中学数学第八章85.docx
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中学数学第八章85
§8.5 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想.
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角.
(2)范围:
.
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
②二面角的平面角:
在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
概念方法微思考
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?
提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.
2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗?
提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直于第三个平面,那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × )
(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( × )
题组二 教材改编
2.[P73T1]下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的.
3.[P67练习T2]在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案
(1)外
(2)垂
解析
(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,
在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,
所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.
∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,
∴PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,
∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,
∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,
即O为△ABC的垂心.
题组三 易错自纠
4.(2018·赣州模拟)若l,m为两条不同的直线,α为平面,且l⊥α,则“m∥α”是“m⊥l”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l,充分性成立;
若l⊥α且m⊥l,则m∥α或者m⊂α,必要性不成立,
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件,故选A.
5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是( )
A.与AC,MN均垂直
B.与AC垂直,与MN不垂直
C.与AC不垂直,与MN垂直
D.与AC,MN均不垂直
答案 A
解析 因为DD1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,
又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,
所以AC⊥平面BDD1B1,
因为OM⊂平面BDD1B1,所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2,
则OM=
=
,MN=
=
,
ON=
=
,
所以OM2+MN2=ON2,所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.平面VAC⊥平面VBC
C.MN与BC所成的角为45°
D.OC⊥平面VAC
答案 B
解析 由题意得BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC.因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:
B1F⊥平面ADF.
证明 因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,
所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B=B,BC,B1B⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥平面B1BCC1.
因为B1F⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥B1F.
方法一 在矩形B1BCC1中,
因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,
所以∠CFD=∠C1B1F,
所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,
所以B1F⊥平面ADF.
方法二 在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,
所以B1D=
=
.
在Rt△B1C1F中,B1C1=2,C1F=1,
所以B1F=
=
.
在Rt△DCF中,CF=2,CD=1,
所以DF=
=
.
显然DF2+B1F2=B1D2,
所以∠B1FD=90°.
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,
所以B1F⊥平面ADF.
思维升华证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法:
①判定定理;②垂直于平面的传递性;③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1(2019·贵阳模拟)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
证明
(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
则AB∥EF.
又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,
BC⊂平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2(2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=
DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.
又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD,AC⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3
.
又BP=DQ=
DA,所以BP=2
.
如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,
则QE∥DC且QE=
DC.
由已知及
(1)可得,DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为
VQ-ABP=
×S△ABP×QE
=
×
×3×2
sin45°×1=1.
思维升华
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
跟踪训练2(2018·武昌调研)如图,三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA⊥PC,PB=2.
(1)求证:
平面PAC⊥平面ABC;
(2)若PA=PC,求三棱锥P-ABC的体积.
证明
(1)如图,取AC的中点O,连接BO,PO,
因为△ABC是边长为2的正三角形,
所以BO⊥AC,BO=
.
因为PA⊥PC,所以PO=
AC=1.
因为PB=2,所以OP2+OB2=PB2,
所以PO⊥OB.
因为AC∩OP=O,AC,OP⊂平面PAC,
所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 因为PA=PC,PA⊥PC,AC=2,
所以PA=PC=
.
由
(1)知BO⊥平面PAC,
所以VP-ABC=VB-APC=
S△PAC·BO=
×
×
×
×
=
.
题型三 垂直关系的综合应用
命题点1 直线与平面所成的角
例3如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:
△PBC是直角三角形;
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为
时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明 ∵AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点.
∴BC⊥AC,
∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,
又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,
∴△BPC是直角三角形.
(2)解 如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,
又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,
∴AH⊥平面PBC,
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角,
∵PA⊥平面ABC,
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角,
∵tan∠PCA=
=
,
又PA=2,∴AC=
,
∴在Rt△PAC中,AH=
=
,
∴在Rt△ABH中,sin∠ABH=
=
=
,
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
.
命题点2 与垂直有关的探索性问题
例4如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.
(1)求证:
C1E∥平面ADF;
(2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF.
(1)证明 连接CE交AD于O,连接OF.
因为CE,AD为△ABC的中线,
则O为△ABC的重心,
故
=
=
,故OF∥C1E,
因为OF⊂平面ADF,C1E⊄平面ADF,
所以C1E∥平面ADF.
(2)解 当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.
证明如下:
因为AB=AC,AD⊂平面ABC,
故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1,
故平面B1BCC1⊥平面ABC.
又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,AD⊂平面ABC,
所以AD⊥平面B1BCC1,
又CM⊂平面B1BCC1,
故AD⊥CM.
又BM=1,BC=2,CD=1,FC=2,
故Rt△CBM≌Rt△FCD.
易证CM⊥DF,又DF∩AD=D,DF,AD⊂平面ADF,
故CM⊥平面ADF.
又CM⊂平面CAM,
故平面CAM⊥平面ADF.
思维升华对命题条件的探索的三种途径
途径一:
先猜后证.
途径二:
先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.
途径三:
将几何问题转化为代数问题.
跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面ABCD,EF∥AB,EG∥AD,EF=EG=1.
(1)求证:
平面CFG⊥平面ACE;
(2)在AC上是否存在一点H,使得EH∥平面CFG?
若存在,求出CH的长,若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接BD交AC于点O,则BD⊥AC.
设AB,AD的中点分别为M,N,连接MN,则MN∥BD,
连接FM,GN,则FM∥GN,且FM=GN,
所以四边形FMNG为平行四边形,
所以MN∥FG,所以BD∥FG,所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD,所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE,
又因为AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,
所以FG⊥平面ACE.
又FG⊂平面CFG,所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)解 存在.设平面ACE交FG于Q,
则Q为FG的中点,
连接EQ,CQ,取CO的中点H,连接EH,
由已知易知,平面EFG∥平面ABCD,
又平面ACE∩平面EFG=EQ,
平面ACE∩平面ABCD=AC,
所以CH∥EQ,
又CH=EQ=
,
所以四边形EQCH为平行四边形,所以EH∥CQ,
又CQ⊂平面CFG,EH⊄平面CFG,
所以EH∥平面CFG,
所以在AC上存在一点H,使得EH∥平面CFG,
且CH=
.
1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
答案 C
解析 因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.
2.(2019·宁波模拟)已知直线l,m与平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是( )
A.若l∥m,则必有α∥β
B.若l⊥m,则必有α⊥β
C.若l⊥β,则必有α⊥β
D.若α⊥β,则必有m⊥α
答案 C
解析 对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,所以选项A错误;
对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,所以选项B错误;
对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β.所以选项C正确;
对于选项D,直线m可能和平面α不垂直,所以选项D错误.
3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
4.(2019·昆明适应性检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则( )
A.MN∥C1D1B.MN⊥BC1
C.MN⊥平面ACD1D.MN⊥平面ACC1
答案 D
解析 对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N∈平面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线,
又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错;
对于选项B,正方体中易知NB≠NC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN与直线BC1不垂直,故选项B不对;
对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1,因为N是CD1的中点,
所以MC=MD1,这与MC≠MD1矛盾,故假设不成立,所以选项C不对;
对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P,Q,连接PM,QN,PQ.
因为点M是BC1的中点,
所以PM∥CC1且PM=
CC1.
同理QN∥CC1且QN=
CC1.
所以PM∥QN且PM=QN,
所以四边形PQNM为平行四边形.
所以PQ∥MN.
在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC,
因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,
所以PQ⊥平面ACC1.
因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1.
故选项D正确.
5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP,
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角.
因为底面边长为
,
所以AD=
×
=
,AO=
AD=
×
=1.
三棱柱的体积为
×(
)2AA1=
,
解得AA1=
,
即OP=AA1=
,
所以tan∠PAO=
=
,
因为直线与平面所成角的范围是
,
所以∠PAO=
.
6.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
答案 4
解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上.
答案 AB
解析 ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_______时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.
答案
解析 连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.
因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2
,
又AA1=1,所以AC1=3,
所以sin∠AC1A1=
=
.
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________.
答案
解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C=
=
.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:
AB∥EF;
(2)若AF⊥EF,求证:
平面PAD⊥平面ABCD.
证明
(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,
所以AB∥平面PDC,
又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,
所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF,
(1)中已证AB∥EF,
所以AB⊥AF.
又AB⊥AD,
由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D,
所以AF∩AD=A,AF,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,
又AB⊂平面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD.
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=
,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=
PB.
(1)证明:
MN∥平面PDC;
(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.
(1)证明 因为AB=BC,AD=CD,
所以BD垂直平分线段AC.
又∠ADC=120°,
所以MD=
AD=
,AM=
.
所以AC=
.
又AB=BC=
,
所以△ABC是等边三角形,
所以BM=
,所以
=3,
又因为PN=
PB,
所以
=
=3,
所以MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,
所以MN∥平面PDC.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥PA,
又BD⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
由
(1)知MN∥PD,
所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角,
故∠DPM即为所求的角.
在Rt△PAD中,PD=2,
所以sin∠DPM=
=
=
,
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为
.
13.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是B