线性系统理论第二章-线性系统的运动分析.pptx

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过程控制研究所,线性系统理论第二章-线性系统的运动分析授课人：

卜旭辉E-mail：

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03913987597,马克思主义哲学与控制科学物质是运动的静态方程动态方程（微分几何理论）运动是有规律的寻找规律（建模与辨识）运动分析人类社会的发展规律：

认识世界（系统建模与分析）改造世界（控制器设计）,Introduction,建模与辨识运动与稳定性分析,控制器设计,现代控制理论的基本问题（以线性离散系统为例）,建模与辨识最小二乘、梯度、投影持续激励条件（PE）稳定性分析压缩映射的方法liyapunov方法观测器设计（滤波器设计）控制器设计,最优控制自适应控制,鲁棒控制模糊控制,神经网络控制专家系统控制数据驱动控制（学习控制等）,Introduction,运动分析的数学实质求解系统状态方程，以解析形式或数值分析形式建立系统状态随输入和初始状态的演化规律，状态演化形态对系统结构和参数的依赖关系对连续时间线性系统，运动分析即求解微分状态方程,对离散时间线性系统，运动分析即求解差分型状态方程,系统的运动形态主要由系统结构和参数决定对线性系统，可得到状态的解析解，即能以显式形式给出运动过程对系统结构与参数的依赖关系,Introduction,解的存在性和唯一性条件若系统矩阵A（t）,B（t）的所有元在时间定义区间t0,t上为时间t的连续实函数，输入u（t）的所有元为时间t的连续实函数，则状态方程的解x（t）存在且唯一。

实际物理系统一般均满足此条件。

从数学观点，上述条件过于苛刻，可减弱为：

系统矩阵A（t）的各个元ij（t）在时间区间t0,t上为绝对可积，即：

输入矩阵B（t）的各个元bik（t）在时间区间t0,t上为平方可积，即：

输入u（t）的各个元uk（t）在时间区间t0,t上为平方可积，即：

条件可一步合并为要求B（t）u（t）的各元在时间区间t0,t上绝对可积。

Introduction,零输入和零状态响应线性系统满足叠加原理在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分运动：

初始状态自由运动输入作用强迫运动,Introduction,Outline,线性定常系统齐次状态方程的解状态转移矩阵线性定常系统非齐次状态方程的解线性时变系统的运动分析*线性系统的脉冲响应矩阵*线性连续系统方程的离散化线性离散系统的运动分析,线性定常系统齐次状态方程的解,线性定常系统齐次状态方程为,

（1）,

（2）,假设其解为一幂级数,（3）,将（3）式代入

（2）式,这时系统的输入为零先考察标量齐次微分方程的幂级数解法,线性定常系统齐次状态方程的解等式两边t的同次幂的系数相等，因此有,而则解为（4）因为模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程

（1）的解为（5）将（5）式代入

（1）式,线性定常系统齐次状态方程的解,等式两边t同次幂的系数相等，因此有,记作,而则线性定常系统齐次状态方程

（1）的解为,（6）,则,（7）,线性定常系统齐次状态方程的解,如果则（8）将（8）式代入

（1）式验证和,矩阵指数函数,又称为状态转移矩阵，记作,是由初始状态的形态由,激励的。

因此，这决定，即是由矩阵,由于系统没有输入向量，时的运动称为自由运动。

A惟一决定的。

状态转移矩阵,线性定常系统齐次状态方程的解为或,开始，随着时间的推移，,转移到,，。

其几何意义是：

系统从初始状态由转移到，再由的形态完全由决定。

状态转移矩阵,状态转移矩阵的基本性质,即,1）2）,即,3）可逆性,即,4）传递性即,5）当且仅当,时，有,状态转移矩阵状态转移矩阵的求法,方法1根据定义，计算,方法2应用拉普拉斯变换法，计算对上式求拉普拉斯变换，得,如果,（9）,为非奇异L,L,（10）,由微分方程解的唯一性,L,状态转移矩阵例线性定常系统的齐次状态方程为,求其状态转移矩阵解,于是L,状态转移矩阵,方法3应用凯莱-哈密顿定理，计算,凯莱-哈密顿定理：

矩阵A满足自身的特征方程。

即根据凯莱-哈密顿定理,（11）,状态转移矩阵,例用凯莱-哈密顿定理计算解由凯-哈定理：

所以,状态转移矩阵,（11）式表明：

是、的线性组合（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：

、都是、的线性组合,为待定系数。

（13）的计算方法为：

都满足的特征方程。

因此，也可以,其中，1）A的特征值互异应用凯-哈定理，和满足（13）式。

状态转移矩阵,（其中，）写成矩阵形式,（14）,于是,（15）,状态转移矩阵例线性定常系统的齐次状态方程为,用凯-哈定理计算其状态转移矩阵解,即,状态转移矩阵,状态转移矩阵2）A的特征值相同，均为,（16）,状态转移矩阵,3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以根据（16）式和（15）式求得。

然后代入（13）式，求出状态转移矩阵,解,例线性定常系统齐次状态方程为求系统状态转移矩阵。

应用凯-哈定理计算,A的特征值为,状态转移矩阵,于是,状态转移矩阵,状态转移矩阵,而,因为对角阵的特殊性质，有：

方法4通过线性变换，计算1）矩阵A可以经过线性变换成为对角阵，计算因为,状态转移矩阵,因此，状态转移矩阵为,（17）,状态转移矩阵,例线性定常系统的齐次状态方程为用线性变换方法，计算其状态转移矩阵解,状态转移矩阵2）矩阵A可以经过线性变换成为约当形阵，计算,状态转移矩阵为（18）,状态转移矩阵,3）矩阵A可以经过线性变换成为模态形阵，计算如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵M,其中,系统状态转移矩阵为,（19）,线性定常系统非齐次状态方程的解,线性定常系统非齐次状态方程为,改写为,（20）（21）,（21）式两边同乘得,或写成,（22）,对（22）式在0到t时间段上积分，有,（23）,线性定常系统非齐次状态方程的解,（24）,（24）式两边同乘,，并且移项,（25）（26）,更一般情况，当,（27）（28）,线性定常系统非齐次状态方程的解,由式（25）或式（27）可知，系统的运动包括两个部分。

一,部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。

第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。

正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适,当的输入向量，使的形态满足期望的要求。

线性定常系统非齐次状态方程的解,例线性定常系统的状态方程为,解在例2-2中已经求得由（26）式,线性定常系统非齐次状态方程的解,系统的输出方程为,则,（29）,或可见，系统的输出由三部分组成。

当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。

线性定常系统的脉冲响应矩阵,脉冲响应矩阵从时间域角度表述系统输入输出关系传递函数矩阵从频率域表述系统输入输出关系脉冲响应矩阵定义单位脉冲时间变量t,作用时刻为的单位脉冲定义为满足如下关系的广义函数：

定义脉冲响应对SISO连续时间线性时不变系统，脉冲响应定义为零初始状态下以单位脉冲为输入的系统输出响应。

定义输出响应对SISO连续时间线性时不变系统，假设系统初始状态为零，则系统在任意输入u作用下基于脉冲响应的输出响应为：

定义【脉冲响应矩阵】：

表hij（t-）为第j个输入端在时刻加以单位脉冲（t-）而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应hij（t-）为元构成的一个输出响应矩阵,结论：

对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y（t）为,线性定常系统的脉冲响应矩阵,脉冲响应矩阵和状态空间描述结论：

对连续时间线性时不变系统（A.B.C.D），设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为,结论：

两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵,结论：

两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。

线性定常系统的脉冲响应矩阵,脉冲响应矩阵和传递函数矩阵结论：

对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H（t）和传递函数矩阵G（s）之间有如下关系：

脉冲响应矩阵等同条件：

给定两个连续时间线性时不变系统（A,B,C,D）和,二者具有相同的输入维数和输出维数，但状态维数可以不同，则两个系统具有相同的脉冲响应矩阵即相同的传递函数矩阵，当且仅当二者参数矩阵满足如下关系：

线性定常系统的脉冲响应矩阵,求该系统的脉冲响应矩,解,也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得,线性定常系统的脉冲响应矩阵,线性时变系统运动分析,（30）,线性时变系统方程,齐次状态方程的解,满足初始条件,（34）,（31）初始状态为根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明（32）其中，是状态转移矩阵，并且满足以下方程（33）,线性时变系统运动分析,证明,（32）式两边对t求导,并且,时,即,线性时变系统运动分析,状态转移矩阵的基本性质,1）,满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,可逆性传递性4）,线性时变系统运动分析,状态转移矩阵的计算用级数近似法计算,例,线性时变系统齐次状态方程为计算系统状态转移矩阵,（35）,线性时变系统运动分析,解,将代入（35）式,其中,线性时变系统运动分析,系统的输出,（41）,（42）,或,46,问题的提出,线性连续系统的时间离散化问题的数学实质，就是在一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续时间状态空间描述导出对应的离散时间状态空间描述，并建立两者系数矩阵间的关系式。

线性连续系统方程的离散化,线性连续系统方程的离散化,假设：

被控对象上有采样开关；采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；具有零阶保持器。

线性时变系统（56）初始状态为状态方程的解为（57）,线性连续系统方程的离散化,令,，则,（58）,（59）,再令,，,，则,将（59）式两边都左乘,（60）,线性连续系统方程的离散化（58）减（60）并且整理后，得到,令：

考虑到于是,省略T，得到,（61）,输出方程离散化，令,，即可以得到,（62）,线性连续系统方程的离散化,线性定常系统,（63）,离散化后得到,（64）,其中,线性离散系统的运动分析,线性定常离散系统齐次状态方程的解,系统的齐次状态方程为：

其中，x（k）为n维状态向量采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,（65）,其中,（66）,系统的输出为,（67）,线性离散系统的运动分析,状态转移矩阵若系统初始状态为，通过将其转移到状态，故称为状态转移矩阵。

1.的基本性质满足自身的矩阵差分方程及初始条件传递性可逆性,线性离散系统的运动分析,2.状态转移矩阵的计算有4种状态转移矩阵的计算方法：

按定义计算；用z反变换计算；应用凯-哈定理计算；通过线性变换计算。

在此，我们仅讨论用z反变换计算。

离散系统的齐次状态方程为：

对上式进行z变换,Z可见,Z,（68）,线性离散系统的运动分析,例离散系统齐次状态方程为求状态转移矩阵解,Z,（69）,线性离散系统的运动分析线性定常离散系统方程的解系统方程为,可以用迭代法求系统状态方程的解,系统方程的解为,（70）,系统的输出为,（71）,线性离散系统的运动分析,线性时变离散系统方程的解,系统方程为,（72）,若系统的解存在且唯一，则解为,（73）,（用迭代法可以证明）系统的输出为,（74）,本章小结,1、本章对于线性系统运动规律的定量分析，是能观性、能控性以及稳定性等的理论基础。

2、运动分析的实质。

对于给定的初始状态的输入，建立反映因果关系的解析解。

3、掌握连续系统和离散系统的响应表达式。

4、连续系统的离散化。

5、计算问题。

矩阵的运算。