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初等数论王进明答案

【篇一：

王进明__初等数论_习题解答】

s=txt>1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.

解：

12b?

26,a?

12?

26?

454,12b?

26?

12?

26?

454,

（12?

1）b?

454?

12?

26?

390,b=30,被除数a=12b+26=360+26=386.

这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍”问题。

2．证明：

（1）当n∈z且n?

9q?

r（0?

9）时，r只可能是0,1,8;

证：

把n按被9除的余数分类，即：

若n=3k,k∈z，则n?

27k,r=0；

若n=3k+1,k∈z，则n?

（3k）?

3（3k）?

9k（3k?

3k?

1）?

1,r=1；

若n=3k－1,k∈z，则n?

（3k）?

3（3k）?

9（3k?

3k?

1）?

8,r=8.332323322333

n3n2n?

的值是整数。

（2）当n∈z时，326

n3n2n2n3?

3n2?

n32?

=证因为，只需证明分子2n?

3n?

n是6的倍数。

3266

2n3?

3n2?

n（2n2?

3n?

1）?

（n?

1）n（2n?

1）

（n?

1）n（n?

1）=n（n?

1）（n?

2）?

（n?

1）n（n?

1）.

由k!

必整除k个连续整数知：

6|n（n?

1）（n?

2）,6|（n?

1）n（n?

1）.

或证：

|（n?

1）n,（n?

1）n必为偶数.故只需证3|（n?

1）n（2n?

1）.

若3|n,显然3|（n?

1）n（2n?

1）；若n为3k+1,k∈z，则n－1是3的倍数，得知

（n?

1）n（2n?

1）为3的倍数；若n为3k－1,k∈z，则2n－1=2（3k－1）－1=6k-3,2n－1是3的倍数.

综上所述，（n?

1）n（2n?

1）必是6的倍数,故命题得证。

（3）若n为非负整数，则133|（11n+2+122n+1）．

（4）当m，n，l∈n+时，（m?

l）!

的值总是整数m!

（n?

1）（n?

l）（n?

1）（l?

1）?

证明：

（m?

l）!

=（m?

l）（m?

1）

由k!

必整除k个连续整数知：

|（m?

l）（m?

1）

|（n?

l）（n?

1）（n?

1）,（l?

1），从而由和的整除性即证得命题。

（5）当a，b∈z且a≠－b，n是双数时，?

|（an?

bn）；

（6）当a，b∈z且a≠－b，n是单数时，?

|（an?

bn）．

解：

利用例5结论：

若a≠b，则?

|（an?

bn）．令b=－b*,即得。

或解：

a=（a+b）－b，（5）当n为双数时，由二项式展开

nan?

bn?

nn?

1b?

1n?

bn?

1，证得。

（6）当n为单数时类似可得。

3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈z,且?

152i?

b2，说明这六个数不能都是奇数．

解：

若这六个数都是奇数，设ai?

2ki?

1,ki?

z,i?

1,2,3,4,5，则

（2k?

1）2

1i?

1552?

ki（ki?

1）?

5，因为2|ki（ki?

1），所以8|4?

ki（ki?

1）,i?

1i?

155

152i?

8q?

5,q?

z,而b2?

（2k?

1）2?

4k（k?

1）?

1，b2?

8q*?

1，k,q*?

z，

即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=10

不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。

或解：

无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。

5．已知：

a，b，c均为奇数．证明ax?

bx?

0无有理根。

证：

若有有理根，记为2ppp,p,q互质，代入方程有a（）2?

0qqq即ap?

bpq?

cq?

0，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。

若p为偶数，则ap?

bpq为偶数，但cq是奇数，它们的和不可能为0;

若q为偶数，则bpq?

cq为偶数，但ap是奇数，它们的和也不可能为0。

222222

6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6?

解：

不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇．

7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数a＝1234567891011…979899，求a除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?

8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．

解：

同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：

7020，7320，7620，7920．

9．从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3,5,7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？

被5整除，个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,

10．

11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于

（1）2001，

（2）2529，（3）1989，能否办到?

如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办不到，说明理由．

2229162331017244111825512192661320277142128

9959969979989991000

1001

解：

设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.

（1）9不能整除2001，∴和等于2001办不到；

（2）9x=2529，x=281，是所在行第一个数，∴和等于2529办不到；（3）9x=1989，x=221，和等于1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213．

12．证明：

7（或11或13）|anan?

1a3a2a1a0的特征是：

7（或11或13）整除|anan?

1a3?

a2aa|10

附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目

6．24|62742?

求?

9.是否存在自然数a和b，使a2－b2=2002成立?

11．证明：

当n∈z时，6|n（n＋1）（2n＋1）．

12．已知：

ax2?

bx?

c，f（0），f（－1），f

（1），x均为整数．证明：

解答：

3．偶数．因为a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少有一个是偶数．

6．只需3|62742,且8|62742，即3|（?

）,且8|，先考虑?

0,2,4,6,8,有5组解?

0,?

2,?

4,?

7,?

9,?

0;?

4;?

8;?

2;?

11．用数学归纳法或n（n+1）（2n+1）=n（n+1）（n+2）+（n－1）n（n+1），利用整除的基本性质（13）．

12．由f（0），f（－1），f

（1），x均为整数可得c,a+b,a－b均为整数.进而知2a，2b为整数.

分类讨论（k∈z）:

x=2k时，由2a，2b为整数f（x）显然为整数;

x=2k+1时，f（2k+1）=4ak（k+1）+2bk+a+b+c,可知f（x）仍然为整数。

习题1-2

1.判断下列各数中哪些是质数？

109，2003，17357

2.求证：

对任意n∈z+，必有

n个连续的自然数都是合数.

3.当n是什么整数时，n4+n2+1是质数？

4.求证：

当n∈z+时，4n3+6n2+4n+1是合数.

5.求a，使a，a+4，a+14都是质数.

6.已知两个质数p和q满足关系式3p+5q=31.求p/（3q+1）的值.

7.已知p3，且p和2p+1都是质数，问4p+1是质数还是合数？

8.由超级计算机运算得到的结果（2859433－1）是一个质数，试问：

（2859433+1）是质数还是合数？

请说明理由.

9.已知：

质数p、q使得表达式（2p+1）/q及（2q-3）/p都是自然数，求p、q的值.

10.试证：

形如4n-1的数中包含有无穷多个质数.

11.

（1）若n是合数，证明：

2n-1也是合数；

（2）有人认为下列各和数：

1+2+4，1+2+4+8，

1+2+4+8+16，…交替为质数与合数，你认为对吗？

12.已知：

质数p≥5，且是质数，证明：

4p+1必是合数.

习题1-2解答

11,109用质数试除到

7,?

45,2003用质数试除到37，可知两者是质数，

2.为作一般性证明，可如下构造n个连续自然数：

（n+1）！

+2，（n+1）！

+3，…，（n+1）！

+n+1显然它们每个都是合数.

4.利用4n3+6n2+4n+1=（2n+1）（2n2+2n+1）,n∈z+,n≥1,2n+1和2n2+2n+1皆为大于1的数.

5.a=3.思路：

分类讨论（k∈z）:

∵a=3k+1时，a+14是3的倍数，a=3k+2时，a+4是3

的倍数。

∴必有a=3k，即a为3的倍数。

而a是质数,只有a=3时，三个数全是质数。

6.条件为一个不定方程,可知1q≤5,穷举得q=2,p=7;q=5,p=2两组解。

故1或1/8。

7.合数.利用质数p3得p不是3的倍数，p=3k+1，3|2p+1，所以，p=3k+2，3|4p+1.或解：

4p，4p+1，4p+2是三个连续整数，必有一个被3整除，由题设，只有3|4p+1.

8.合数.2859433不可能是3的倍数，连续三个自然数中必有一个是3的倍数.即（2859433+1）。

另一种解法：

由习题1—1第1题

（2）的结论，（2+1）|（2859433+1）．

9.设2p?

h,2q?

k，h、k必为奇数,2p?

4p?

2,得k?

4，而kqpq2qkp?

3kp

不能为3,故只有k=1,这样2q－3=p,代入h?

4q?

4，同时质数p、q大于3.所以,只

能有h=3,因而得q=5,p=7.

10.先证：

一切大于2的质数，不是形如4n+1就是形如4n－1的数；再证任意多个形如4n+1的数，最后用数学归纳法验证.

若形如4n－1的质数只有有限个：

p1,p2,?

pk。

令n=4p1p2?

pk－1，n为形如4n－1的数，由假设n必为合数，且必有一个形如4n－1的质因数p（为什么？

）,因此p为p1,p2,?

pk中在某一个，于是，p|1,矛盾。

11.

（1）n是合数,设n=st,2n-1=2st-1=（2s-1）［（2s）t-1+（2s）t-2+…+2s+1］.

（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1.当n=14，15时，214-1，215-1均为合数，∴不对.

12.书后提示说取模为6分类讨论p，即设p=6q+r（r=0，1，2，3，4，5）.

由质数p≥5，若p=6q,6q+2,6q+3或6q+4,p皆为合数,不可能.若p=6q+1,

则2p+1=12q+3也是合数,故在题设条件下,只有p=6q+5,此时4p+1=24q+21,是合数.实际上，这题与第7题完全相同。

质数p3?

质数p≥5，可用前面的方法简单求解。

习题1-3

1.求：

（1）（21n+4，14n+3）（其中n∈z+）；

（2）（30，45，84），［30，45，84］；（3）（5767，4453）.

2.求证：

［an，bn］=［a，b］n（a，b，n∈z+）.

3.自然数n=10x+y（x是非负整数，y是n的个位数字），求证：

13n的充要条件是13（x+4y）.

4.用割（尾）减法判断下列各数能否被31，41，51整除：

26691，1076537，1361241

5.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数，2号说“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说这个数能被他的编号整除.1号做了一一验证，只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对.问：

（1）说得不对的两位同学的编号是什么数？

（2）如果1号写的数是5位数，这个5位数是多少？

7.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳412米，黄鼠狼每次跳234米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔1238米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

8.大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合，所以雪地上只留

【篇二：

王进明初等数论习题解答】

s=txt>p17习题1-11，2

（2）（3）,3，7，11，12为作业。

1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.

解：

12b?

26,a?

12?

26?

454,12b?

26?

12?

26?

454,

（12?

1）b?

454?

12?

26?

390,b=30,被除数a=12b+26=360.

这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍”问题：

商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454?

12?

26?

390是除数的13倍.

2．证明：

（1）当n∈z且n?

9q?

r（0?

9）时，r只可能是0,1,8;

33证：

把n按被9除的余数分类，即：

若n=3k,k∈z，则n?

27k,r=0；3

若n=3k+1,k∈z，则n?

（3k）?

3（3k）?

9k（3k?

3k?

1）?

1,r=1；若n=3k－1,k∈z，则n?

（3k）?

3（3k）?

9（3k?

3k?

1）?

8,r=8.332323322

n3n2n?

的值是整数。

（2）当n∈z时，326

n3n2n2n3?

3n2?

n32?

=证因为，只需证明分子2n?

3n?

n是6的倍数。

3266

2n3?

3n2?

n（2n2?

3n?

1）?

（n?

1）n（2n?

1）

（n?

1）n（n?

1）=n（n?

1）（n?

2）?

（n?

1）n（n?

1）.

由k!

必整除k个连续整数知：

6|n（n?

1）（n?

2）,6|（n?

1）n（n?

1）.

或证：

|（n?

1）n,（n?

1）n必为偶数.故只需证3|（n?

1）n（2n?

1）.

若3|n,显然3|（n?

1）n（2n?

1）；若n为3k+1,k∈z，则n－1是3的倍数，得知（n?

1）n（2n?

1）为3的倍数；若n为3k－1,k∈z，则2n－1=2（3k－1）－1=6k-3,2n－1是3的倍数.

综上所述，（n?

1）n（2n?

1）必是6的倍数,故命题得证。

（n?

1）n（2n?

1）222=0+1+2+?

+（n-1）2,整数的平方和必为整数。

（n?

1）n（2n?

1）－当n∈z时，-n∈z+,从而同样推得为整数，故命题得证。

6又证：

（3）若n为非负整数，则133|（11n+2+122n+1）．

（4）当m，n，l∈n+时，（m?

l）!

的值总是整数m!

证明：

（m?

l）!

=（m?

l）（m?

1）?

（n?

1）（n?

l）（n?

1）?

（l?

1）?

由k!

必整除k个连续整数知：

|（m?

l）（m?

1）?

（n?

1）,

|（n?

l）（n?

1）?

（l?

1），从而由和的整除性即证得命题。

（5）当a，b∈z且a≠－b，n是双数时，?

|（a?

b）；nn

（6）当a，b∈z且a≠－b，n是单数时，?

|（a?

b）．nn

解：

利用例5结论：

若a≠b，则?

|（a?

b）．令b=－b*,即得。

或解：

a=（a+b）－b，（5）当n为双数时，由二项式展开

nan?

bn?

nn?

1b?

1n?

bn?

1，证得。

（6）当n为单数时类似可得。

3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈z,且?

152i?

b2，说明这六个数不能都是奇数．

解：

若这六个数都是奇数，设ai?

2ki?

1,ki?

z,i?

1,2,3,4,5，则

（2k?

1）2

1i?

1552?

ki（ki?

1）?

5，因为2|ki（ki?

1），所以8|4?

ki（ki?

1）,i?

155i?

152i?

8q?

5,q?

z,而b2?

（2k?

1）2?

4k（k?

1）?

1，b2?

8q*?

1，k,q*?

z，

即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=10

不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。

或解：

无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。

5．已知：

a，b，c均为奇数．证明ax?

bx?

0无有理根。

证：

若有有理根，记为2ppp,p,q互质，代入方程有a（）2?

0qqq

即ap2?

bpq?

cq2?

0，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。

若p为偶数，则ap2?

bpq为偶数，但cq是奇数，它们的和不可能为0;

若q为偶数，则bpq?

cq2为偶数，但ap是奇数，它们的和也不可能为0。

解：

不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇．

7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数a＝1234567891011…979899，求a除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?

8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．

解：

同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：

7020，7320，7620，7920．

9．从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3,5,7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？

被5整除，个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,

10．

11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于

（1）2001，

（2）2529，（3）1989，能否办到?

如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办不到，说明理由．22

2229162331017244111825512192661320277142128

99599699799899910001001

解：

设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.

（1）9不能整除2001，∴和等于2001办不到；

（2）9x=2529，x=281，是所在行第一个数，∴和等于2529办不到；（3）9x=1989，x=221，和等于1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213．

12．证明：

7（或11或13）|anan?

a3a2a1a0的特征是：

7（或11或13）整除|anan?

a3?

a2aa|10

或anan?

a3a2a1a0?

anan?

a3?

11?

13?

（anan?

a3?

a2a1a0）

∴

附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目

（与上面相同或相似的题目不列，以下各章节同）

6．24|62742,求?

9.是否存在自然数a和b，使a2－b2=2002成立?

11．证明：

当n∈z时，6|n（n＋1）（2n＋1）．

12．已知：

ax?

bx?

c，f（0），f（－1），f

（1），x均为整数．证明：

z.2

解答：

3．偶数．因为a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少有一个是偶数．

6．只需3|62742?

且8|62742?

，即3|（?

）,且8|?

，先考虑?

0,2,4,6,8,有5组解?

0,?

2,?

4,?

7,?

9,?

0;?

4;?

8;?

2;?

11．用数学归纳法或n（n+1）（2n+1）=n（n+1）（n+2）+（n－1）n（n+1），利用整除的基本性质（13）．

12．由f（0），f（－1），f

（1），x均为整数可得c,a+b,a－b均为整数.进而知2a，2b为整数.

分类讨论（k∈z）:

x=2k时，由2a，2b为整数f（x）显然为整数;

x=2k+1时，f（2k+1）=4ak（k+1）+2bk+a+b+c,可知f（x）仍然为整数。

习题1-2

1.用试除法确定下列各数中哪些是质数？

哪些是合数？

1987，2027，2461，17357

45,45.022,用质数试除到43，可知两者是质数，

2.当n是什么正整数时，f1（n）?

4，f2（n）?

5n?

9n+8n2+4n+1,f3（n）=n44543－18n2+45,f4（n）=n4+n2+1,f5（n）?

3n?

4n?

1的值是质数？

是合数？

解：

f1（n）?

4n?

（n?

2）?

（2n）?

（n?

2n?

2）（n?

2n?

2）42222222

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