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1、线性代数B复习题docx线性代数B复习资料(2012)(一)单项选择题1. 设A, B为n阶方阵，且(AB)2 = E ,则下列各式中可能不成立的是(A )2. 若由AB=AC必能推出B二C (A, B, C均为n阶矩阵)则A必须满足(C )(A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) Bx = A (D)不一定4.设A为nXn阶矩阵，如果r(A)n ,贝ij( C )(A) A的任意一个行(列)向量都是其余行(列)向量的线性组合(B) A的各行向量中至少有一个为零向量(C) A的行(列)向量组中必有一个行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A的行(列)向量组中必有两个行(列)

2、向量对应元素成比例5.设向量组a?.，住线性无关的充分必要条件是(D )(A)1,，ocs均不为零向量(B)，任意两个向量的对应分量不成比例(C)。2,，中有一个部分向量组线性无关(D)a乙，匕中任意一个向量都不能由其余S1个向量线性表示6. 向量组的秩就是向量组的(C)(A) 极大无关组中的向量(B) 线性无关组中的向量(C) 极大无关组中的向量的个数(D) 线性无关组中的向量的个数7. 下列说法不正确的是(A )(A) 如果r个向量 a2 ,色线性无关，则加入k个向量0| 02.，0人后，仍然线性无关(B) 如果r个向量0 2.，色线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无

3、关(C) 如果个向量0 a2 ，.线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关(D) 如果I个向塑0 。2,，线性相关,则在每个向量小去掉k个分量后所得向量组 仍然线性相关8. 设n阶方阵A的秩Kn,则在A的n个行向量中(A)(A) 必有I个行向量线性无关(B) 任意I个行向量均可构成极大无关组(C) 任意r个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他I个行向量线性表示9. 设方阵A的行列式|A| = 0 ,则人中(C )(A) 必有一行(列)元素为零(B) 必有两行(列)成比例(C) 必有一行向量是其余行(列)向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行(列)向量的线性组合10. 设A是mXn矩阵

4、，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A )(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关11. n元线性方程组AX=b, r (A, b) n,那么方程AX=b (D)(A) 无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不确定12. 设A, B均为n阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩(D )(A) 必有一个等于零 (B)个等于n,，个小于n(C)都等于n (D)都小于n13. 设向量组少，a?, ”3线性无关，则下列向量组中，线性相关的是(A )(B) Q +6,(C) + 2a2, 2a2 + 3巾，3巾 + ax(

5、D) ax +a2 +a3, 2a -a2 +226r3, + 5cr2 -14. 向量组ax,a as线性无关的充分条件是(C)(A) Q|,Q2,，&均不为零向量(B) 。,。?,中任意两个向量的分量均不成比例(0,02,乞小任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示(D)e，a2,屮有一部分向量线性无关15. 当向量组。，巾,。加线性相关时，使等式4-k2(x2 H k評m = 0成立的常数心,他,，紇为(C )(A) 任意一组常数(B) 任意一组不全为零的常数(C) 某些特定的不全为零的常数(D) 唯一一组不全为零的常数16. 下列命题正确的是(D )(A) 若向量组线性相关，则其任意

6、一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组屮必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关17. 设向量组的秩为r,则(D)(A) 必定r时，由若干个极大无关组19. 设厂(4口)= 77 1,0,02是AX二的两个不同的解，则AX二的通解是(C ).(A) ka、 (B)ka2 (C)ka 一a2) (D)k(a +20. 设A为n阶方阵，且r(A)=rn,则中(A)(A) 必有r个行向量线性无关(B) 任意i个行向量线性无关(C) 任意个行向量构成极大无关组(D) 任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示21.

7、A是mXn矩阵,r(A)=r则A中必(B )(A) 没有等于零的1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B) 有不等于零的r阶子式所有r+l阶子式全为零(C) 有等于零的r阶子式没有不等于零的r+l阶子式(D) 任何阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零22. 能表成向量 0=(0, 0, 0, 1),色=(，1，1，1)3 =(1, 1, 1, 1)的线性组合的向量是(B )(A) (0, 0, 1, 1) (B)(2, 1, 1, 0)(C)(2, 3, 1, 0-1) (D)(0, 0, 0, 0,0)23. 已知 Q| 二(1, 2, 3), oc2 =(3, 1, 2), =(2, 3,

8、 x)则 x= ( D )时(A) 1(B)2(C) 4 (D) 5aa2,a3线性相关。24.向量组0=(1,-1, 2,4)s=(0, 3,1, 2),巾=(3 0, 7, 14)也=(1，-1，2,0)的秩为(C)(A) 1(B) 2(C) 3(D) 425矩阵人在(D )吋可能改变其秩(A) 转置 (B)初等变换(C) 乘一个可逆方阵 (D)乘一个不可逆方阵26. 设A为n阶方阵，且|A| = 0,则(C)(A) A中任一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(B) A必有两行(列)对应元素乘比例(C) A中必存在一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A屮至少有一行(

9、列)向量为零向量27. 向量组0妙2,线性相关的充要条件是(C )(A) QiS，a$中有一零向量(B) 0,。2,，务中任意两个向量的分量成比例(C) ,中有一向量是其余向量的线性组合(D) e“2，,a,中任意一个向量均是其余向量的线性组合28. 若向量0可由向量组0|妙2,线性表出侧(C)(A) 存在一组不全为零的数匕心，,，使等式卩=如七k2a2 + ksas成立(B) 存在一组全为零的数&，使等式0 = 如 + k2a2 + ksas成立(C) 向量0,0,。2,*线性相关(D) 对0的线性表示不唯一29. 设A是mXn矩阵，AX=O是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组，

10、则下 列结论正确的是(D)(A) 若AX=O仅有零解，则AX=b有唯一解(B) 若AX=O有非零解，则AX二b有无穷多个解(C) 若AX二b有无穷多个解，则AX=O仅有零解(D) 30.(0=1都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为(A)若AX=b有无穷多个解，则AX=O有非零解2 0 一1)(一 1 0 2)0 1 -P(B)(C)c 、 c (D)4 -2 -2,0 1 1 丿,0 1 2丿,0 1 1,31. 设矩阵A”呦的秩为r(A)=mn,匚为m阶单位矩阵，下述结论正确的是(C )(A) A的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意个m阶子式不等于零(C) A通过初等变换，必可

11、化为(Im ,0)的形式(D) 若矩阵B满足B4 = 0,则B = 032. 非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r, 则(A )(A) r=m时，方程组AX=b有解(B) r=ii吋，方程组AX二b有唯一解(C) m=n时,方程组AX=b有唯一解(D) rs,贝 D )(A) (II)线性无关 (B) (II)线性相关 (C) ( I )线性无关(D) ( I )线性相关40. 设0,色，勺是n个m维向量，且nm,则此向量组aa2,-.an必定(A )(A)线性相关 (B)线性无关 (C)含有零向量(D)有两个向量相等41. 矩阵A适合条件(D )时，它

12、的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关 (B) A中任何r列线性相关(C) A中有列线性无关(D)A中线性无关的列向量最多有个100、42.己知矩阵A二020，则 R (A)二(C )040丿(A)0(B)1(C)2 (D)343. 若mXn阶矩阵A中的n个列线性无关 则A的秩(C )(A)大于m (B)大于n (C)等于n (D)等于m44. 若矩阵A中有一个i阶子式DH0,且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R (A) ( A )(A) (B) (C) r = r + (D) r = rr247. R(A)=n是n元线性方程组AX二b有唯一解(C )(A)充分必要条件(B)充分条

13、件 (C)必要条件 (D)无关的条件(1 一1)48. 矩阵A二 的特征值为0,2,则3A的特征值为(B )1一1 1 丿(A)2,2;(1-1、(B) 0,6;(C) 0,0;(D) 2,6;49.A=,则一2A + A2的特征值为(B)1-1(A)2,2;(B) -2,-2;(C) 0,0;(D) -4,-4;50. B = PAP,a是A,B的一个特征值，Q是A的关于入的特征向量，则B的关于入的 特征向量是(C)(A) a (B) Pa (C) Pxa (D) Pa51. n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是(B )(A) 矩阵A有n个特征值(B) 矩阵A有n个线性无关的特征向量(C

14、) 矩阵A的行列式|4卜0(D) 矩阵A的特征多项式没有重根53.已知一2是A二2的特征值，其中bHO的任意常数，则x二(D )(A)2(B)47(C) -2(D) -454.已知矩阵A二7-4-V-1有特征值人=入=3,几3 = 12，则x= ( D )A满足关系式A2-2A + E = O,则A的待征值是(C)(A)2(B)55-设A为三阶矩阵，(A)6(C) -2(0)4已知 A + E =0 , A + 2E(B) - 4(C) -20, |A + 3E| = 0,贝ij|A + 4E|=(A)(D)456. A为】1阶矩阵，HA2 =1,则(C)(A)A的行列式为1 (B) A的特征

15、值都是1(C) A的秩为n (D)A 一定是对称矩阵57. 设A为三阶矩阵，有特征值为1,1, 2,则下列矩阵屮可逆矩阵是(D )(A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D) 2E+A58. 已知A为n阶可逆阵，则与A必有相同特征值的矩阵是(C )(A) Al (B)A2 (C) Ar (D)59. 已知A为三阶矩阵，r(A)=l,则Z=0( B )(A)必是A的二重特征根 (B)至少是A的二重特征根3. A =14 0,则(A 2/尸=(-10、0 )2/(C)至多是A的二重特征根 (D)重，二重，三重特征根都可能(二)计算题与填空题1. A3-5A + 6/ = 0,则川=()

16、(-(A2 -5/)2.设 A 是3x4矩阵，R(A)= 2, B = 0 2-1、1 1 2-1 -1 一 1丿 /，则 R(BA =_2 1 0_2 04.已知矩阵力=1 0 2与3 =0 y 0相似,则兀0 1 x0 0-1答案：x = 2, y = 35.0 = (1 -t 3)t,a2 =(0 t -5)r,6r3 = (-1 0 /), 当 t 0,2 时,向量组0|,2，。3线性无关.(-8)6.设0 = (1 k 5)r,6T = (1 -3 2)r,a2 =(2 -1 l)r, =( )时0 可被向量组a,a2线性表出。57.设 A= -116 0、0 0 ,则A的特征值为2

17、 i丿q00、11-P100、011312011001丿/11/(001/9.答案:“110、3 4 90 1 2 /10.设 0 = (1 2 一2)厂,0 =(1l)a2 =(1 1 -l)r,a3 =(1 -1 1)7*则 0 是否为向量组少,。2，。3的线性组合?（是）11. Q = (O 1 2 3)101=(2 2 3 1)丁,02二(一1 2 1 2)r,03=(2 1 -1 -2)r.则&是否为久02,必的线性组合？(不是)12.确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x - 3x2 - 5x3 + 2x4 = -1 + 兀2 一 必3 + 4兀-1xx

18、+ 7兀2 +1 兀3 + 7兀4 = b 1、7、-31+ q2+ c2002丿其中为任意非零常数;2 丄20O答：当a = -Vb = 4时，解为当a-.b = 4时，解为 1、（八211+ k200-20； /其中R为任意常数;方程组不存在唯一解.求矩阵X.(答：X.-14.求下列矩阵的特征值与特征向量.0-2、(3-1 -2、(1)010(2)20 -21-2 01 )/2)阶方阵A的特征值。答案：& =一1，入=3.三阶矩阵A的特征值为石=1,& =2,石=3,则制=();屮,”,川+人2的特征值为()(6; 1,； 6,3,2; 2,4,9.)2 3 2 3(abc = 1)17向

19、量组少,02，。3线性无关，abc满足什么关系时，向量组aa -a2,ba2 -acay 一0 必线性相关.18.设矩阵A= 10) (、1有一个特征向量为-2 ,求及A的三个特征值.答案：k = 3, A的三个特征值为1,3,4.19. 已知向量组0 =(2,1,2,102 一5,7人购=(12-3,8)丁,禺=(1,一1,6)丁,5 =(3,0,4,7丁 的秩为3,求d及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案.口 = 2,。,。2，。4为一个极大无关组，冬 =匕+冬 + 04,冬=a】+ 0a.2 + af20. 设B2 =B, A = Z + B.M明：A可逆.21. 设向量组购=(1人一1),。2 =(R +1,2,1),巾=(1，一1北)，(1) k为何值时，线性相关？线性无关？(2) 为何值时，0,。2，3线性相关？线性无关？(3) 当Q| ,线性相关时，将巾表示为Q，。2的线性组合.答案：(1) k = -2时线性相关，k-2时线性无关；(2) k = -1-2或2时线性相关；k 1且k丰一2且工2时线性无关;(3)当 k = - 时，。3=0+。2；当 k = 2 时，5 3二ax +孙4 | 4 一(2 -13、 2(3、（心0+ k21+忍2-1丿)2，使得方程组AX=b总有解的方是（-1丿答案：A = 1, -2