学年度高考数学深化复习 命题热点提分专题13空间中的平行与垂直理.docx

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学年度高考数学深化复习命题热点提分专题13空间中的平行与垂直理

——教学资料参考参考范本——

2019-2020学年度高考数学深化复习+命题热点提分专题13空间中的平行与垂直理

______年______月______日

____________________部门

1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

解析：

设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．

答案：

D

2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；

②若m∥l，且m∥α，则l∥α；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；

④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.

其中正确命题的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.

答案：

B

3．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

解析：

由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.

答案：

D

4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.

上述命题中，所有真命题的序号是（　　）

A．①④B．②③

C．①③D．②④

解析：

由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.

答案：

A

5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（　　）

A．垂直B．相交不垂直

C．平行D．重合

解析：

如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.

答案：

C

7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

B．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m

C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n

D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m

8．以下命题中真命题的个数是（　　）

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．

A．1B．2C．3D．4

解析　①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．

答案　A

9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．直线AB与平面BEF所成的角为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

10．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

①⇒a∥b；②⇒a∥b；

③⇒α∥β；④⇒α∥β；

⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α.

其中正确的命题是（　　）

A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④

解析　①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．

答案　C

11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：

若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：

“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是（　　）

A．p∧（綈q）是真命题B．（綈p）∨q是真命题

C．（綈p）∧q是假命题D．p∨q是假命题

解析　对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故（綈p）∨q是真命题，选B.

答案　B

12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：

①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③C．①D．②③

13.如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上（C，D，E均异于A，B），则△ACD是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

解析　∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，

∴b⊥面ABC，

∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．

答案　B

14．在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：

①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．

解析　如图，∵PABC为正三棱锥，

∴PB⊥AC.

又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，

AC⊄平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确．

答案　①②

15．给出命题：

①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；

②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

④在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；

⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．

其中，正确的命题是________（只填序号）．

解析　①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．

答案　②④

16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．

答案　①③

17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.

解析　a∩α＝P时，P∈a，P∈α，

但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图，

∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

∴直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，a与b确定唯一平面γ，

但γ经过直线a与点P，由公理2，

∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

答案　③④

18．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

解析　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，

∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，

∴PQ∥AC.又∵AP＝，

∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.

答案　a

19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．

（1）求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；

（2）证明：

B1F∥平面A1BE.

（1）解　设G是AA1的中点，连接GE，BG.

∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴GE∥AD，

又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，

∴GE＝a，BG＝a，

BE＝＝a，

∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：

sinθ＝＝.

20．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．

（1）求证：

AD1⊥平面A1B1D；

（2）求证：

B1E⊥AD1；

（3）若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？

若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明　在长方体ABCDA1B1C1D1中，

因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.

在矩形A1D1DA中，

因为AA1＝AD＝2，

所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，

所以AD1⊥平面A1B1D.

（2）证明　因为E∈CD，

所以B1E⊂平面A1B1CD，

由

（1）可知，AD1⊥平面A1B1CD，

所以B1E⊥AD1.

（3）解　当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.

理由如下：

在AB1上取中点M，连接PM，ME.

因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，

所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.

又DE∥A1B1，且DE＝A1B1，

所以PM∥DE，且PM＝DE，

所以四边形PMED是平行四边形，

所以DP∥ME.

又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，

所以DP∥平面B1AE.

此时，AP＝A1A＝1.

21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.

（1）证明：

平面ABEF⊥平面BCDE；

（2）求三棱锥E－ABC的体积．

（1）证明　正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，

易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，

在多面体中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，

故AG⊥GC，

又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，

故AG⊥平面BCDE,

又AG⊂平面ABEF，

所以平面ABEF⊥平面BCDE.

（2）解　连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，

故S△BCE＝×4×＝2，

所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.

22．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（1）求证：

AD⊥平面PBE；

（2）若Q是PC的中点，求证：

PA∥平面BDQ；

（3）若VPBCDE＝2VQABCD，试求的值．

解析：

（1）证明：

由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.

又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，

又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.

（2）证明：

连接AC（图略），交BD于点O，连接OQ.

因为O是AC的中点，

Q是PC的中点，

所以OQ∥PA，

又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，

所以PA∥平面BDQ.

（3）设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.

所以VPBCDE＝S四边形BCDEh1，

VQABCD＝S四边形ABCDh2.

又因为VPBCDE＝2VQABCD，

且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，所以＝＝.

23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）证明：

直线MN∥平面BDH；

（3）过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．

解析：

（1）点F，G，H的位置如图所示．

（3）由

（2）知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，

体积比等于底面积之比，即3∶1.