专题32 利用导数研究函数的单调性届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx

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专题32利用导数研究函数的单调性届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版

第三篇导数及其应用

专题3.02利用导数研究函数的单调性

【考试要求】

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.

【知识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f（x）在某个区间内可导，则：

（1）若f′（x）>0，则f（x）在这个区间内单调递增；

（2）若f′（x）<0，则f（x）在这个区间内单调递减；

（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件

f′（x0）＝0

x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0

x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值

f（x0）为极大值

f（x0）为极小值

极值点

x0为极大值点

x0为极小值点

3.函数的最值与导数

（1）函数f（x）在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

（2）求y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【微点提示】

1.函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f′（x）≥0，“f′（x）>0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f（x），“f′（x0）＝0”是“函数f（x）在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>0.（　　）

（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　）

（3）函数的极大值一定大于其极小值.（　　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0为极值点的充要条件.（　　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（　　）

【教材衍化】

2.（选修2－2P32A4改编）如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

3.（选修2－2P32A5（4）改编）函数f（x）＝2x－xlnx的极值是（　　）

A.

B.

C.eD.e2

【真题体验】

4.（2019·青岛月考）函数f（x）＝cosx－x在（0，π）上的单调性是（　　）

A.先增后减B.先减后增

C.单调递增D.单调递减

5.（2017·浙江卷）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

6.（2019·豫南九校考评）若函数f（x）＝x（x－c）2在x＝2处有极小值，则常数c的值为（　　）

A.4B.2或6

C.2D.6

【考点聚焦】

考点一　求函数的单调区间

【例1】已知函数f（x）＝ax3＋x2（a∈R）在x＝－

处取得极值.

（1）确定a的值；

（2）若g（x）＝f（x）ex，求函数g（x）的单调减区间.

【规律方法】　1.求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；（3）在定义域内解不等式f′（x）>0，得单调递增区间；（4）在定义域内解不等式f′（x）<0，得单调递减区间.

2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.

【训练1】

（1）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）（　　）

A.在（0，＋∞）上递增B.在（0，＋∞）上递减

C.在

上递增D.在

上递减

（2）已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间为________.

【例2】（2017·全国Ⅰ卷改编）已知函数f（x）＝ex（ex－a）－a2x，其中参数a≤0.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围.

【规律方法】　1.

（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.

2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0（f′（x）＝0在x＝0时取到），f（x）在R上是增函数.

【训练2】已知f（x）＝

－alnx，a∈R，求f（x）的单调区间.

考点三　函数单调性的简单应用　

角度1　比较大小或解不等式

【例3－1】

（1）已知函数y＝f（x）对于任意的x∈

满足f′（x）cosx＋f（x）sinx＝1＋lnx，其中f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列不等式成立的是（　　）

A.

f

B.

f

>f

C.

f

>

f

D.

f

>f

（2）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f

（1）＝

，对任意实数都有f（x）－f′（x）>0，设F（x）＝

，则不等式F（x）<

的解集为（　　）

A.（－∞，1）B.（1，＋∞）

C.（1，e）D.（e，＋∞）

角度2　根据函数单调性求参数

【例3－2】（2019·日照质检）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝

ax2＋2x.

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.

【规律方法】　1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

2.根据函数单调性求参数的一般思路

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集.

（2）f（x）是单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上，f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【训练3】

（1）已知f（x）是定义在区间（0，＋∞）内的函数，其导函数为f′（x），且不等式xf′（x）<2f（x）恒成立，则（　　）

A.4f

（1）

（2）B.4f

（1）>f

（2）

C.f

（1）<4f

（2）D.f

（1）>4f′

（2）

（2）（2019·淄博模拟）若函数f（x）＝kx－lnx在区间（2，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）

A.（－∞，－2]B.

C.[2，＋∞）D.

【反思与感悟】

1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意函数f（x）的定义域.

2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.

3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.

【易错防范】

1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.

2.注意两种表述“函数f（x）在（a，b）上为减函数”与“函数f（x）的减区间为（a，b）”的区别.

3.在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.

4.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：

对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒为零.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f′（x）的图象可能是（　　）

2.函数f（x）＝x·ex－ex＋1的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，e）B.（1，e）

C.（e，＋∞）D.（e－1，＋∞）

3.（2019·青岛二中调研）若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B.不存在这样的实数k

C.－2

D.－3

4.已知f（x）＝

，则（　　）

A.f

（2）>f（e）>f（3）B.f（3）>f（e）>f

（2）

C.f（3）>f

（2）>f（e）D.f（e）>f（3）>f

（2）

5.（2019·济宁一中模拟）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为（　　）

A.（－1，1）B.（－1，＋∞）

C.（－∞，－1）D.（－∞，＋∞）

二、填空题

6.已知函数f（x）＝（－x2＋2x）ex（x∈R，e为自然对数的底数），则函数f（x）的单调递增区间为________.

7.若函数f（x）＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.

8.若函数f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax在

上存在单调递增区间，则a的取值范围是________.

三、解答题

9.已知函数f（x）＝

＋

－lnx－

，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝

x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间.

10.（2019·成都七中检测）设函数f（x）＝ax2－a－lnx，g（x）＝

－

，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：

当x>1时，g（x）>0.

【能力提升题组】（建议用时：

20分钟）

11.（2017·山东卷）若函数exf（x）（e＝2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的是（　　）

A.f（x）＝2－xB.f（x）＝x2

C.f（x）＝3－xD.f（x）＝cosx

12.（2019·上海静安区调研）已知函数f（x）＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f（lnx）＋f

<2f

（1）的解集为（　　）

A.（e，＋∞）B.（0，e）

C.

∪（1，e）D.

13.若函数f（x）＝x－

sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是________.

14.已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·

在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围.

【新高考创新预测】

15.（多填题）已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点（－1，－6），函数g（x）＝f′（x）＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f（x）的单调递减区间为________.