2n+2bxn-1,A?
B中xn+1项的系数为3,xn-1项的系数为?
12,求3A?
2B。
例3、已知a?
b=5,ab=?
1,求(2a+3b?
2ab)?
(a+4b+ab)?
(3ab+2b?
2a)的值。
提示:
先化简,再求值。
例4、化简:
x?
2x+3x?
4x+5x?
…+2001x?
2002x。
例5、已知x=2002,化简|4x2?
5x+9|?
4|x2+2x+2|+3x+7。
提示:
先去掉绝对值,再化简求值。
例6、5个数?
1,?
2,?
3,1,2中,设其各个数之和为n1,任选两数之积的和为n2,任选三个数之积的和为n3,任选四个数之积的和为n4,5个数之积为n5,求n1+n2+n3+n4+n5的值。
例7、王老板承包了一个养鱼场,第一年产鱼m千克,预计第二年产鱼量增长率为200%,以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。
(1)写出第五年的预计产鱼量;
(2)由于环境污染,实际每年要损失产鱼量的10%,第五年的实际产鱼量为多少?
比预计产鱼量少多少?
2、整式的乘除
例1、已知f(x)=2x+3,求f
(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x))。
例2、计算:
(2x+1)?
(3x?
2)?
(6x?
4)?
(4x+2)
长除法与综合除法:
一个一元多项式f(x)除以另一个多项式g(x),存在下列关系:
f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数。
当r(x)=0时,称f(x)能被g(x)整除。
例3、
(1)用竖式计算(x3?
3x+4x+5)?
(x?
2)。
(2)用综合除法计算上例。
(3)记f(x)=x3?
3x+4x+5,计算f
(2),并考察f
(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。
例4、证明余数定理和因数定理。
证:
设多项式f(x)除以所得的商式为q(x),余数为r,则有
f(x)=(x?
b)q(x)+r,将x=b代入等式的两边,得
f(b)=(b?
b)q(b)+r,故r=f(b)。
特别地,当r=0时,f(x)=(x?
b)q(x),即f(x)有因式(x?
b),或称f(x)能被(x?
b)整除。
例5、证明多项式f(x)=x4?
5x3?
7x2+15x?
4能被x?
1整除。
例6、多项式2x4?
3x3+ax2+7x+b能被x2+x?
2整除,求a,b的值。
提示:
(1)用长除法,
(2)用综合除法,(3)用因数定理。
例7、若3x3?
x=1,求f(x)=9x4+12x3?
3x2?
7x+2001的值。
提示:
用长除法,从f(x)中化出3x3?
x?
1。
例8、多项式f(x)除以(x?
1)和(x?
2)所得的余数分别为3和5,求f(x)除以(x?
1)(x?
2)所得的余式。
提示:
设f(x)=[(x?
1)(x?
2)]q(x)+(ax+b),由f
(1)和f
(2)的值推出。
例9、试确定a,b的值,使f(x)=2x4?
3x3+ax2+5x+b能被(x+1)(x?
2)整除。
活动小结
初步掌握了整式运算的性质
梁村中学学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解乘法公式的几何意义和代数意义。
2.掌握乘法公式的运用。
活动过程
(教案)
第七讲乘法公式
一、知识要点
1、乘法公式
平方差公式:
(a+b)(a?
b)=a2?
b2
完全平方公式:
(a?
b)2=a2?
2ab+b2
立方和公式:
(a+b)(a2?
ab+b2)=a3+b3
立方差公式:
(a?
b)(a2+ab+b2)=a3?
b3
2、乘法公式的推广
(1)(a+b)(a?
b)=a2?
b2的推广
由(a+b)(a?
b)=a2?
b2,(a?
b)(a2+ab+b2)=a3?
b3,猜想:
(a?
b)()=a4?
b4
(a?
b)()=a5?
b5
(a?
b)()=an?
bn
特别地,当a=1,b=q时,(1?
q)()=1?
qn
从而导出等比数列的求和公式。
(2)多项式的平方
由(a?
b)2=a2?
2ab+b2,推出
(a+b+c)2=(),(a+b+c+d)2=()
猜想:
(a1+a2+…+an)=()。
当其中出现负号时如何处理?
(3)二项式(a+b)n的展开式
一个二项式的n次方展开有n+1项;
字母a按降幂排列,字母b按升幂排列,每项的次数都是n;
各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。
二、乘法公式的应用
例1、运用公式计算
(1)(3a+4b)(3a?
4b)
(2)(3a+4b)2
例2、运用公式,将下列各式写成因式的积的形式。
(1)(2x?
y)2?
(2x+y)2
(2)0.01a2?
49b2(3)25(a?
2b)?
64(b+2a)
例3、填空
(1)x2+y2?
2xy=()2
(2)x4?
2x2y2+y4=()2
(3)49m2+14m+1=()2(4)64a2?
16a(x+y)+(x+y)2
(5)若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A=;
(6)已知ax2?
6x+1=(ax+b)2,则a=,b=;
(7)已知x2+2(m?
3)x+16是完全平方式,则m=.
例4、计算
(1)200002?
19999?
20001
(2)372+26?
37+132(3)31.52?
3?
31.5+1.52?
100。
提示:
(1)19999=20000?
1
例5、计算
(1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。
(2)(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+32n)。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。
提示:
(1)由x3+y3=(x+y)3?
3xy(x+y),x2+y2=(x+y)2?
2xy导出;
(2)将x+y=10,平方,立方可解。
例7、已知
,求
,
,
的值。
例8、已知a+b=1,a2+b2=2,求a3+b3,a4+b4,a7+b7的值。
提示:
由(a3+b3)(a4+b4)=a7+b7+a3b4+a4b3=a7+b7+a3b3(a+b)导出a7+b7的值。
例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值:
(1)bc+ca+ab
(2)a4+b4+c4
例10、已知a,b,c,d为正有理数,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd,求证a=b=c=d。
提示:
用配方法。
例11、已知x,y,z是有理数,且满足x=6?
3y,x+3y?
2z2=0,求x2y+z的值。
例12、计算19492?
19502+19512?
19522+…+20012?
20022。
活动小结
初步掌握了乘法公式的运用。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解不等式运算的性质。
2.掌握不等式运算的性质。
活动过程
(教案)
第八讲不等式
一、知识要点
1、不等式的主要性质:
(1)不等式的两边加上(或减去)同一个数或整式,所得不等式与原不等式同向;
(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数,所得不等式与原不等式同向;
(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数,所得不等式与原不等式反向.
(4)若A>B,B>C,则A>C;
(5)若A>B,C>D,则A+B>C+D;
(6)若A>B,C<D,则A?
C>B?
D。
2、比较两个数的大小的常用方法:
(1)比差法:
若A?
B>0,则A>B;
(2)比商法:
若
>1,当A、B同正时,A>B;A、B同负时,A<B;
(3)