初二数学同步辅导教材第3讲2.docx

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初二数学同步辅导教材第3讲2

初二数学同步辅导教材（第3讲）-2

初二数学同步辅导教材（第3讲）

【教学进度】

§8.2§8.3

【教学内容】

1．运用公式法

2．分组分解法

【重点、难点剖析】

一、运用公式法

1．常用的公式如下：

平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式a2

2ab+b2=（a

）2

2．运用公式分解因式

（1）要注意公式的特点

平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）特点是：

公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反，每一项都可以化成某个数或某式的平方的形式，左边分解的结果：

这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解成两个一次二项式的积。

运用a2-b2=（a+b）（a-b）分解因式已在上讲中我们已讲了例题，做了练习。

（2）平方公式：

a2

2ab+b2=（a

b）2特点是：

左边相当于一个二次三项式，首末两项是两个数或某个式子的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可，公式右边是某两个数或某两个式子的和或差的平方，完全平方公式分解之后，括号右上方的指数“2”，不要忘记，要特另注意。

（3）运用公式法分解因式，对一些计算可以起到简化的作用，例如：

4282-3282=（428+328）（428-328）=756×100=75600

（4）无法考虑使用哪一个公式，在此之前应先考虑是否可提取公式，因为它能使剩下的多项式因式简化，另外要检查分解后的多项式因式能否再分解。

二、分组分解法

1．对于一个含有四项或更多项的多项式进行分解因式，一般采用分组分解法来进行。

2．分组原则

（1）分组后能提公因式；

（2）分组后能运用公式；

例如：

分解因式x2-xz+xy-yz，把前两项作为一组，后两项作为一组，当组内公因式提出后，同时组间产生了新的公因式，从而达到分解因式的目的，x2-xz+xy-yz=x（x-z）+y（x-z）=（x-z）（x+y）

分组分解法分组并不是唯一的，对于x2-xz+xy-yz，可以把第一、三两项作为一组，也可以把第二、四两项作为一组，同样可以达到因式分解目的：

x2-xz+xy-yz=（x2+xy）+（-xz-yz）=x（x+y）-z（x+y）=（x+y）（x-z）

例1．分解因式：

（1）m4-1

（2）a2-a+

（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16（4）x6-y6

分析：

对

（1）、

（2）、（3）明显可直接运用平方差公式或完全平方公式；对（4）可将x6,y6分别写为（x3）2和（y3）2

解

（1）m4-1=（m2-1）（m2+1）=（m+1）（m-1）（m2+1）

（2）a2-a+

=a2-2.a.

+（

（3）1+6（x+y）+9（x+y）2=12+2×3（x+y）×1+[3（x+y）]2=（1+3x+3y）2

（4）x6-y6=（x3）2-（y3）2=（x3+y3）（x3-y3）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-y）（x2+xy+y2）

点评：

1．分解因式一定要彻底，即进行到每个多项式都不能再分解为止。

如（4）如果分解因式m4-1=（m2-1）（m2+1）就叫做分解因式不彻底。

2．立方和（差）公式：

a3

在分解因式的时候也经常用到，熟悉并掌握是有好处的。

如（4）中就用到这个公式，以使分解因式达到彻底。

例2．分解因式

（1）xn+1-6xn+9xn-1

（2）x6（x+y-z）+y6（z-x-y）

分析：

提取公因式后再运用公式

解

（1）原式=xn-1（x2-6x+9）=xn-1（x-3）2

（2）原式=（x+y-z）（x6-y6）

=（x+y-z）[（x3）2-（y3）2]

=（x+y-z）（x3+y3）（x3-y3）

=（x+y-z）（x+y）（x2-xy+y2）（x-y）（x2+xy+y2）

例3．分解因式

（1）x3（x-2y）+y3（2x-y）

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24

分析：

本题二个小题从原形式来既不能提取公因式入手来分解因式，又不能直接应用公式进行因式分解，为此先展开变形后运用公式。

解

（1）原式=x4-2yx3-2xy3-y4

=（x4-y4）-（2x3y-2xy3）

=（x2+y2）（x2-y2）-2xy（x2-y2）

=（x2-y2）（x2+y2-2xy）

=（x+y）（x-y）（x-y）2

=（x+y）（x-y）3

（2）原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]-24

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）-24

设x2+5x+5=y

则原式=（y-1）（y+1）-24

=y2-25

=（y+5）（y-5）

=（x2+5x+10）（x2+5x）

=x（x+5）（x2+5x+10）

（2）展开时考虑到两个二次三项式中二次项与一次项分别相等，这里引入辅助字母y=x2+5x+5，而x2+5x+5是x2+5x+4与x2+5x+6的平均值，所以这种换元称为均值换元。

例4．把mx+nx+my+ny因式分解

分析：

多项式共有四项，可按公因式分成两组mx与nx,my与ny各一组。

解：

原式=（mx+nx）+（my+ny）

=x（m+n）+y（m+n）

=（m+n）（x+y）

点评：

分组分解法的关键是适当、合理地分组，本题按公因式分组是一种常用的分组方法。

例5．把16x2-9y2-32x+16因式分解

分析：

先把一、三、四项分在一组，利用完全平方公式分解，再与第二项运用平方差公式分解。

解：

原式=（16x2-32x+16）-9y2

=（4x-4）2-（3y）2

=（4x-4+3y）（4x-4-3y）

按能否使用公式分组是分组分解法中也是一种常用的方法

例6．分解因式a2-6ab+9b2-4a+12b

分析：

将所有二次项作为一组，将所有一次项作为一组，第一组是一个完全平方，第二组有公因式

解：

原式=（a2-6ab+9b2）-（4a-12b）

=（a-3b）2-4（a-3b）

=（a-3b）（a-3b-4）

例7．分解因式

（1）20y3+6ax2-8axy-15xy2

（2）a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）

（1）式中y为3次，x为2次，a为一次，可依最低的a为主元重新排列。

（2）式中a、b、c的字母次数相同，可选一个字母为主来排列。

解

（1）原式=6ax2-8axy+20y3-15xy2

=2ax（3x-4y）-5y2（4y-3x）

=（3x-4y）（2ax+5y2）

（2）原式=（b-c）a3-（b3-c3）a+（b3c-bc3）

=（b-c）a3-（b-c）（b2+bc+c2）a+bc（b2-c2）

=（b-c）[a3-（b2+bc+c2）a+bc（b+c）]

=（b-c）[（c-a）b2+（c-a）bc-a（c2-a2）]

=（b-c）（c-a）[b2+bc-a（c+a）]

=（b-c）（c-a）（b2+bc-ac-a2）

=（b-c）（c-a）[（b2-a2）+c（b-a）]

=（b-c）（c-a）（b-a）（b+a+c）

例8．分解因式

（1）x4+4

（2）x3-9x+8

分析：

（1）只有两项，这两项是平方和（x2）2+22的形式，而公式中没有平方两项和的公式，只有平方差公式、完全平方公式、立方和（差）公式，要使用公式必须添一中项

随即将此项减去即可。

（2）本题是三次三项式，显然不能直接进行因式分解，可将8折成-1+9，即可运用公式了。

解

（1）原式=x4+4x2+4-4x2

=（x4+4x2+4）-4x2

=（x2+2）2-（2x）2

=（x2+2x+2）（x2-2x+2）

（2）原式=（x3-1）+（-9x+9）

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x+1-9）

=（x-1）（x2+x-8）

点评：

本例是先添（拆）项，后分组

【巩固练习】

一、选择题

1．将x2（x-y）2-y2（y-x）2因式分解的结果是（）

（A）（x-y）2（x2+y2）（B）（x-y）2（x2-y2）（C）（x-y）2（x-y）（x+y）（D）（x-y）3（x+y）

2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（）

（A）–a3-b3（B）a2-ab+b2（C）a2+b2（D）–a-b

3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（）

（A）4种（B）3种（C）2种（D）1种

4．用分组分解法分解多项式a2-b2-c2+2bc时，分组正确的是（）

（A）（a2-c2）+（2bc-b2）（B）（a2-b2-c2）+2bc（C）（a2-b2）-（c2-2bc）（D）a2+（2bc-b2-c2）

5．已知多项式2x3-x2-13x+m有一个因式是2x+1，则m的值是（）

（A）0（B）6（C）-1（D）-6

6．下列多项式按下面的分组不能分解的是（）

（A）（2ax-10ay）+（5by-bx）（B）（5by-10ay）+（2ax-bx）

（C）（x2-y2）+（ax+ay）（D）（x2+ax）-（y2-ay）

二、填空题

7．利用公式填空

（1）

（）2=（）2

（2）多项式x4-y4,x4+2x2y2+y4,x3y+xy3,x6+y6的公因式是————

（3）9x2+（）+16y2=（）2

（4）将-m4+m2n2因式分解的结果是___________

（5）分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3适当分组的方法是_________

8．在下列多项式a2-4b2-a+2b,a2b2-4ab+4-c2,4a2-9b2+24bc-16c2,a2-4b2+4b-1,16a2-16b2+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。

三、解答题

9．把x3y-xy3分解因式

10．把16（x+y）2-24（x+y）+9分解因式

11．把（x2+y2）2-4x2y2分解因式

12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9（a+1）2（a-1）2-6（a2-1）（b2-1）+（b+1）2（b-1）2

14．

15．把16x2-8x-y2+2y分解因式

16．把x3+2x2-4x-8因式分解

17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz

（2）a3+a2+b3+b2+2ab（3）16-x2n-100y2+20xny

（4）ab（c2-d2）-cd（a2-b2）（5）x3-x2-x-y3+y2+y（6）4x4+1

18．使多项式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值为_______

19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【参考答案】

一、1．D；2．A；3．C；4．D；5．D；6．D

二、7．

（1）2n、

（2）（x2+y2）2（3）（3x+4y）2

（4）–m2（m+n）（m-n）（5）（8x3-y3）-（12x2y-6xy2）

8．3

三、解答题

9．xy（x+y）（x-y）10．（4x+4y-3）211．（x-y）2（x+y）212．x2（xn+1）2（x2n-xn+1）2

13．（3a2-b2-2）214．

15．（4x-y）（4x+y-2）16．（x+2）2（x-2）

17．

（1）（x+y+z）（x-y-z）;

（2）（a+b）（a2-ab+b2+a+b）（3）（4+xn-10y）（4-xn+10y）

（4）（ac+bd）（bc-ad）（5）（x-y）（x2+xy+y2-x-y-1）（6）（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）

18．

1,-1提示：

将2x3-x2-2x+1因式分解

19．1提示：

将x3+3xy+y2因式分解，再将已知条件中代入