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9数学认知结构
数学认知结构
认知心理学家认为，不是环境引起个体的行为反应，而是个体作用于环境。
环境只是提供潜在的刺激，而这些刺激能否受到注意或被加工，则取决于个体内部的心理结构。
因此原有认知结构始终是影响当前学习的最重要因素。
关于什么是认知结构这个问题，通常有以下几种观点：
皮亚杰认为，认知结构就是被内化的动作。
它最初来源于先天的遗传。
如婴儿生下来就有吸吮图式。
奥苏伯尔认为所谓认知结构，就是学生头脑里的知识结构。
广义地说，它是某一学习者的观念的全部内容和组织；狭义地说，它是学习者在某一特殊知识领域内的观念的内容和组织。
从现代信息加工心理学的广义知识观来看，所谓认知结构就是贮存于个人长时记忆系统内的陈述性知识和程序性知识（包括自动化技能和受意识控制的策略）的实质性内容和它们彼此之间的联系。
著名的瑞士心理学家、哲学家与教育家皮亚杰进一步发展了“认知主义”，通过对儿童从出生到成人的发展过程的观察，记录其智力发展的特征，从儿童的内在过程来分析儿童的行为，并提出其认知结构的假设模型。
在50年代提出了“建构主义”，到70年代末“建构主义”思想得到重视并有了迅猛发展。
认知建构主义自1987年正式出现于国际数学教育会议以来，它在国际数学教育界受到了广泛的重视，并被大多数数学教育者所接受。
认知建构观对今天数学教育改革有着重要的影响，尤其是把握数学认知结构及其形成与发展的规律，对于数学教育的理论与实践都有重要价值。
一、数学认知结构的概念
学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中小学生在老师的指导下把课程教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，在学生头脑中形成的一个具有内部规律的整体结构”。
简单地讲，数学认知结构就是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识、相关的数学活动经验，和这些数学知识、经验在头脑里的组织方式与特征。
如有关分数的意义及四则运算的认知结构，一方面要反映分数的概念和性质、分数四则运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式。
建构主义认为，数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程；数学学习的实质在于主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。
“建构”同时是建立和构造关于新知识认识结构的过程。
“建立”一般是指从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或者重组。
主体对新知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。
学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的。
数学学习是一个复杂的心理过程，它包括了认知过程和个性心理特征在内的心理活动。
在这一特殊的心理过程中，表现出两类心理因素：
一类是与认知过程直接有关的智力因素；另一类是与认知过程的起动、维持、调节有关的非智力因素。
智力因素直接起着加工与处理信息的作用，非智力因素却能起到推动信息的加工和处理，加快新知识和原数学认知结构相互关联的作用。
因此，在一个完整的认知结构里，应该有智力因素和非智力因素，不兼顾这两者的关系，就不能深入地探索认知结构的整体性，也谈不上建立和完善学生的认知结构。
二、数学认知结构与数学知识结构的区别、联系
数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。
两者的联系：
主要反映为学生的数学认知结构是由数学科学中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据。
两者的区别主要表现在以下几个方面：
l．概念的内涵不同。
数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。
而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。
2．信息的表达方式不同。
数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。
数学科学中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。
它表现为一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。
在这个体系内部知识的逻辑起点和知识表达形式以及前后内容之门的联系。
在其载体——数学书中都有明确而具体的表述。
而学生头脑里的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。
这种表达方式表明，“认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体”了。
3．结构的构造方式不同。
数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为小学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容前后内容连贯有序，整个结构相对完善。
而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。
数学知识结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不像数学教材知识结构那样清晰可辨。
4．结构的完备性不同。
①数学知识结构在内容上都是相对系统的、完备的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。
如“分数的意义和性质”一知识结构，其内容就包括了分数的意义和单位，分数与除法的关系、分数的分类、假分数与带分数和整数的互化、分数的基本性质及约分和通分等，这些内容构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构。
②而数学认知结构，由于学习者本身在接收、理解上的失误和学习后的遗忘等原因，在内容上常常是有缺口的，不完备的。
如“分数的意义和性质”一知识结构转化成学生的数学认知结构以后，他们并不一定对每一内容都非常清晰，某些内容可能是模糊的，甚至是被完全遗忘了的。
因而，对学习主体来说它可能是一个内容不完备的数学知识结构。
由此表明，学生的数学认知结构的形成尽然与数学知识结构关系十分密切，但是，由于受学生原有背景、智能水平、教师教学、课程教材编排、呈现方式等诸多因素的影响，在其内容上经常有可能出现某些缺口。
5．内容的科学性不同。
数学知识结构中的内容都是经过严格逻辑论证和实践检验，能正确反映客观世界数量关系和空间形式普遍规律的科学真理，通常不存在什么错误。
而数学认知结构中的内容，由于是数学知识结构与学生心理结构相结合的产物，是经过学生主观改造过的数学知识结构，所以它并不一定都是科学的。
其内容可能是正确的，也可能是错误的，更可能是部分正确部分错误的。
很明显，学生头脑里掌握的数学知识，其内容的科学性是有待检验的。
我们不能把学生数学认知结构内容的科学性程度简单地伺数学教材知识结构内容的科学性程度等同起来，从而掩盖学生在学习过程中可能产生的某些错误认识。
三、数学认知结构的主要变量
奥苏伯尔有句名言，“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的唯一因素是学习者已经知道了什么”。
并且指出，要“根据学生原有知识结构进行教学”。
学生已有的知识是他下一步学习的基础，奥苏伯尔提出原有认知结构对新知识学习发生重要影响的变量主要有三个：
即“可利用性”、“可辨别性”、“稳定性”。
所谓认知结构变量，是指学习者在某一特定教材领域内的现有知识的实质特征和组织特征。
数学认知结构变量就是指学生头脑里的数学知识在内容和组织方面的特征。
根据奥苏伯尔的研究，学生原有认知结构对新的数学知识学习有重大影响的变量主要是以下三个方面。
（一）原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性。
这是对数学学习影响特别大的一个认知结构变量。
指的是在新的数学知识学习中，学生原有认知结构中是否有用来同化新知识的适当观念，是决定数学学习活动能不能顺利进行的关键因素。
这是因为学生构建新的数学认知结构总是以他们原有认和结构中的有关内容为基础的，如果他们原有认知结构里缺乏适当的观念作为新的学习的固定点，新内容输人头脑里之后就不会有相应的旧知识与之发生相互作用，没有新旧内容的相互作用就不可能有原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。
在学习异分数加减法的有关内容时，学生原有认知结构里如果没有分数的基本性质、通分和同分母分数加减法计算法则等观念起固定作用，他们就根本不可能形成有关异分母分数加减法的认知结构。
（二）新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性。
即，原有知识和新知识的异同点是否可以清晰地辨别。
国外研究认为，教学中强调概念之间的共同点和不同点是奥苏伯尔理论的一个重要观点。
在学习中，如果学生原有认知结构中的有关内容（特别是那些在新的学习中起固定作用的内容）是按照一定的结构严密地组织起来的，面对新的学习任务，他们不仅能迅速地在认知结构中找到学习新知识的固定点，同时还能清楚地辨别出新旧知识之间的联系和区别，由此顺利实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化。
反之，如果学生不能清晰地辨认新旧知识之间的联系和区别，那么在学习中小学生就难以建立起以新的数学知识为内容的数学认知结构。
如学习方程概念时，如果学生不清楚地辨认方程与等式的区别，他们就不能正确理解方程的意义，也就不能建立起方程的数学认知结构。
由此表明，新旧知识内容之间的可辨别性也是影响学生数学认知结构形成的一个重要变量。
（三）原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性，指已有知识的掌握程度，尤其是原有知识结构中“固定观念”的掌握程度。
在数学学习中，如果学生原有认知结构中的有关观念（主要是指那些与新知识有密切联系的旧知识）不稳定甚至模糊不清，那么这种认知结构就不仅不能为新的学习提供适当的关系和强有力的固定作用，而且还会影响新旧知识之间的可辨别性，进而影响新知识同原有认知结构之间的相互作用和数学认知结构的建立。
比如学习分数的基本性质时，如果学生对原来已学过的分数与除法的关系和除法中商不变性质等旧知识的认识是模糊不清的，那么他们就不能真正理解“分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外）分数的大小不变”的普遍规律。
很明显，只有学生原有认知结构中的相关内容既稳定又清晰，他们才能顺利实现原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。
认知结构的三个变量对新知识的学习和巩固起着重要作用。
由于它的重要性，奥苏伯尔强调如何操纵认知结构变量，更好地促进新知识的学习，从而形成良好的认知结构，是数学教学的首要目标。
四、数学认知结构的基本特点
数学认知结构有如下几个特点：
（一）数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。
学生的数学认知结构是由教材知识结构转化而来的，它保留了数学知识结构的抽象性和逻辑性等特点，又融进了学生感知、理解、记忆、思维和想象等心理特点，它是科学的数学知识结构与学生心理结构相互作用、协调发展的结果。
在其发展过程中两者表现出互相影响、互相促进、辩证统一的发展态势：
一方面，数学知识结构直接影响着学生心理结构的发展，不仅规定着数学认知结构的内容和发展方向，同时还制约着学生感知、理解等心理活动的过程和方式；另一方面学生的心理结构又不断地改造着数学知识结构，使数学知识结构变成与他们心理发展水平和认知特点相适应的数学认知结构。
正是由于学生心理结构对数学知识结构的主观改造，导致了学生数学认知结构的个体差异。
（二）数学认知结构是学生已有数学知识、经验在头脑里的组织形式。
从学生构建数学认知结构的过程和方式来看，他们都是以原有知识为基础对新的数学知识进行加工改造或者适当调整自己的数学认知结构，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里，使新旧内容融为一体，形成相应的数学认知结构，并通过这种形式把所学数学知识储存下来的。
由此表明，就其形态而言，数学认知结构又是学生已获得的数学知识和数学经验在头脑里的组织形式，这种组织形式反映了数学知识内化到学生头脑里以后的结构状态。
有关研究表明，数学认知结构在学生头脑里是呈板块结构的。
具体来讲，源源不断的新知识内化到头脑里以后，在新旧内容相互作用的基础上，学生将所掌握的数学知识形成若干系统，由此在头脑里组成相应的数学知识板块，板块的大小和多少直接受所学数学知识内容的多少的制约和影响。
呈板块结构状态的数学知识既便于储存，又便于提取。
（三）数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构。
由于学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，所以它又是一个不断发展变化的动态结构，其动态性主要表现在以下几个方面：
1.数学认知结构的建立要经历一个逐步巩固的发展过程。
对某一具体数学知识的学习来说，学习初期，学生在老师的帮助下通过原有认知结构和新知识的相互作用，只能在头脑里形成相应数学认知结构的雏形，其结构极不稳定，需要紧跟其后的有效练习和在后继内容学习中的进一步应用，所形成的数学认知结构才能逐步巩固和稳定。
2.学生头脑里的数学认知结构经过不断分化逐步趋于精确。
学习初期学生头脑里形成的数学认知结构是笼统的，甚至是模糊的，随着认知活动的不断深入，他们头脑里的数学知识经过不断分化才能形成比较精确的数学认知结构。
如学习三角形，学生首先获得的是“由三条线段围成的封闭图形”、“三角形有三条边、三个角”的笼统认识。
随着学习过程的不断深入。
学生会逐步发现：
就角来讲，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；从边来看，三角形有等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
这一过程的完成，标志着学生对三角形有了比较精确的认识。
3.学生的数学认知结构是逐步扩充和完善的。
随着学习过程的逐步深入和数学知识的不断积累，学生的数学认知结构将会随之不断地扩充和完善。
如有关整数乘法的认知结构，在二年级学生仅形成了一位数乘一位数（即表内乘法）的认知结构，在三年级又分别形成了一位数乘多位数和两位数乘多位数的认知结构，在四年级又进一步形成了三、四位数乘法的认知结构。
经过三年级的系统学习，学生最终才在头脑里形成了一个相对完善的整数乘法认知结构，每次新的学习对学生原有认知结构来说都是一次新的扩充。
（四）数学认知结构是一个多层次的组织系统。
数学认知结构是一个相对的概念，它的内容是一个多层次的庞大系统。
既可以是大到包括整个小学数学知识系统在内的数学认知结构，也可以是小到由一个概念或命题组成的数学认知结构。
数学认知结构的层次性主要是由数学知识结构内部的层次性和逻辑系统性决定的，原则上数学知识有怎样的分类，学生的数学认知结构就有怎样的划分。
如分数可以分为真分数和假分数，假分数又可以分为整数和带分数，相应地学生头脑里的分数认知结构在层次上也可作出相应的划分。
数学认知结构的层次性还体现在认知结构的发展水平上，对小学生来讲既有直观水平上的数学认知结构，也有抽象化水平上的数学认知结构。
（五）每一个学生的数学认知结构各有其特点。
数学认知结构受多种心理因素的影响，每个学生的认知方式和认知水平表现出很大的差异，因而他们的认知结构往往表现出自身的个性特征。
例如，有的学生习惯于知识经验的纵向组织，有的则偏重于横向的编排；有的学生善于知识经验的概括和整理，有的则习惯于知识的堆积，所以学生认知结构的状况往往因人而异，从而导致了他们在学习上的差异。
（六）数学认知结构是一个积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥作用。
数学认知结构在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着主动的作用。
形成了一定的数学认知结构后，一旦出现新的数学信息，人们总是立即用相应的数学认知结构对所面临的信息进行科学的加工处理，从而表现出数学认知结构的能动性，这种活动如图1所示：
同化和顺应是学生原有数学认知结构和新的学习内容相互作用的两种基本形式。
（七）数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的。
数学认知结构是学生数学学习过程中的一个中心的心理成份，是在数学认知活动中形成和发展起来的，随着认知活动的不断进行和学生认知水平的逐步提高，学生的数学认知结构将不断被分化和重组，并逐渐达到精确化和完善化的程度。
五、学生数学认知结数学认知结构的完善
在中小学数学学习中，完善学生的数学认知结构通常可以从如下几个方面着手：
（一）引导学生亲身经历知识的生成过程，充分发挥学生在建构认知结构中的自主性。
认识是认知结构发展的主观因素。
再完善的知识结构也只有通过学生自己的主动认识，才能转化为其头脑里的认知结构。
数学认识的核心的主要心理成分是思维，数学认知结构的内涵是数学基础知识、数学思想方法及数学观念。
在教学过程中，只有引导学生自主参与数学认识活动过程，才能把学生的思维启动起来，作为客体的知识才能转化为学生自身的知识。
学生参与活动的自主性越强，思维越活跃，认知结构的建构速度就越快，质量就越高。
传统的教学方法对新知的形式过程谈得很少，甚至不谈，仅是教师个人思维活动在学生思维中的再现，学生的任务只是顺着教师的思维而思维，其结果是学生只记住了数学结论，却没有学到为什么会产生这个结论的思想和如何得到这个结论的方法。
学生在这种被动的学习状态下，是不利于认知结构的建构的。
“建构主义”学习观强调:
“学习并非是学生对于教师所授予的知识的被动接受，而是一个以其已有的知识和经验为基础的主动建构过程。
”因此，在教学过程中,要促进学生个体的思维活动，给学生营造一个主动发展、自主建构的思维空间，则需要引导学生参与新知发生与形成的过程，使学生在积极的思维活动中，自主获取新知识。
（二）在数学活动中充分暴露数学思维的过程。
数学认知的核心是数学思维。
只有把学生的思维启动起来，作为客体的数学知识才能转化为他们自身的知识。
要做到这一点，最根本的一条就是充分暴露数学思维活动的过程。
暴露数学思维过程，简单的说，就是重现数学知识的发生和发展过程，把数学知识的教学变成数学活动的教学。
教育心理学的研究指出，学习过程不仅是学生掌握知识的过程，更是一个主动发现问题、分析问题、解决问题的过程。
知识是思维的产物，但反映到课本中常常是不明显的、隐蔽的。
这就需要教师依据认识论的一般规律和数学方法论的基本原理，把有关知识的产生过程作出合乎逻辑的思维模拟，进而根据学生的实际设计出切实可行的教学方案，当学生的思维充分启动起来时，作为客体的知识才能转化成他们的知识。
这样他们头脑中的数学认知结构即包括了数学的概念、公式、定理也包括了数学思想方法、数学观念等。
（三）注重数学思想方法。
数学思想方法是数学能力的核心问题，只有抓住了这一问题，才能从根本上提高分析问题和解决问题的能力。
因此，教师在向学生传授知识时要重视对其进行数学思想方法的培养。
关于数学思想方法的教学，这些年一直重视不够。
我认为，在数学教学中应向学生渗透以下的数学思想方法：
1.导向型的思想方法，如抽象概括、化归、数学模型、数形结合、归纳猜想等。
2.逻辑型的思想方法，如分类、类比、完全归纳、反证法、演绎法等。
3.技巧型的方法，如换元法、配方法、待定系数法等。
目前，在数学教学中，只对演绎法及一些具体的技巧型的思想方法有所重视，而对其他方法则重视不够。
因此，在今后的数学教学实践过程中，应在保持重视技巧型数学方法训练的同时，加强对导向型和逻辑型思想方法的教学，这也是培养数学素养的要求之一。
（四）注重知识的整体性。
数学知识是一个充满联系的有机整体，数学是一门结构化的学科。
在数学的教学中，教师不仅要了解数学内容本身的规定和含义，还要以整体观念为指导，随时把它与其他内容联系起来去理解和掌握使学生在头脑里形成一个知识网络，这样才有利于学生对所学知识的深化理解、巩固及保持。
例如在学生学习四边形、平行四边形、梯形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等知识后，将这些前后分散的知识重新整理、提炼形成一个知识结构图，如图2所示：
图2反映了数学概念的逻辑系统性，在教学中遵循了从简到繁，从部分到整体的认识规律，概念的收扩过程,把知识系统化、整体化,弄清它们种属之间的关系，巩固对概念的理解。
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