届上海普陀区第二学期高三数学质量调研理四月.docx
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届上海普陀区第二学期高三数学质量调研理四月
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研
数学试卷（理科）2009.04
说明：
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须.写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中•每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分•
1•若复数z=i2•i（i是虚数单位），则|z|=
2.已知函数f（x）=1logax（a•0且a=1）,fJ（x）是f（x）的反函数，若y=f，（x）的
图像过点（3,4），则a=
3.用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.
若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）.
斗彳呻斗斗彳彳4
4.设e、e是平面内一组基向量，且a=e+2e2、b=—e+62,
则向量e,e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即
44呻呻
G仓=ab.
5.右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出
结果所表示的分段函数为fx二.
6.关于x、y的二元线性方程组
2x+my=5
nx-3y=2
的增广矩阵经过变
7.在极坐标系中，
2
8.设联结双曲线务
a
103、
'm、
，则
<01b
换，最后得到的矩阵为
设曲线】--4sin二和：
cos^-1相交于点A、
222
占=1与占-务=1（a0,b0）的4个顶点的四边形面积为
bba
S，联结其4个焦点的四边形面积为
S2，则
S2的最大值为
9.
将函数
./、站3sinx…,」，厶/*..■一，f（x）=的图像向左平移
1cosx
a（a>0）个单位，所得图像对应的函数为偶
函数，则a的最小值为
10.
园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域•要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同
颜色的鲜花•设花圃中布置红色鲜花的区域数量为'，则随机变量的数
学期望E=.
11.已知数列:
a/?
是首项为a、公差为1的等差数列，数列「bj满足
1+an*
bnn.若对任意的n•N,都有bn_b8成立，则实数a的取值范围是
an
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中•每题选对得4分，不选、选错或选出的代号
超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分•
12.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程
101
x21=0的一个法向量的是
y11
（）
limSn
nf
A.n=1,-2；B.我--2,1；C.n_-1,-2;D.=2,1.
13.设数列；£n1的首项ai=1且前n项和为Sn.已知向量a二1,an,b
4
a_b,贝U
（）
12
A.;B._1;C.;D.
23
14.在厶ABC中，“cosA=2sinBsinC”是"△ABC为钝角三角形”的
A.必要非充分条件；B.充分非必要条件;
C.充要条件；D.既非充分又非必要
条件.
15.现有两个命题:
（1）若lgxlglg（xy）,且不等式y亏「2x•t恒成立，则t的取值范围是集合P；
若函数f（x）二」,1,的图像与函数g（x）=-2x，t的图像没有交点,
xT
则t的取值范围是集合Q；
三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤•
24
16.（本题满分12分）过抛物线y=4x的焦点F且方向向量为d二1,2的直线l交该抛物线于A、B两点，求OAOB的值.
17.（本题满分14分）已知复数Zi=cosx亠i，z2=1亠sinx（i是虚数单位），且
乙—Z2〔=J5.当实数x€（_2ii,2兀）时，试用列举法表示满足条件的x的取值集合P.
18.（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
若nN,1\22anbn（an、dZ）
（1）求a5b5的值；
（2）求证：
数列：
bn?
各项均为奇数.
19.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施
的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米.上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可
以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）.
（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S二fx；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？
并求出这个最大面积.
20.（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA_平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中
DA_AB，AD//BC.PA=2AD=BC=2，AB=2.2.
（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角•试判断曲线E的形状并说明理由；
（3）在平面ABCD内，设点Q是
（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）
的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点•以B为圆心，BQ为半径的圆
分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点•当Q点在曲线段GC上运动时，试提出一个
研究有关四面体P-BMN的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决•
【说明：
本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以
使用近似值，保留3位小数】
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研
、填空题
数学试卷参考答案及评分标准（文理科）
（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）:
2009.04
2.理：
2;文:
■■■"^1U2，:
:
；3.理：
1.885;文：
2；
4.理：
-
3
--；文:
1.885；5.
3
1,x0
理：
0,x=0;文：
4；6.理:
-1,x：
：
0
；文:
1,x0
_|
7.理：
2yf3;文：
《0,x=0;8.
厂1,xc0
E1、
5
1
理：
一；文：
6;9.
理：
—p;文：
2
6
12
文：
i.•8,-7;
10.理：
1;文：
1;11.理:
鞋7;文:
5p；!
2.
2f6
、选择题（每题4分，总分16分）:
题号
理12;文13
理13;文14
理：
14;文：
15
理15;文：
16
答案
A
C
B
C
三、解答题:
16.（理，满分12分）
解：
因为抛物线的焦点F的坐标为（1,0），设Ax1,y-!
、Bx2,y2,
由条件，则直线
l的方程为—~=—=i>X==+1,
122
17.（文，满分12分）
a*
b=0,所以由条件可得anN.
又a1=—r=1,
q
（理）17.（文）18.（满分14分）解：
因为乙—z2二cosx—1厂［1—sinxi
所以,
22
cosxT］亠i1-sinx
sinxcosx--1：
=
sinx二一'
I4丿2
即x2k.一或x2k.—,kZ
4444
=■x=2k二-二或x=2k~-—,k=Z
2
又由x三「2二，2二，即
-3-
当k=0时，x--二或x；当k=1时，或x.
22
所以，集合P=
...i4
18.（理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
k525
解：
（1）当n=5时，1：
2C?
C52V；.2Cfv2
=[cf+C；（血）2+c：
（逅G血]
=4129y2
故a5=29,b5=41，所以a5b5=70.
（2）证：
由数学归纳法
（i）当n=1时，易知bi=1,为奇数；
（ii）假设当n二k时，1-^2'=v2akbk，其中bk为奇数;
则当n=k1时，
1&kWkt三二云bk1J2
=2akbkh2ak
所以bkbk2ak，又ak、b^Z，所以2ak是偶数,
而由归纳假设知bk是奇数，故b1也是奇数.
综上（i）、（ii）可知，bn的值一定是奇数.
证法二：
因为（1+血$+cnV2+c：
（V2i亍
24n4
当n为奇数时，bn=Cn0・C；2■Cn'2C：
"2
…6
…8
...io
...14
…15
则当n=1时，d=1是奇数；当n-3时,
2244inA
因为其中Cnv2-Cn.'2lll-cn1-.2中必能被2整除，所以为偶数,
24n」
于是，bn二C；Cn2C4■2C：
'「2必为奇数；
24n
当n为偶数时，bn=Cn0Cn一;2■C；.2C：
『2
其中Cn2C4'、24•111V；.2"均能被2整除，于是bn必为奇数.
综上可知，：
bn?
各项均为奇数.
...14
…15
佃.（文，满分14分）
解：
如图，设BC中点为D，联结AD、OD.
由题意，OB=OC=2,•BOC=60,所以△OBC为等边三角形，
故BC=2，且OD—3.…3
1
又SaabcBCAD=3=AD=3,
2
所以AO二；AD2-OD2二「6.
而圆锥体的底面圆面积为s=二oc2=4二,
14\16
所以圆锥体体积V-'SAABC人。
^4^6二.
33
C
D-■■■
第19题图
…8
...10
...14
（理）19.（文）20.（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：
（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，
且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
又因为EM=EN=^DC=1米，可得MN=V3米.
2
1
所以，Semn=TmNh
2
=T平方米，
即三角通风窗EMN的通风面积为-平方米.
4
■■■>彥3><專乡.禺梟繆E
x-.S-
A图
（1）B
（2）V如图
（1）所示，当MN在矩形区域滑动，即x€（0丄时,
I2丿
心EMN的面积S=f（x）=丄|MN|■丄一x]=丄—x;
212丿2
x_2
综合可得:
12'2丿
1
则有f（x）：
：
f（0）=；
2
2当MN在半圆形区域滑动时,
得到最大通风面积，最大面
...16
等号成立匸（xfd*）2，“&刖
因而当x=1（J2+1）（米）时，每个三角通风窗EMN
2
1
积为Smax='（平方米）•
2
21（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）解：
（1）设右焦点坐标为F（c,O）（c0）.
因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为y二_x,
n
由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且•POF-
于是可知，AOPF为等腰直角三角形，则由=|OF
又由等轴双曲线中，c2=2a2=a2=2.
即，等轴双曲线c的方程为x_y=2.
（2）设AXi,%、BX2,y2为双曲线C直线I的两个交点.
因为F（2,0），直线I的方向向量为d=1,2，直线I的方程为
x-2y
〒亍y=2（X_2）.
代入双曲线C的方程x2—y2=2，可得x2—4（x—2,=2二3x2—16x+18=0,
...9
16
于是有『宀2肓，
X1X2=6.
而OaOB=为冷+%y2=nx2+4（%—2Xx2—2）
10
...ii
=5x]X2-8x1x2i亠16
3
（3）假设存在定点Pm,0，使PMPN为常数，其中“（x-yj，N（x2,y2）为直线
l与双曲线C的两个交点的坐标.
曰
是，
PMPN咅-mx2-mk2x,-2x2-2
2222
（k21）（4k22）4k2（2k2m）4k2m2
=（k1）x^2-（2km）（x.|x2）4km
k2-1k2-1
2（1-2m）k2224（1-m）2
-v叮m2'm2（1-2m）
k2-1k2-1
要使PMpN是与k无关的常数，当且仅当m=1,此时乔一1.
②当直线I与X轴垂直时，可得点M（2,.、2）,N（2,—.、2）,
TT
…18
若m“,PMPN1亦为常数.
综上可知，在x轴上存在定点P（1,0），使PMPN二-1为常数.
20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）解：
（1）解法一：
由题意，四边形ABCD是直角梯形，且AD//BC,则PC与AD所成的角即为.PCB.
因为DA_AB二BC_AB,又PA_平面ABCD,所以BC_平面PAB，则有.PBC=90：
.
因为PB「PA2AB2=2*3,BC=2,
PB23所以tan.PCB3，则.PCB二,
BC23
即异面直线PC与AD所成角的大小为二.
3
解法二：
如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系.
于是有P0,0,2、C2人220，则有"PCh[2、、2,2,-2，又-.0,1,0
则异面直线PC与AD所成角二满足cos==
PCIAD
所以，异面直线PC与AD所成角的大小为''.
3
（2）解法一：
由条件，过Q作QF_AB，垂足为F，联结PF.
于是有AD//QF，故PQ与AD所成角即为•PQF=60.
在平面ABCD中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标
系.设动点Q（x,y）,
...io
所以，可判定曲线E是双曲线
（2）解法二：
如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴,
建立空间直角坐标系•设点Q（x,y,0），点P（0,0,2）、点D（0,1,0）、点A（0,0,0）,
则PQ=（x,y,-2）,AD=（0,1,0）,
（3）解：
在如图所示的xOy的坐标系中，因为D0,1、C22,2、B2、、2,0,
故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足x
所以，|bq|=J（x_2血j+y2=J4X2—4?
2x十28
210
3
...i6
而要使圆B与AB、BC都有交点，则BQ乞2.
故满足题意的圆的半径的取值范围是|B^1^30，2.
【说明】
1.若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分.
2.若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入
的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分.
问题一：
求四面体P-BMN体积的取值范围.
1
因为PA_DMN，所以P-BMN体积为Vp_bmnPASbmn.故问题可以转化
3江
为研究△BMN的面积.
又因为.MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形.
（当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标x=时，即
2
故tanNPNA=AA-E，
问题四：
求侧面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范围.
解：
以A为原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，AP为z轴正方向建立空间
直角坐标系，则有P0,0,2，M2*2-r,0,0，N2.2,r,0，
设平面PMN的法向量为n=x0,y0,z0.
pM，，可得平面pmn的一个法向量坐标为n二1,-1,、2一「.
I2丿
可知，向量
PA二0,0,-2是平面BMN的一个法向量，于是向量pA和n的夹角二的大
小即为二面角P-MN-B平面角的大小.
2
2（2丁）2
而cos「一耳二r2]22，
8+（2血-r）
30
经分析可得，cos日在区间2内递增•
.3\
所以，cos"丨-0.334,-0.281】，
即二面角大小的取值范围是丘-arccosO.281,兀-arccosO.334】
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