高中数学 104《二项式定理第三课时》教案 旧人教版必修.docx

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高中数学104《二项式定理第三课时》教案旧人教版必修

2019-2020年高中数学10.4《二项式定理·第三课时》教案旧人教版必修

●教学目标

（一）教学知识点

1.二项式定理及有关概念，公式.

2.二项式系数性质.

（二）能力训练要求

1.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用.

2.掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法.

（三）德育渗透目标

1.提高综合素质.

2.培养应用能力.

●教学重点

二项式定理及有关概念、公式的应用.

●教学难点

二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解.

●教学方法

讲练相结合法

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

二项式定理：

（a+b）n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn.

通项公式：

Tr+1=an-rbr.

二项式系数：

.

二项式系数的性质：

=，即对称性.

当n为偶数时，最大.

当n为奇数时，=且最大.

各项系数之和

++…++…+=2n.

Ⅱ.讲授新课

［师］请同学们结合例题掌握以上知识.

［例1］已知（）n展开式的二项式系数之和比（a+b）2n的展开式的系数之和小240，求（）n的展开式中系数最大的项.

［师］请大家结合我们回顾的二项式系数的性质来分析此题.

［生甲］我认为，可以先将题意转化为数学表达式，（）n的展开式的二项式系数即++…+，利用二项式系数的性质可得++…+=2n.而（a+b）2n的展开式的系数可由赋值法得到，令a=b=1，可得（a+b）2n的展开式的系数为22n.由题意可得2n=22n-240，但方程还未解出.

［生乙］我的解题思路与甲同学一致，2n=22n-240可化为（2n）2-2n-240=0,这是一个关于2n的一元二次方程，可以将2n解出，从而得到n值,然后写出（）n的展开式的通项公式Tr+1=·（）r·（）n-r，再考查系数的最大值.

［生丙］乙同学的解法可以改进一下，因为（）n中两项的系数均为1，所以展开式中各项的系数即二项式系数，所以二项式系数的最大项即展开式系数的最大项，由二项式系数的性质可知（r=0,1,2,…,4）中，最大，故所求最大项即第3项.

解：

由题意，得2n=22n-240,

∴22n-2n-240=0,

即（2n-16）（2n+15）=0.

又∵2n+15>0,∴2n-16=0.

∴n=4.∴（）n=（）4.

又∵（）4的展开式中二项式系数的最大的项为第3项，所以，所求（）4展开式中系数最大的项为第3项，即T3=（）2（）2=6.

［例2］已知1+2+22·+…+2n=2187,求++…+的值.

［师］此题中涉及到的都是二项式系数，请大家通过思考来寻求已知与所求的内在联系.

［生丁］从所求化简可知++…+=2n.

［生戊］丁同学的叙述有错误，因为++…+=2n,故有++…+=2n-1.

［师］很好，大家也应注意公式或性质的正确应用，请丁同学继续说.

［生丁］从所求来看只需通过已知求出n即可.由于已知等式的左端1+2+22+…+2n·与二项式（1+x）n的二项展开式1+x·+x2·+…+xn·的二项展开式1+x·+x2·+…+xn·的结构一样，若令其中的x=2便可得到已知条件的左端，故可以逆用二项式定理，将已知1+2+22·+…+2n·转化为（1+2）n=3n,再由3n=2187=37解得n=7，再代入2n-1便达到求解的目的.

解：

∵1+2+22·+…+2n·=（1+2）n=3n,

∴3n=2187=37.∴n=7.

又∵+++…+=2n,

∴++…+=2n-1.

∴++…+=++…+=27-1=127.

［例3］求证：

1+2+22+…+25n-1能被31整除.

［师］请大家考虑1+2+22+…+25n-1如何化简，并且与二项式定理产生联系.

［生己］通过等比数列求和将1+2+22+…+25n-1化简为=32n-1，然后将32分解为31+1，再利用二项展开式展开，考查每一项都能被31整除，从而达到求证目的.

［师］很好，解此类题的关键在于依据除式的形式构造相应的二项式，并在展开式中分解出相应的因数，而且此题顺便考查了等比数列的求和公式，下面请大家完善一下.

解：

1+2+…+25n-1=

=32n-1=（31+1）n-1

=31n+·31n-1+…+·31+-1

=31n+·31n-1+…+·31

=31·（31n-1+·31n-2+…+）,

∵31n-1,·31n-2,…,都是整数，

∴原式可被31整除.

Ⅲ.课堂练习

1.求（）9的展开式中的有理项.

分析：

因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解.

解：

∵Tr+1=（）9-r（-）r=（-1）r·,

其中r=0,1,2,…,9.

∴由题意得应为整数.

r=0,1,2,…,9.

∴经检验，知r=3和r=9.

∴展开式中的有理项为

T4=-·x4=-84x4,

T10=-·x3=-x3.

2.已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求

（1）a1+a2+…+a7;

（2）a1+a3+a5+a7;

（3）a0+a2+a4+a6.

分析：

（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解.

解：

（1）∵（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,

令x=1,得

a0+a1+a2+…+a7=-1.

令x=0得a0=1.

∴a0+a1+a2+…+a7=-2.

（2）令x=-1,得

a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187.

由上式得

a1+a3+a5+a7=1094,

a0+a2+a4+a6=1093.

评述：

在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法.

Ⅳ.课时小结

应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用，基本掌握解决与此有关的问题的思想方法.

Ⅴ.课后作业

课本P110习题10.47、9、10.

●板书设计

10.4.3二项式定理应用

例题讲解复习回顾

课时小结

2019-2020年高中数学10.4《二项式定理》备课资料旧人教版必修

［例1］在（x2+3x+2）5的展开式中，x的系数为

A.-160B.240C.360D.800

分析：

把［（x2+3x）+2］5直接展开，即=（x2+3x）5+5（x2+3x）4·2+

10（x2+3x）3·22+10（x2+3x）2·23+5（x2+3x）·24+25.

注意到x的指数为1，只有在5（x2+3x）·24中才出现x的项，所以x的系数为5×３×

２4=240.

答案：

B

但应明确直接展开只适用于n是较小的自然数.

二、利用二项展开式的通项公式

［例2］由（x+）100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有________项.

A.50B.17C.16D.15

分析：

考虑（x+）100的展开式的通项

Tr+1=（x）100-r（）r

=···x100-r

=···x100-r.

要使系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k≤100,即r=0,6,12,…,96，因此共有17项.

答案：

B

三、分解因式求特定项系数

［例3］求（1+x+x2）（1-x）10展开式中含x4项的系数.

分析：

原式=（1-x3）（1-x）9,

其中（1-x）9展开式的通项为Tr+1=（-x）r.

令r=4,得T4+1=x4;

令r=1,得T1+1=-x.

故x4的系数为+=135.

四、利用排列组合原理求系数

［例4］求（x2+3x-1）9（2x+1）4展开式中含x2的项的系数.

分析：

为了保证相乘得到x2的项，则前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的个数有以下几种情况：

1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.

故展开式中含x2的项为x2（-1）8+（3x）2（-1）7+（3x）1

·（-1）8·2x·+·（-1）9（2x）2=（9-324+216-24）x2=-123x2,

故所求系数为-123.

五、利用估算公式求系数最大项

估算公式：

若二项式（ax+by）n（a,b∈R+,n∈N）的展开式的系数最大的项为第r+1项，

则有

公式证明：

设展开式的第r、r+1、r+2项的系数分别为,,.

由展开式相邻两项的系数关系，

易知

而由题意，第r+1项的系数最大，

所以，

即

成立.

［例5］问（2+3x）20展开式中系数最大的项是第几项？

解：

设第r+1项的系数最大，则

解得≤r≤.

由于r是正整数，所以r=12,即第13项的系数最大.

说明：

若在（ax+by）n中，a、b异号，则估算公式改为

由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项.

六、巧求二项展开式某一特定项

求二项展开式中某一特定项是《排列组合二项式定理》中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.

［例6］求（a+b+c+d）1995展开式中a200b800·c900d95项的系数.

解：

（a+b+c+d）1995=（a+b+c+d）（a+b+c+d）…（a+b+c+d）,一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a200b800c900d95项的系数应为.

［例7］求（|x|+-2）3展开式中的常数项.

解：

（|x|+-2）3=（）6.

展开式中第r+1项为

Tr+1=（-1）r=（-1）r|x|3-r,

当且仅当r=3时，Tr+1为常数，所以，所求常数项为T4=-20.

［例8］求（1+x-x2）6展开式中的x5项.

分析：

1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.

解：

（1+x-x2）6展开式中，xm+2n项（其中m,n都是自然数，且m+2n≤6）是（-1）n···xm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下几种情况：

①若n=1,则m=3,得项-x5=-60x5;

②若n=2，则m=1，得项x5=60x5;

③若n=0,则m=5,得项x5=6x5.

以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.

●备课资料

一、与二项式系数有关的求和问题

（一）赋值法

［例1］证明下列等式.

（1）+++…+=2n;

（2）+++…=+++…=2n-1.

证明：

利用（1+x）n=+x+x2+…+xn赋值.

令x=1可得

（1+1）n=+++…+=2n.

令x=-1可得

（1-1）n=+++….

可得+++…=+++….

又+++…+=2n,

∴++…=++…=·2n=2n-1.

［例2］若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=________.

分析：

令x=1可得

（2+）4=a0+a1+a2+a3+a4.

又a0=（）4=9,

∴a1+a2+a3+a4=（2+）4-9=88+56.

（二）公式法

［例3］求和：

+++….

分析：

针对求和问题，抓住变通项思路，灵活运用组合数公式将变量转化为不变量，并结合组合数性质进行化简.

解：

∵

=

=

=，

∴+++…+

=++…+

=（+++…+）

=（+++…+-1）

=（2n+1-1）.

（三）裂项求和

［例4］求和：

+++…+.

分析：

抓住通项，对通项进行变形，然后寻求求解思路.

解：

∵=,

∴=.

∴++…+

=（+…+（-）

=2-.

（四）构造等式

［例5］求和：

+++…+（r＜n）.

解：

由等比数列前n项和公式知

（1+x）r+（1+x）r+1+…+（1+x）n=.

又等式左边的展开式中xr项的系数和为+++…+.

等式右边的展开式中xr项的系数就是

（1+x）n+1-（1+x）r展开式中xr+1项的系数为.

∴+++…+=.

（五）逆用二项式定理

［例6］已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

求和：

a1+a2+a3+…+an+1.

解：

a1+a2+a3+…+an+1

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn

=a1（+q+q2+…+qn）

=a1（1+q）n.

（六）倒序相加法

［例7］已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

求和：

a1+a2+a3+…+an+1.

解：

设Sn=a1+a2+a3+…+an+1,①

则Sn=an+1+an+an-1+…+a1,

即Sn=an+1+an+an-1+…+a1.②

①+②得2Sn=（a1+an+1）+（a2+an）+…+（a1+an+1）.

又∵等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

∴a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=a1+an+1=2a1+nd.

∴2Sn=（a1+an+1）+（a2+an）+（a3+an-1）+…+（a1+an+1）

=（2a1+nd）（++…+）

=（2a1+nd）·2n.

∴a1+a2+a3+…+an+1=（2a1+nd）·2n-1.

二、创设问题情境证明组合数等式

有关多个组合数之和的等式可以通过创设问题情境，并设计不同的解题方案，寻求其中的等量关系.

［例1］求证：

+++…+=2n.

创设问题：

集合A={a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少？

方案一：

按A的子集中元素的个数分类求解+++…+.

方案二：

按ai是否进入A的子集分步求解=2n.

结论：

+++…+=2n.

［例2］求证：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

创设问题1：

求（1+x）2n展开式中xn的系数.

方案一：

考虑（1+x）2n展开式中xn的系数.

方案二：

考虑（1+x）n（1+x）n展开式中xn的系数为++…+.

结论：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

创设问题2：

一只口袋中有2n个不同小球，其中有n个红色的，n个黄色的，从中任取n个小球，有多少种方法？

方案一：

不分红黄，从2n个小球中任取n个小球.

方案二：

按照所取红球的个数分类

++…+.

结论：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

另外，类似还可设计问题

A={a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}，求A的含有n个元素的子集的个数.

［例3］求证：

+2+3+…+n=n·2n-1.

创设问题：

求数列{ar},ar=r的前n项和Sn.

方案一：

依次求Sn=+2+…+n.

方案二：

颠倒求Sn=n+（n-1）+…+=n+（n-1）+…+.

错位相加得

2Sn=n（++…+）=n·2n.

结论：

+2+3+…+n=n·2n-1.

创设问题情境证明组合数等式不仅运算量小，生动有趣，而且有利于培养我们的想象力和创造性思维能力，如果我们拥有这方面的意识，就能很快找到创设问题的依据，从而帮助我们巧妙解决难题.

●备课资料

一、有关二项式定理的高考试题分类解析

高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题，及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用.

（一）求多个二项式的积（和）的展开式中条件项的系数

［例1］（xx年全国高考）（x2-）9展开式中x9的系数是________.

分析：

此题体现抓“通项”的思路.

解：

Tr+1=（x2）9-r（-）r

=（-1）r·2-rx18-2r·x-r

=（-1）r·2-r·x18-3r,

当18-3r=9时,得r=3,

所以x9系数为（-1）32-3=-.

［例2］（xx年全国高考题）（x+2）10·（x2-1）展开式中含x10的系数为________.（用数字作答）

分析：

（x+2）10·（x2-1）展开式中含x10的项由（x+2）10展开式中含x10的项乘以-1再加上（x+2）10展开式中含x8的项乘以x2得到，即

x10·（-1）+x8·22·x2,

故所求的x10的系数为

·（-1）+·22=179.

［例3］（xx年上海高考题）在（1+x）5（1-x）4的展开式中，x3的系数为________.

分析：

（1+x）5（1-x）4=（1+x）（1-x2）4,

其中（1-x2）4展开的通项为·（-x2）r,故展开式中x3的系数为-=-4.

［例4］（1990年全国高考题）（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）4+（x-1）5的展开式中x2的系数等于________.

分析：

求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量.

原式==,

只需求（x-1）6展开式中x3的系数即可，Tr+1=x6-r（-1）r,

令r=3得系数为-20.

（二）求多项式系数和

［例5］（xx年全国高考题）若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为

A.1B.-1C.0　　　　　　　　　　D.2

分析：

涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法.

解：

欲求式可变为（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4）.

实际上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分别为已知式在x=1,x=-1的值.

令x=1，得

（2+）4=a0+a1+a2+a3+a4,

令x=-1，得

（2-）4=a0-a1+a2-a3+a4,

∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（2+）4·（2-）4

=［（2+）（2-）］4

=（4-3）4

=1.

（三）求幂指数n

［例6］（1995年上海高考题）若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+…+1（n∈N）,且a∶b=3∶1,那么n=________.

分析：

x3的系数a=，x2的系数b=C2n,依题意a∶b=3∶1,

即∶=3∶1,

解得n=11.

即n=11满足题意.

（四）求二项式中有关元素

此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素.

［例7］（1997年全国高考题）已知（）9的展开式中x3的系数为,则常数a的值为________.

分析：

通项Tr+1=·（）9-r·（-）r=·a9-r·（-）r·,

令r-9=3,

解得r=8,

故·a9-r·（-）r=.

解得a=4.

［例8］（xx年上海高考题）设n∈N,（1+）n的展开式中x3的系数为,则n=________.

分析：

Tr+1=（）rxr,

令x3的系数为·,

展开整理得.

解得n=4.

（五）三项式转化成二项式问题

［例9］（1997年全国高考题）在（x2+3x+2）5的展开式中，x的系数为

A.160B.240

C.360D.800

分析：

原式写成二项式［（x2+2）+3x］5,设第r+1项为含x的项.

则Tr+1=（x2+2）5-r·（3x）r（0≤r≤5）,

要使x的指数为1，只有r=1才有可能，

即T2=（x2+2）4·3x=15x（x8+4·2x6+6·4x4+4·8x2+24）.

∴x的系数为15·24=240.

答案：

B

（六）求整除余数

［例10］（1992年“三南”高考题）9192除以100的余数是________.

分析：

9192=（90+1）92=9092+9091+…+90+.

由此可见，除后两项外均能被100整除.

而·90+=8281=82×100+81.

故9192被100整除余数为81.

（七）利用二项展开式证明不等式

［例11］（xx年全国高考题）已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n.

（1）证明：

ni＜mi;

（2）证明：

（1+m）n＞（1+n）m.

证明：

（1）略.

（2）由二项式定理知

（1+m）n=,

（1+n）m=

由

（1）知ni＜mi,

又=,=

∴ni＜mi（1＜i≤m＜n）.

故<.

又n0=m0，n=mn=m,

∴<,

即（1+n）m＜（1+m）n.

（八）求近似值

［例12］某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷（精确到1公顷）？

（粮食单产=，人均粮食占有量=）

分析：

此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力.

解：

设耕地平均每年至多只能减少x公顷（hm2）,又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷（t/hm2）,

依题意得不等式

化简得x≤103×［1-］,

∵103×［1-］=103×［1-×（1+×0.01+×0.012+…）］

≈103×［1-×1.1045］≈4.1,

∴x≤4（公顷）.