线性代数B复习题docx.docx

线性代数B复习题docx.docx

《线性代数B复习题docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数B复习题docx.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

线性代数B复习题docx

线性代数B复习资料（2012）

（一）单项选择题

1.

设A,B为n阶方阵，且（AB）2=E,则下列各式中可能不成立的是（A）

2.

若由AB=AC必能推出B二C（A,B,C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）

（A）B为单位矩阵（B）B为零方阵（C）B~x=A（D）不一定

4.设A为nXn阶矩阵，如果r（A）

（A）A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合

（B）A的各行向量中至少有一个为零向量

（C）A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

（D）A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例

5.设向量组a?

.…，住线性无关的充分必要条件是（D）

（A）

^1,

…，ocs均不为零向量

（B）

…，％任意两个向量的对应分量不成比例

（C）

。

2,

…，中有一个部分向量组线性无关

（D）

a乙

…，匕中任意一个向量都不能由其余S・1个向量线性表示

6.向量组的秩就是向量组的（C）

（A）极大无关组中的向量

（B）线性无关组中的向量

（C）极大无关组中的向量的个数

（D）线性无关组中的向量的个数

7.下列说法不正确的是（A）

（A）如果r个向量©a2…,色线性无关，则加入k个向量0|02.…，0人后，

仍然线性无关

（B）如果r个向量0^2.…，色•线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量

组仍然线性无关

（C）如果「个向量0a2…，.线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

（D）如果I•个向塑0。

2,…，线性相关,则在每个向量小去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关

8.设n阶方阵A的秩Kn,则在A的n个行向量中（A）

（A）必有I•个行向量线性无关

（B）任意I•个行向量均可构成极大无关组

（C）任意r个行向量均线性无关

（D）任一行向量均可由其他I•个行向量线性表示

9.设方阵A的行列式|A|=0,则人中（C）

（A）必有一行（列）元素为零

（B）必有两行（列）成比例

（C）必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合

（D）任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

10.设A是mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是（A）

（A）A的列向量线性无关

（B）A的列向量线性相关

（C）A的行向量线性无关

（D）A的行向量线性相关

11.n元线性方程组AX=b,r（A,b）

（A）无穷多组解（B）有唯一解（C）无解（D）不确定

12.设A,B均为n阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩（D）

（A）必有一个等于零（B）—个等于n,—，个小于n

（C）都等于n（D）都小于n

13.设向量组少，a?

”3线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（A）

（B）Q]+6,

（C）©+2a2,2a2+3巾，3巾+ax

（D）ax+a2+a3,2a}-a2+226r3,+5cr2-

14.向量组ax,a^^as线性无关的充分条件是（C）

（A）Q|,Q2,…，&均不为零向量

（B）。

］,。

?

％中任意两个向量的分量均不成比例

（0^,02,…,乞小任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示

（D）e，a2,…,屮有一部分向量线性无关

15.当向量组。

［，巾,…,。

加线性相关时，使等式4-k2（x2Hk評m=0成立的常数

心,他,…，紇为（C）

（A）任意一组常数

（B）任意一组不全为零的常数

（C）某些特定的不全为零的常数

（D）唯一一组不全为零的常数

16.下列命题正确的是（D）

（A）若向量组线性相关，则其任意一部分向量也线性相关

（B）线性相关的向量组屮必有零向量

（C）向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关

（D）向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关

17.设向量组的秩为r,则（D）

（A）必定r

（B）向量组中任意小于「个向量部分组无关

（C）向量组中任意1•个向量线性无关

（D）向量组任意「+1个向量线性相关

18.若…,0*为n维向量组，且秩贝9（B）

（A）任意r个向量线性无关

（B）任意］*+1个向量线性相关

（C）该向量组存在唯一极大无关组

（D）该向量组在s>「时，由若干个极大无关组

19.设厂（4口）=77—1,0,02是AX二°的两个不同的解，则AX二°的通解是（C）.

（A）ka、（B）ka2（C）k{a}一a2）（D）k（a}+

20.设A为n阶方阵，且r（A）=r

（A）必有r个行向量线性无关

（B）任意i•个行向量线性无关

（C）任意「个行向量构成极大无关组

（D）任意一个行向量都能被其他「个行向量线性表示

21.A是mXn矩阵,r（A）=r则A中必（B）

（A）没有等于零的「1阶子式至少有一个r阶子式不为零

（B）有不等于零的r阶子式所有r+l阶子式全为零

（C）有等于零的r阶子式没有不等于零的r+l阶子式

（D）任何「阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零

22.能表成向量0=（0,0,0,1）,色=（°，1，1，1）^3=（1,1,1,1）的线性组合

的向量是（B）

（A）（0,0,1,1）（B）（2,1,1,0）（C）（2,3,1,0-1）（D）（0,0,0,0,0）

23.已知Q|二（1,2,3）,oc2=（3,—1,2）,=（2,3,x）则x=（D）时

（A）1

（B）2

（C）4（D）5

a^a2,a3线性相关。

24.向量组0=（1,

-1,2,

4）s

=（0,3,

1,2）,巾=（30,7,14）

也=（1，-1，2,

0）的秩为

（C）

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

25•矩阵人在（D）吋可能改变其秩

（A）转置（B）初等变换

（C）乘一个可逆方阵（D）乘一个不可逆方阵

26.设A为n阶方阵，且|A|=0,则（C）

（A）A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

（B）A必有两行（列）对应元素乘比例

（C）A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

（D）A屮至少有一行（列）向量为零向量

27.向量组0妙2,…,％线性相关的充要条件是（C）

（A）QiS，…，a$中有一零向量

（B）0,。

2,…，务中任意两个向量的分量成比例

（C）…,中有一向量是其余向量的线性组合

（D）e“2，・・・,a,中任意一个向量均是其余向量的线性组合

28.若向量0可由向量组0|妙2,…,％线性表出侧（C）

（A）存在一组不全为零的数匕心，…,〈，使等式卩=如七k2a2+…+ksas成立

（B）存在一组全为零的数&，使等式0=如+k2a2+…+ksas成立

（C）向量0,0,。

2,*线性相关

（D）对0的线性表示不唯一

29.设A是mXn矩阵，AX=O是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）

（A）若AX=O仅有零解，则AX=b有唯一解

（B）若AX=O有非零解，则AX二b有无穷多个解

（C）若AX二b有无穷多个解，则AX=O仅有零解

（D）

30.

（0]

=1都是线性方程组AX=0的解,

只要系数矩阵A为（A）

若AX=b有无穷多个解，则AX=O有非零解

"20一1）

（一102）

‘01-P

（B）

（C）

c、c（D）

4-2-2

011丿

012丿

011,

31.设矩阵A”呦的秩为r（A）=m

（A）A的任意m个列向量必线性无关

（B）A的任意个m阶子式不等于零

（C）A通过初等变换，必可化为（Im,0）的形式

（D）若矩阵B满足B4=0,则B=0・

32.非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则（A）

（A）r=m时，方程组AX=b有解

（B）r=ii吋，方程组AX二b有唯一解

（C）m=n时,方程组AX=b有唯一解

（D）r

33.设一个n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r（A）=n-3,且N，%，%为此方程组的三个线

性无关的解，贝U（B）不是此方程组的基础解系

（A）%%,%

（B）〃|-〃2，〃2-

+〃2，〃1+〃2+〃3

（D）〃厂〃2，〃】—〃3，〃3+〃2

34.已知是齐次线性方程组AX二0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）

（A）+k2a2

（B）+。

2，。

2+。

3，°3+0

（C）—a、—OLy,

（D）G]，G]-a2+03，&3-a2.

35.向量组

2,…,Q,线性无关，且可由向量组肉，02,…，0$线性表示，则（D）

…,色）必（

）口,02，・・・，几）

（A）大于等于

（B）大于

（C）小于

（D）小于等于

36.设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（l,2,n

）T,那么矩阵A的秩为（B）

（A）r（A）=l

（B）r（A）=n-l

（C）r（A）=n

（D）以上都不是

11、

37.设矩阵A二

1

21

的秩为2,则九二（

D）

2

3Q+3

/

A.2

B」

C.0

D.-1

38.一个向量组中的极大线性无关组（C）

（A）个数唯一

（B）个数不唯一

（C）所含向量个数唯一

（D）所含向量个数不唯一

39.设n维向量组0

©2,••，/（I）中每一个向量都可由向量组0|,02，・「0$（11）线性表出,

且有r>s,贝％D）

（A）（II）线性无关（B）（II）线性相关（C）（I）线性无关（D）（I）线性相关

40.设0,色，…，勺是n个m维向量，且n>m,则此向量组a^a2,-.an必定（A）

（A）线性相关（B）线性无关（C）含有零向量（D）有两个向量相等

41.矩阵A适合条件（D）时，它的秩为r

（A）A中任何r+1列线性相关（B）A中任何r列线性相关

（C）A中有「列线性无

关

（D）A中线性无关的列向量最多有「个

<1

0

0、

42.己知矩阵A二

0

2

0

，则R（A）二（C）

<0

4

0丿

（A）0

（B

）1

（C）2（D）3

43.若mXn阶矩阵A中的n个列线性无关则A的秩（C）

（A）大于m（B）大于n（C）等于n（D）等于m

44.若矩阵A中有一个i•阶子式DH0,且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有

R（A）（A）

（A）（B）

45.要断言矩阵A的秩为r,只须条件（D）满足即可

（A）A中有r阶子式不等于零

（B）A中任何r+1阶子式等于零

（C）A中不等于零的子式的阶数小于等于r

（D）A中不等于零的子式的最高阶数等于r

46.设mXn阶矩阵A,B的秩分别为r,,r2,则分块矩阵（A,B）的秩适合关系式（A）

（A）厂5斤+q（B）r>\（C）r=r}+（D）r=r}r2

47.R（A）=n是n元线性方程组AX二b有唯一解（C）

（A）充分必要条件（B）充分条件（C）必要条件（D）无关的条件

（1一1）

48.矩阵A二的特征值为0,2,则3A的特征值为（B）

1一11丿

（A）

2,2;

（1

-1、

（B）0,6;

（C）0,0;

（D）2,6;

49.

A=

则一

■2A+A2的特征值为（B

）

1-1

（A）

2,2;

（B）-2,-2;

（C）0,0;

（D）-4,-4;

50.B=P"AP,a°是A,B的一个特征值，Q是A的关于入的特征向量，则B的关于入的特征向量是（C）

（A）a（B）Pa（C）P~xa（D）P'a

51.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是（B）

（A）矩阵A有n个特征值

（B）矩阵A有n个线性无关的特征向量

（C）矩阵A的行列式|4卜0

（D）

矩阵A的特征多项式没有重根

53.

已知一2是A二

2

<-2

-2

-2

-2

b>

的特征值，其中bHO的任意常数，则x二（D）

（A）2

（B）4

"7

（C）-2

（D）-4

54.已知矩阵A二

7

-4

-V

-1有特征值人=入=3,几3=12，则x=（D）

A满足关系式A2-2A+E=O,则A的待征值是（C）

（A）2

（B）

55-设A为三阶矩阵，

（A）6

（C）-2

（0）4

已知A+E=0,A+2E

（B）-4

（C）-2

0,|A+3E|=0,贝ij|A+4E|=（A）

（D）4

56.A为】1阶矩阵，HA2=1,则（C）

（A）A的行列式为1（B）A的特征值都是1

（C）A的秩为n（D）A一定是对称矩阵

57.设A为三阶矩阵，有特征值为1,・1,2,则下列矩阵屮可逆矩阵是（D）

（A）E-A（B）E+A（C）2E-A（D）2E+A

58.已知A为n阶可逆阵，则与A必有相同特征值的矩阵是（C）

（A）A~l（B）A2（C）Ar（D）"

59.已知A为三阶矩阵，r（A）=l,则Z=0（B）

（A）必是A的二重特征根（B）至少是A的二重特征根

3.A=

140,则（A—2/尸=（

-1

0、

0）

2

/

（C）至多是A的二重特征根（D）—重，二重，三重特征根都可能

（二）计算题与填空题

1.A3-5A+6/=0,则川=（

）

（--（A2-5/））

2.设A是3x4矩阵，R（A）=2,B=

<02-1、

112

-1-1一1丿

\/

，则R（BA}=

_210'

_20

4.已知矩阵力=

102

与3=

0y0

相似,则兀

01x

00-1

答案：

x=2,y=3

5.0=（1-t3）t,a2=（0t-5）r,6r3=（-10/）',当t0,2时,向量组

0|,^2，。

3线性无关.

（-8）

6.设0=（1k5）r,6T]=（1-32）r,a2=（2-1l）r,=（）时0可被向量

组a},a2线性表出。

'5

7.设A=-1

1

60、

00,则A的特征值为

2i丿

q

0

0、

<1

1

-P

<1

0

0、

0

1

1

3

1

2

0

1

1

0

\

0

1丿

/

1

1

/

（0

\

0

1

/

9.

答案:

“110、

349

012

\/

10.设0=（12一2）厂,0=（1

l）\a2=（11-l）r,a3=（1-11）7*•则0是否

为向量组少,。

2，。

3的线性组合?

（是）

11.Q=（O123）101=（2231）丁,02二（一1212）r,

03=（21-1-2）r.则&是否为久02,必的线性组合？

（不是）

12.确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.

x}-3x2-5x3+2x4=-1+兀2一必3+4兀-1

xx+7兀2+1°兀3+7兀4=b

<1、

‘7、

-3

1

+q

2

+c2

0

0

「2丿

其中为任意非零常数;

2丄

2

0

O

答：

当a=-Vb=4时，解为

当a^-\.b=4时，解为

<1、

（八

2

1

1

——

+k

2

0

0

-2

<0；

\/

其中R为任意常数;

方程组不存在唯一解.

求矩阵X.

（\

答：

X.-

14.求下列矩阵的特征值与特征向量.

0

-2、

（3

-1-2、

（1）

0

1

0

（2）

2

0-2

1-20

1）

/

<2

-1-b

答案：

（1）琉=1,心=_1,入=3,

对应于人=1的全部特征向量是吐0,1,0）7',/H0；对应于入二-1的全部特征向量是k2（1,0,if,忍工0；对应于7^=3的全部特征向量是&（-l,0,ir，k3HO.

（2）人=0,入=入=1,

对应于人=0的全部特征向量是/1,/为非零常数;

J丿

对应于^=^=1的全部特征向量为

心，他是不同时为零的常数;

15.设A2-2A-3E=0,求n（n>2）阶方阵A的特征值・。

答案：

&=一1，入=3

.三阶矩阵A的特征值为石=1,&=2,石=3,则制=（）;屮,”,川+人2的特征值

为（）•

（6;1,—,—；6,3,2;2,4—,9—.）

2323

（abc=1）

17・向量组少,02，。

3线性无关，abc满足什么关系时，向量组

aa}-a2,ba2-a^cay一0必线性相关.

18.设矩阵A=1

0）（］、

1有一个特征向量为-2,求£及A的三个特征值.

答案：

k=3,A的三个特征值为1,3,4.

19.已知向量组

0=（2,1,2,1^02一5,7人购=（12-3,8）丁,禺=（1,一1,°,6）丁,°5=（3,0,4,7丁的秩为3,求d及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。

答案.口=2,。

[,。

2，。

4为一个极大无关组，冬=匕+冬+04[,

冬=a】+0a.2+a[f

20.设B2=B,A=Z+B.M明：

A可逆.

21.设向量组购=（1人一1）,。

2=（R+1,2,1）,巾=（1，一1北），

（1）k为何值时，线性相关？

线性无关？

（2）£为何值时，0],。

2，^3线性相关？

线性无关？

（3）当Q|,线性相关时，将巾表示为Q]，。

2的线性组合.

答案：

（1）k=-2时线性相关，k^-2时线性无关；

（2）k=-1-2或2时线性相关；k—1且k丰一2且£工2时线性无关;

（3）当k=-\时，。

3=0+°・。

2；当k=2时，

53

二——ax+—孙

4|4一

（2-1

3、

<1>

~2~

（3、

（心

0

+k2

1

+忍2

-1

丿

）

2，使得方程组AX=b总有解的方是（

-1丿

答案：

A=1,-2