圆锥曲线知识点+例题+练习含答案整理讲解学习.docx
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圆锥曲线知识点+例题+练习含答案整理讲解学习
圆锥曲线
一、椭圆：
（1）椭圆的定义：
平面内与两个定点Fi,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2|L的点的轨迹。
其中：
两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：
2a时2|表示椭圆；2a4F1F2|表示线段F1F2；2a：
：
:
|F1F2|没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点，焦点在x轴上
中心在原点，焦点在y轴上
标准方
程
22
冷+答=1（a>b>0）
ab
22
爲心=1（a>b:
>0）
ab
图形
b
x
P
A-
k
y
A2X
I
OA2x
B1
O
B1
F
顶点
A（-a，0）,A2（a,0）
B（0,—b）,B2（0,b）
A（-b,0）,A2（b,0）
B1（0,-a）,B2（0，a）
对称轴
x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a
焦占
八、、八、、
R（-c,0）,F2（c,0）
F1（0-c）,F2（0,c）
焦距
|RF2|=2c（c>0）c2=a2—b2
离心率
e=c（0cec1）（离心率越大，椭圆越扁）
a
通径
空（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
a
<<<<<<精品资料》》》》》
（1）双曲线的定义：
平面内与两个定点F,,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F,F2|）的点的轨迹。
其中：
两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：
\PFi\-\PF22a与|PF?
|-|PFi\=2a（2a：
：
：
|叭|）表示双曲线的一支。
2a=\F”\表示两条射线；2a\证\没有轨迹;
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点，焦点在x轴上
中心在原点，焦点在y轴上
标准
方程
2x
~2a
2
”（aOb.O）
A（-a,0）,A2（a,0）
22
yx
22-1（a0,b0）
对称轴
X轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a
焦占
八、、八、、
Fi（-c,0）,F2（c,0）
F1（0,-c）,F2（0,c）
222
\F1F2H2c（c.0）c二ab
离心率
渐近线
e=c（e1）a
.b
yx
a
（离心率越大，开口越大）
2b2
a
（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线x2工“的渐近线，可令其右边的1为0,即得•工=0，因式分解得到A_X=0。
a2b2a?
『ab
2222
②与双曲线汁汁1共渐近线的双曲线系方程是汁育.;
（4）等轴双曲线为x2-y2=t2，其离心率为■2
（4）常用结论：
22
（1）双曲线x2y2=1（a0,b0）的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线
ab
的同一支于代B两点，则：
ABF2的周长=
22
（2）设双曲线笃一爲=i（a0,b0）左、右两个焦点为FiE，过Fi且垂直于对称轴的ab
直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是
|PQ卜
三、抛物线:
（1）抛物线的定义：
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：
定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线
（2）
抛物线的标准方程、
图象及几何性质:
焦点在x轴上,
焦点在x轴上,
焦点在y轴上,
焦点在y轴上,
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
标准
对称轴
=2py
y
P
y
F
O
0（0,0）
2x
2=_2px
焦占
八、、八、、
0）
F＜，0）
p
F（°,专）
“诗）
离心率
p
yp
2p
焦半径
|PF|十0|
|PF冃小电
焦点弦
焦准距
四、弦长公式:
|AB|=1k2|xi-X2
（XiX2）2-4XiX2
—'2Y也
=1k
|A|
其中，代也分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和X2的系数
求弦长步骤：
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得关
B
于x的一元二次方程Ax2BxC=0,设A（Xi,yi），B（X2』2），由韦达定理求出％•x?
=
A
C
x1x^—；（3）代入弦长公式计算。
A
法
（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay2■By■C=0,则相应的
弦长公式是:
IAB1=”1十（+）2Iyi_y21=”1+G）2J（yi+y2）2—4yy=卜Q2岳
注意
（1）上面用到了关系式
IX1-X2I二（X1X2）2-4X1X2二-—|和
1A1
2
%"二（％y2）-4y』2
IA|
注意
（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法
（一）：
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得关于x
B
的一元二次方程Ax2Bx—=0,设A（X1,yJ，B（X2,y2），由韦达定理求出X1X2；（3）
A
设中点M（xo，yo），由中点坐标公式得空；再把x=x0代入直线方程求出y=yo。
2
法
（二）：
用点差法，设A（x1，y1），B（X2,y2），中点M（xo,yo），由点在曲线上，线段
的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出Xo,yo。
六、求离心率的常用方法：
法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e（求e时,要注意椭圆离心率取值范围是01）
例1:
设点P是圆x2y^4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足
TT
PM=2MD•当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.
TT
解设点M的坐标为x,y，点P的坐标为xo,yo，由PM=2MD，
得x-x0,y-y0=28-x,-y，即x°=3x-16,y°=3y.
因为点P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x^+y02=4.即（3x_16（+（3y）=4,
2即ix-16j>y2，这就是动点M的轨迹方程.
i3丿丫9
例2:
已知椭圆的两个焦点为（-2,0）,（2,0）且过点（5,-?
），求椭圆的标准方程
22
22解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为笃•爲=1（ab0）,ab
由椭圆的定义可知：
2a二
5-、2
（2+2））+（_2_o）+｛（亍_2）+（
3一0）2*
=a2-c2=6所以所求的标准方程为
22
xy‘
1
106
解法27c=2,.b2=a
2_c2二a2-4，所以可设所求的方程为
22
仔七「，将点（|-|）
aa-422
22
代人解得：
a「10所以所求的标准方程为-=1
106
例3——-I上有一恵化它到带冏的左虫点近的距离为気求XPFR眄而取.
"10036「
絡由椭阅钓定义，^\PF[\-\PF:
|=2a=2Ot所以|P©=12.
2x|Pf；仪|F%|2x8x12
sinZF.PE-.JMS/f总二丄xSxI2x-12JiT
Fi
y^z
民
例4•一--
设血春”几AB的中点Mh’yh则
尸且灯+卯=弘
①4.t/+9才-36②.①-②得4（1-x,X-v-）+9（j-”+y,）-0
.y-Si_4空+如4,yy
**-—乂―
Xj-x29（jj+冏）i-
即斫求射软逊方樫为4^--r-9j-=
高二圆锥曲线练习题1
<<<<<<精品资料》》》》》
1、Fi,F2是定点，且|FiF2|=6，动点M满足|MFi|+|MF2|=6，贝UM点的轨迹方程是（）（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段
2、已知ABC的周长是16，A（_3,0），B（3,0）,则动点的轨迹方程是（）
22
（A）才話“（B）
22
2516
22
"0）（C）話加（D）
22
1625
=1（y"）
.3
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）
A.
4、设椭圆G的离心率为右，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个
焦点的距离的差的绝对值等于
8，贝U曲线C2的标准方程为（
A.
42*4
y
32
-1
132
y
52
-1
32
y
42
-1
132
122
-1
22
A.xy-10x9=0
22
B.xy-10x16=0
22
C.xy10x16=0
22
D.xy10x9=0
22
5、设双曲线笃1a0的渐近线方程为3x_2y=0，则a的值为（）
a9
（A）4
（B）3
（C）2
（D）1
6、双曲线2x
-y2=8的实轴长是（
）
（A）2
（B）22
（C）4
（D）4一2
22
9、、过椭圆务•占=1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若
ab
NF1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）
A.辽B.^3C.1D.1
2323
10、“m.n.0”是“方程mx2•ny2=1”表示焦点在y轴上的椭圆的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6;.
⑵焦点坐标为（=3,0）,（..3,0）,并且经过点（2，1）;.
（3）椭圆的两个顶点坐标分别为（-3,0）,（3,0）,且短轴是长轴的1；
3
⑷离心率为仝，经过点（2，0）;
2
22
12、与椭圆—y1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是：
94
13、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点％F2在x轴上，离心率为辽.过
2
F1的直线I交C于代B两点，且ABF2的周长为16,那么C的方程为：
22
14、已知％F2为椭圆—11的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若
2591
F2A|+|F2B=12，贝UAB=.
22
15、已知F1、F2是椭圆C:
笃-=1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PR_PF?
，
ab
若厶PF1F2的面积是9,则b=.
16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（4，--3），Q（2.2,3）两点的椭圆方
程。
圆锥曲线练习题2
2
1•抛物线y-10x的焦点到准线的距离是（）
A.（7,__14）B.（14,_..帀）C.（7,_2.、14）d.（_7,_2.,14）
22
3.以椭圆汁®1的顶点为顶点，离心率为
2的双曲线方程（
22
xy’
A.1
1648
22
xy’
B.1
927
C.
2222
x__i_=1或乂一z=1
1648927
D.以上都不对
4.以坐标轴为对称轴,
以原点为顶点且过圆
2
y-2x6y^0的圆心的抛物线的方程是（
A.y=3x2或y
--3x2
c2
B.y二3x
22
C.y9x或y=3x
D.y二-3x2或y2=9x
5.若抛物线y2二x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（
（4，-
B.（8-
C.（4,
4
D.G
6.椭圆
22
xy
1上一点P与椭圆的两个焦点F2的连线互相垂直，则厶PF1F2
4924
的面积为（
20B.22C.28D.24
7.若点
A的坐标为（3,2）,F是抛物线y=2x的焦点，点
在抛物线上移动时，使
MF+|MA取得
最小值的M的坐标为（
A.0,0B.
'2,1[
<2丿
1,2D.2,2
2
Q（2,1）的双曲线方程是（
2
丄=1
2
x
&与椭圆y2=1共焦点且过点
4
22
x2x2
a.y=1b.y
24
9.若椭圆x2my2=1的离心率为于，则它的长半轴长为
10•双曲线的渐近线方程为x-2y=0,焦距为10，这双曲线的方程为
11.抛物线y2=6x的准线方程为.
22
12.椭圆5xky=5的一个焦点是（0,2），那么k=
22i
13.椭圆一+—=1的离心率为一，贝Vk的值为。
k+892
22
14•双曲线8kx-ky=8的一个焦点为（0,3），则k的值为。
2
15•若直线x-y=2与抛物线y=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是
16.k为何值时，直线y=kx•2和曲线2x23y2=6有两个公共点？
有一个公共点？
没有公共点？
2
17•在抛物线y=4x上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短。
18.双曲线与椭圆
2
x
27
2
--1有相同焦点，且经过点
36
（..一5,4），求其方程。
2
19.设F1,F2是双曲线
11的两个焦点，点P在双曲线上，且・F1PF2=600,
16
求厶F1PF2的面积。
高二圆锥曲线练习题
1、Fi,F2是定点，且|FiF2|=6，动点M满足|MFi|+|MF2|=6，贝UM点的轨迹方程是（D）
（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段
2、已知ABC的周长是16,A（_3,0）,B（3,0）,则动点的轨迹方程是（B）
22
（A）f5卸1
（B）
2222
25”0）（A）*（C）汁碁1
（D）
22
汁卸皿。
）
.3
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（D）
A.
4、设椭圆G的离心率为-，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个
13
焦点的距离的差的绝对值等于8，贝U曲线C2的标准方程为（A）
A.
4232
=1
xy_
13252
32
y
42
=1
x
132
122
=1
2
5、设双曲线—
a
^1a0的渐近线方程为3x_2y=0，
则a的值为
22
B.xy-10x16=0
C.
22
xy10x16=0
22
.xy10x9=0
9、
22
、过椭圆笃爲=1（a>b>0）
ab
的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点
P，
F2为右焦点，若
FiPF2
=60°则椭圆的离心率为
A.
10.
“mn0”是“方程mx2ny
=1”表示焦点在y轴上的椭圆的
（A）
充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）
充要条件
（D）
既不充分也不必要条件
（1）长轴与短轴的和为18,焦距为6;_）
22
「1
3
⑶椭圆的两个顶点坐标分别为（-3,0）,（3,0）,且短轴是长轴的
1;
3，_9
2
x-y2
22
1或三丄=1;
981
⑷离心率为空，经过点（2,0）;
2
2
y2=1或—11.
416
_2
解析：
将方程mx2•ny2=1转化为=1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足
11
mn
-0,10,所以1-,
mnnm
11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:
2222
xyxy.
1或1;
25161625
（2）焦点坐标为（-.3,0）,（..3,0）,并且经过点（2,1）;
22
y2=1
12、与椭圆—y1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:
94
[2
13、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F,”在X轴上，离心率为飞
2
F1的直线I交C于代B两点，且ABF2的周长为16,那么C的方程为：
（話'
22
14、已知F1,F2为椭圆釘斜1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若
<<<<<<精品资料》》》》》
F2A|+|F2B=12，则AB=_8
22
15、已知Fi、F2是椭圆C:
笃•爲
ab
=1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF_PF2,
若厶PF1F2的面积是9，则b=316、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（4，-,3），Q（2、一2,3）两点的椭圆方程。
22
解：
设椭圆方程为笃•每"，将P,Q两点坐标代入，解得a=20,『=15
ab
22
故—-1为所求。
2015
圆锥曲线练习题2
i抛物线y-10x的焦点到准线的距离是（b）
5厂15“
A.一B.5C.D.10
22
2
2•若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（C）。
A.（7,—初）B.（14,_、14）C.（7,_2、一14）D.（-7,_2、初）
22
3.以椭圆—--1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（C）
2516
2x
2
y
=1
22
xy‘
A.
B.
1
16
48
927
2
2
2
2
C.
x
y
=1或
x
-11D
.以上都不对
16
48
9
27
2
2
.F1,F
2是椭圆
x
y
=1的两个焦点，
A为椭圆上一点，且/AF1F2二450，则△AF1F2的面积为
9
7
（C）
7
7
7
7.5
A.
B
—
C.-D.
—
4
2
2
22
5•以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆xy-2x6y^0的圆心的抛物线的方程是（D）
22
C.y二-9x或y=3x
22
D.y二-3x或y=9x
6.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（B）
A.（丄,一
4
C.（4,
D.（冷
84
22
xy
7.椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则厶PF1F2的面积为（D）
4924
A.20B.22C.
8.若点
A的坐标为（3,2）,
28D.24
2
F是抛物线y=2x的焦点，点
M在抛物线上移动时，使MF|+|MA取得
最小值的
M的坐标为（D
0,0B.
'1,1；
<2丿
1,一2D.2,2
2
x2
9.与椭圆y=1共焦点且过点
4
Q（2,1）的双曲线方程是（
22
X2,x2
a.ytB.y
24
22
=1C.—1
33
2
2y’
D.x1
2
10•若椭圆x2my2=1的离心率为
上3，则它的长半轴长为
2
1,或2
22
—1
205
11.双曲线的渐近线方程为x_2y=0，焦距为10,这双曲线的方程为
2
12•抛物线y=6x的准线方程为—x=—
13.椭圆5x2ky2=5的一个焦点是（0,2），那么k=—L
14•椭圆丄t+f=1的离心率为丄，则k的值为_4,或-5
k+892—4
15.双曲线8kx2—ky2=8的一个焦点为（0,3），则k的值为-1。
2
16•若直线x-y=2与抛物线y=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是_（4,2）
17.k为何值时，直线y=kx■2和曲线2x23y2=6有两个公共点？
有一个公共点？
没有公共点？
y=kx22222
解：
由22，得2x23（kx2）2=6，即（23k2）x212kx6=0
2x3y=6
222
-144k-24（23k2）=72k2—48
2
.：
=72k
-48.0,即
―弓时，直线和曲线有两个公共点;
=7永2
-48二,0即
至时，直线和曲线有一个公共点;
3
=7永2
-48:
:
:
0即
于”于时，直线和曲线没有公共点。
18.在抛物线
2
y=4x上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短。
解：
设点P（t,4t2），距离为d,d二
4t-4t2-5
2
4t-4t5
11
当t时，d取得最小值，此时P（—,1）为所求的点。
22
22
佃.双曲线与椭圆-y1有相同焦点，且经过点C.15,4），求其方程。
2736
22
yx
解：
椭圆1的焦点为（0,_3）,c=3，设双曲线方程为七3=1
3627a9-a
过点（、、15,4），则£%=1，得a2=4,或36，而a2<9,
a9—a
-a2=4，双曲线方程为
20.设F1,F2是双曲线916
-1的两个焦点，点P在双曲线上，且.斤卩卩2=600,
求厶F1PF2的面积。
22
2•解：
双曲线xy1的a=3,c=5,不妨设PF1PF2，则PF|-PF2=2a=6
916
2220
F1F2PF1PF2-2PF1PF2cos60，而FrF2=2c=10
得PF12PF22-PRPF2=（PF^P
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