解
（1）∵B∩（∁UA）＝{2}，
∴2∈B，但2∉A.
∵A∩（∁UB）＝{4}，
∴4∈A，但4∉B.
∴
解得
∴a，b的值分别为
，－
.
（2）∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅.
∵A∁RB，
∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论.
①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠∅，则有
或
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
规律方法 由集合的补集求解参数的方法
（1）若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
（2）若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
【训练3】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
此时A不是U的子集，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
（3）从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一.
3.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
二、素养训练
1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝（ ）
A.{1，2}B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5}D.∅
解析 ∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}.
答案 B
2.设全集U＝R，集合A＝（1，4），集合B＝[2，5），则A∩（∁UB）＝（ ）
A.[1，2）B.（－∞，2）
C.[5，＋∞）D.（1，2）
解析 ∁UB＝（－∞，2）∪[5，＋∞），A∩（∁UB）＝（1，2）.
答案 D
3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A.{－2，－1}B.{－2}
C.{－1，0，1}D.{0，1}
解析 因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.
答案 A
4.已知全集U＝[1，5]，A＝[1，a），若∁UA＝[2，5]，则a＝________.
解析 ∵A＝[1，a），∁UA＝[2，5]，A∪（∁UA）＝U＝[1，5]，且A∩（∁UA）＝∅，因此a＝2.
答案 2
5.已知全集U＝[－5，3]，A＝[－5，－1），B＝[－1，1），求∁UA，∁UB，（∁UA）∩（∁UB）.
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则∁UA＝[－1，3]；∁UB＝[－5，－1）∪[1，3]；
法一 （∁UA）∩（∁UB）＝[1，3].
法二 ∵A∪B＝[－5，1），
∴（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝[1，3].
基础达标
一、选择题
1.若全集U＝{0，1，2，3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有（ ）
A.3个B.5个
C.7个D.8个
解析 A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7（个）.
答案 C
2.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩（∁UB）＝（ ）
A.{2，5}B.{3，6}
C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}
解析 因为∁UB＝{2，5，8}，所以A∩（∁UB）＝{2，5}，故选A.
答案 A
3.设集合A＝（1，4），B＝[－1，3]，则A∩（∁RB）等于（ ）
A.（1，4）B.（3，4）
C.（1，3）D.（1，2）∪（3，4）
解析 ∵B＝[－1，3]，∴∁RB＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），∴A∩（∁RB）＝（3，4）.
答案 B
4.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁IM）＝∅，则M∪N等于（ ）
A.MB.N
C.ID.∅
解析 如图，
因为N∩（∁IM）＝∅，所以N⊆M，所以M∪N＝M.
答案 A
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA.k<0或k>3B.2C.0解析 ∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1答案 C
二、填空题
6.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
解析 全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，由维恩图可知阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，∵∁UA＝{4，6，7，8}，∴（∁UA）∩B＝{4，6}.
答案 {4，6}
7.已知集合A＝[－4，－2]，集合B＝[a，＋∞），若全集U＝R，且A⊆∁UB，则a的取值范围为________.
解析 ∁UB＝（－∞，a），如图所示.
因为A⊆∁UB，所以a>－2.
答案 （－2，＋∞）
8.已知全集U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，若∁UA＝{1}，则实数a的值是________.
解析 ∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，∁UA＝{1}，
∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
答案 －1或2
三、解答题
9.设全集为R，A＝[3，7），B＝（2，10），求：
（1）A∩B；
（2）∁RA；（3）∁R（A∪B）.
解
（1）∵A＝[3，7），B＝（2，10），∴A∩B＝[3，7）.
（2）∵全集为R，A＝[3，7），
∴∁RA＝（－∞，3）∪[7，＋∞）.
（3）∵A∪B＝（2，10），
∴∁R（A∪B）＝（－∞，2]∪[10，＋∞）.
10.已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪（∁AB）＝A？
若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.
解 假设存在x，使B∪（∁AB）＝A，∴BA.
（1）若x＋2＝3，则x＝1，符合题意.
（2）若x＋2＝－x，则x＝－1，不符合题意.
∴存在x＝1，使B∪（∁AB）＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}.
能力提升
11.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}.求：
（1）∁U（A∪B）；
（2）记∁U（A∪B）＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围.
解
（1）由题意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，
则A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，
又全集U＝R，则∁U（A∪B）＝{x|2（2）由
（1）得D＝{x|2由C∩D＝C得C⊆D.
①当C＝∅时，有－a<2a－3，解得a>1；
②当C≠∅时，有
解得a∈∅；
综上，a的取值范围为{a|a>1}.
12.已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3].
（1）若（∁RA）∪B＝R，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝∅？
解
（1）因为A＝[0，2]，
所以∁RA＝（－∞，0）∪（2，＋∞）.
因为（∁RA）∪B＝R，所以
解得－1≤a≤0.
所以a的取值范围为[－1，0].
（2）因为A∩B＝∅，所以a>2或a＋3<0，
解得a>2或a<－3.
由
（1）知，若（∁RA）∪B＝R，则－1≤a≤0，
故不存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝∅.
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